《数学之友》 ２０１０年第８期 解几中“向量数量积”的两种处理方法 解题探索 、 张文海 （江苏省苏州市吴县中学，２１５１５１） 平面向量的引入给传统的中学数学内容注人了 新的内涵．不但为数学问题的解决提供了一种全新 的方法，而且与其他知识的交汇给试题的命制提供 了很好的结合点．本文仅举几例来说明如何处理解 析几何中平面向量的数量积． １ 利用数量积的定义处理 例１已知点Ｆ是椭圆 ＋ ＝ｌ（口＞ｂ＞０）的 Ⅱ Ｕ 左焦点， ，Ｂ分别是椭圆的左、上两个顶点，椭圆的 １ 离心率为÷，点ｃ在 轴上， ｃｊ－ＢＦ， ，ｃ，Ｆ三点 二 确定的圆 恰好与直线ｚ ： ＋ ），＋３＝０相切． （１）求椭圆的方程； （２）过点 的直线ｚ 与圆 交与Ｐ，ｑ两点，且 ＭＰ ・ ＝一２，求直线ｚ 的方程． ２ ＾，，２ 解：（１）略．椭圆方程为－２－＋ ＝１． （２）圆 的方程为： （ 一１） ＋）， ＝４． 因为 ． ：一２， 瓯以ＭＰ・ＭＱ ＩＭＰＩ——— —－—＿＋ —————＋ ＩＭＱＩ———— ＣＯＳｚ＿ＰＭＱ 一＝２ ．。 ：４ｃｏｓ ＰＭＱ，所以４ｃｏｓ ＰＭＱ＝一２， 解得ｃ。ｓ／＿＿ＰＭＱ：一 １，Ｙ．ｚ＿ＰＭＯ∈［０，盯］， 所以 删＝竽． 所以点ｇ（１，０）到直线ＰＱ的距离为ｄ＝１． 设直线ＰＱ的方程为Ｙ＝ｋ（ｘ＋２）， －ｙ＋２ｋ＝０从而ｄ＝ －ｌ， 解得 ＝± ， 所以直线ｚ 的方程为ｙ＝± （ ＋２）． 点评：平面向量ａ， 的数量积ａ・ｂ＝Ｉ ａ Ｉ Ｉ ｂ ｃｏｓ０（０为ａ，ｂ的夹角）．当已知ａ，ｂ的模或夹角时， 将向量的数量积用定义来转化，比较简洁． ２利用数量积的坐标形式处理 例２已知圆Ｃ过点Ｐ（１，１），且与圆 ：（ ＋ ２） ＋（Ｙ＋２） ＝ｒ （ｒ＞０）关于直线 ＋Ｙ＋２＝０ 对称． （１）求圆Ｃ的方程； （２）设Ｑ为圆ｃ上的一个动点，求Ｐ ・ 的 最小值； （３）过点Ｐ作两条相异直线分别与圆Ｃ相交于 Ａ，曰，且直线 和直线ＰＢ的倾斜角互补，０为坐标 原点，试判断直线ＯＰ和ＡＢ是否平行？请说明 理由． 解：（１）略．圆Ｃ的方程 ，． 为 ＋ｙ２＝２． ＝＝＝ （２）设点Ｑ的坐标为（ ）， ． ．．＼＿ 则 ：（ 一１，，，一１）， ・－———０＝（０ ＋２，Ｙ＋２）． 所以Ｐ ・ ：（ 一ｌ，Ｙ一１）（ ＋２，Ｙ＋２） ＝ ＋ｙ ＋ ＋Ｙ一４． 因为点Ｑ在圆 ＋ｙ２＝２上，所以 ＋）， ＝２． 所以ＰＱ・ＭＱ＝ ＋Ｙ一２， 又因为点Ｑ在圆 ＋ｙ２：２上， 所以』【Ｙ＝√２ｓｉ ∞ ｎ０， ・ （ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ）一２＝２ｓｉｎ（ ＋号）一２ 当０＝一 ＋２ｋ盯（ Ｅ Ｚ）时， ＰＱ ・ 最小值为一４． （３）略． 点评：设ａ＝（ １，Ｙ１），ｂ＝（ ２，Ｙ ），则ａ，ｂ的数 量积为ａ・ｂ＝ ＋ＹｌＹ ．当两个向量的模和夹角 都不确定时，可以利用数量积的坐标公式进行转化． 