武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案

2008—2009学年第二学期《高等数学B》期末试卷（B卷）

考生姓名：班级：学号：

一、题（本小题,题

4

得分 评卷人 满分1、二数

题号 一 二 1 2 三 3 4 5 1 四 2 选择

五 总分 题共6每小分，24分） 元函

f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数都存在，是f(x,y)在该点可微的（）．

（A）充分而非必要条件（B）既非充分又非必要条件 （C）充分必要条件（D）必要而非充分条件 2、设f(x,y)是连续函数，则I（A）（C）

ax0dxf(x,y)dy(a0)=（）．

0a0adyf(x,y)dx（B）dyf(x,y)dx

0yaa0y0dyf(x,y)dx（D）dyf(x,y)dx

a00yaa3、下列级数条件收敛的是（）．

（A）

(1)n1nn11n1nn(1)(1)（B）(1)（C）（D） 2n1n(n1)nnn1n1n1n4、若级数

un1收敛，则下列级数中（）收敛。

（A）

(un0.001)（B）unn1（C）

n1un1000n1（D）

1000 un1n5、以y1cosx,y2sinx为特解的二阶线性齐次微分方程是（） （A）y''y0（B）y''y'0（C）y''y0（D）y''y'0 6、设D(x,y):xya222，则当a（）时，Da2x2y2dxdy2

（A）1（B）2（C）33（D）33 2二、填空题（本题共5小题,每小题4分，满分20分） 1、 设ze2、 设Dsinxy，则dz。

2(x,y):0x1,xy1，则eydxdy。

D3、 曲线族y(c1c2x)e2x中满足条件yx00,y'x01的曲线是． 2x4、 微分方程y2y2y4ecosx的特解形式设为

y*=。

1215、已知级数2，则级数的和等于。 2n6(2n1)n1n1三计算题（本题共5小题,每小题7分，满分35分）

z2z,1、 设zxy3xy,求。 xxy332an(a0)的敛散性。 2、判别级数2n1an13．求微分方程y''5y'4y32x的通解。

4、求幂级数

nxn1n1的收敛域及和函数。

5、计算积分

cosxdxdy，其中D为以点O(0，0),A(，0),B(，)为顶点的三角形区域。 x666D四、应用题（本题共2小题,每小题8分，满分16分）

1、1、用钢板做一个容积为a的长方体箱子，问长、宽、高为多少时，用料最少。

2、利用二重积分的几何意义计算球面xyz9与旋转锥面xy8z之间包含z轴的部分的体积。

五、证明题（本题满分5分）设常数一．DBACCD 二．1、esinxy2222220，级数an收敛，证明：级数2n1ann2绝对收敛。

n12112xx1cosxy(ydxxdy)2、(1e)3、xe4、yxe(asinxbcosx)5、

8222z22z3x3y,6y. 三．1.xxy2.解：当a1时，原级数为

1发散--------------------------1分 2n1当0a1时，

anan------------------------------2分 2n1aan而a为公比小于1的等比级数，故收敛由正项级数的比较判别法，收敛--------4分 2nn11an1n当a1时，

anan11又时，级数收敛 a1na1a2na2nann1an由正项级数的比较判别法，收敛------------------------------------5分 2nn11aanan当a1时，级数发散，当a0且a1时，级数收敛---------7分 2n2n1a1an1n13．对应的齐次方程的特征方程为r5r40，……--------------2分

特征根为r1,r4-----------------------（3分）

对应的齐次方程的通解为yc1e特解为

原方程的通解为

x2c2e4x………(4分)，

yy

c1ex111x………(5分)， 82111c2e4xx………(7分)

824.解：

limnan1n1lim1，收敛半径R1-------------------------------2分 nnann1）（n1n1当x1时级数发散，所以收敛域为。---------------------3分 （-1,1）设s(x)nxn1n1,x(1,1)-------（*）

xxxn1n1------------6分 s(t)dtntdtntdtxn001xn1n1n1x两边从0到x积分得：

0两边对x求导得s(x)s(0)1,x(1,1)，且由（*）式知，s(0)0

(1x)2s(x)1,x(1,1)--------------------------------------------------------7分 2(1x)xcosxcosx5.dxdy6dxdy…………………….4分

00xxD=

60cosxdx…………………………5分

=1/2…………………………………..7分

四、1.解：设长方体的长、宽、高分别为

x,y,z，则长方体的体积为Vxyza，表面积为

S2(xyyzzx)，

问题即求S2(xyyzzx)在xyza之下的极值，------------------------------2分 令F(x,y,z,)2(xyyzzx)(xyza)，-----------------------------------------3分

Fx''Fy由'Fz'F2(yz)yz02(xz)xz02(xy)xy0xyza0xyz3a----------------------------6分

即长方体的长、宽、高都是3a时，表面积最小。-----------------------------------------7分

222xyz9z1所求立体在xoy面上的投影区域为：222xy8z2、解：

D:x2y28----------2分

由二重积分的几何意义所求立体的体积为

x2y2V2(9xy)d----------------------------------5分

8D22用极坐标计算得V2分

20d220(9r22r)rdr---------------------------------------7424------------------------------------------------------------------------------------8

分

2anan(n2)1五、证明：因为级数an和2收敛，则由 22n1n1nn2可知级数

n1ann2收敛，即n1ann2绝对收敛。--------------------------5分