FTCS格式

uin1uinuin12uinuin1 2tx假设uin0, i2,3,,I,IM-1，然后在n时层iI点引入扰动，这时FTCS格式成为

uIn12 2tx整理得：

uIn1t12d d2

x

uIn112d

令

（4-5）

12d1，

得： d1

考察节点n1,I1受扰动的影响，在节点n1,I1上，FTCS格式可写成

1nnnnuInuu2uu1I1I1I I22tx1整理得： uIn1d

（4-6）

再考察节点n1,I1受扰动的影响

1nnnnuInuu2uu1I1I1I2I 2tx1整理得： uIn1d

（4-7）

由（4-5）~（4-7）式可见，只要满足d1，就能保证扰动在n+1时层不被放大。

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下面考察扰动在n+2时层的影响 首先考察n2,I点，FTCS格式为

un2n1n1n1n1IuIuI2uIuI1t1x2 将式（4-5）~（4-7）代入上式得

un2I12ddd212dd整理得

un2I6d24d1

令

6d24d11，

可得

d23 再考察节点n2,I1，FTCS格式可写成

un2n1n1n1n1I1uI1u2uutI2I1Ix2 将（4-5）~（4-7）代入上式，考虑到un1I20，有

un2I1dd2d12d 整理得:

un2I12d12d 最后考察节点n2,I2，FTCS格式可写成

un2n1I2uI2un1I32un1I2un1I1tx2 考虑到un1n1I3uI20，代入（4-6）入上式，有

un22I2d （4-10）

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4-8）

（4-9）

（

根据对称条件，可得

2uIn12d(12d) 22uInd 2

（4-11） （4-12）

还可继续考察n+3，n+4，… 时层上扰动的影响，但这种方法并不能得到一个明确的定量关系。

举例如下： 1，取dd2n32d12d6d24d12d12dd2n2d12ddn1nI3I2I1II1I2I31，扰动的传播情况如图所示，扰动被不断衰减； 432，取d，如图所示，扰动增长很快。

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n3381161414116n2141214n1nI3I2I1I当dI1I2I31时，FTCS格式受扰动的影响 48.52.252.25n261.5261.5n1nI3I2I14 / 7 II1I2I3当d3时，FTCS格式受扰动的影响

叠加原理：对于线性偏微分方程，如果u1,u2,u3是它的解，则

Uu1u2u3也是它的解。

差分方程也满足迭加原理。

假定u1i,u2i,u3i是差分方程（FTCS格式）

nnnuin1uinuin12uinuin1 2tx的解，若

（4-13）

Uinu1u2u3i

n （4-14）

则Uin也是差分方程（4-13）的解，即有：

nnUin1UinUin2UUii11 2tx （4-15）

将式（4-14）代入上式，得

u1u2u3in1u1u2u3intu1u2u3in12u1u2u3inu1u2u3in1 x2

（

4-

16）

由于u1i,u2i,u3i也是（4-13）的解，因此上式分解为

nnnu1in1u1intu1in12u1inu1in1x2

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u2in1u2intu2in12u2inu2in1xx2

u3in1u3intu3in12u3inu3in12由此可见，考察方程（4-15）的稳定性，只需考察上述方程中任意一个方程的稳定性即可。

偏微分方程的解ut,x，可写成Fourier级数形式

nI n  tI m k x ut,xCmeem1n1式中：I1，——频率，k——波数，m，n为波的序号.

nI n  t令UnCm，称为振幅，上式可写成 euUneI m k x

m1n1差分方程的解uin也可写成Fourier级数的形式

uUneI m k i x

nim1n1式中，ixx，i1,2,,IMAX1,IMAX. 令mkx, 上式可写成

uUneI i

nim1n1Fourier级数中的某一分量为

uinUneI i

于是:

uin1Un1eI i

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(4-17)

uin1UneI i1 uin-1UneI i1

式中,称为相位.

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