例３ 已知过点Ａ（一ｌ，０）的动直线２与圆Ｃ： 《数学之友》 ２０１０年第８期 ＋（），一３） ：４相交于Ｐ，Ｑ两点， 是ＰＱ中点，Ｚ 与直线１７１，： ＋３ｙ＋６＝０相交于 例４ 已知中点在原 点０，焦点在 轴上的椭圆 Ｙ （１）求证：当Ｚ与ｍ 垂直时，Ｚ必过圆心Ｃ； （２）当ＰＱ＝２√３ 时，求直线ｚ的方程； （３）探索 ・ＡＮ ∈ ／ Ｐ ０ ： ０ ｃ的离心率为拿，点Ａ，Ｂ分 １＼～ ． 别是椭圆Ｃ的长轴、短轴 Ｂ 的端点，点０到直线ＡＢ的距离为 （１）求椭圆Ｃ的标准方程； Ｊ 是否与直线ｚ的倾斜角 有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 解：（１）略． ＼ （２）已知点Ｅ（３，Ｏ），设点Ｐ，Ｑ是椭圆Ｃ上的两 个动点，满足Ｅ尸上ＥＱ，求Ｅ户・Ｑ户的取值范围． ２ ． ２ （２）直线ｚ的方程为 ＝一Ｉ或４ 一３，，＋４＝０． （３）’．‘Ｃ 上＾ ． －－－解：（１）咯椭圆Ｃ的标准方程为： ＋等＝１． （２）ＥＰ・ＱＰ＝ＥＰ・（ＥＰ—ＥＱ） ＂－ －－＿＋ — —÷，・— —－－—０—－—— 。．．Ａ ・ Ｎ＝（ＡＣ＋ＣＭ）・ＡＮ ————＋２一 ■——— ——— ———— ・－ ——－＋ ＝＝ＡＣ・ＡＮ＋Ｃ ・ＡＮ＝ＡＣ・ＡⅣ＿ ｒ． ： ． 设点Ｐ的坐标为（ ，Ｙ）， ①当ｌ的斜率不存时，易得Ｎ（一１，一÷）， —贝舻＝（ 一３） ＋，，２＝要（ 一４） ＋６， Ｅ［一６，６］， 所以 ・ＱＰ Ｅ６，８１］． 点评：经观察发现目标 ・ 中的Ｑ户的起点 ０， 、、— —＿＋—＿＋ 贝蝴＝ｆ ０，一÷Ｉ， ｃ＝（１，３），所Ｉ ・ ＝一５． ②当Ｚ 第仁 在弭寸， ＋Ｚ自 方程为），＝ （ ＋１）， ￣Ｊ Ｅｈ ＋３ｙ ＋６ 得Ⅳ（ 一５ ， ）， 一ｌ５ｋ ＋ ＿５・ 和终点都在变化．当遇到这种问题时，常常通过构造 三角形，把它转化为起点和终点一个定、一个动的 情况． 在解析几何中遇到向量的数量积问题时，首先 则 ＝（ ， ）， — 。・・ 肚＿＿＋ ＡＣ・ＡＮ 观察它的起点和终点是否都在运动．如果遇到，常常 需要构造三角形利用三角形法则，将向量转化为一 个为定点，一个为动点的向量，再借助数量积的定义 式或坐标式来处理．只有选择恰当的方法，才能够优 化解题过程，提高解题效率 参考文献： 综上所述，劢． 与直线ｚ的斜率无关，且 ．Ａ—Ｎ：一５． 点评：当看到弦中点这个条件时，常常需要连接 圆心和弦的中点构造垂直关系．这样可以将向量劢 转化为 ＋ ，得到劢． ： ． ，从而将两 个动向量的数量积转化为一个定向量和一个动向量 的数量积，优化运算． ［１］王洪根．一个课本问题的探究［Ｊ］．数学 之友，２００９，（８）：７４—７５． （上接第６３页） Ｌ 若有口＞ｂ的条件，则当ｂ选２时，口可从３，５， 还可推广到分数 （口，６）均为非零整数，指数口 ，对数 Ｕ ７，９，１１，１３中选，有ｃ：种选法；当ｂ选４时，口有ｃ 种选法；当６选６时，０有ｃ 种选法；当ｂ选８时，口 有ｃ 种选法；当ｂ选１０时，口有ｃ 种选法；当ｂ选 ｌｏｇ￣（ａ＞０，ｂ＞０，ａ＃１），复数口＋ｂｉ（ａ，６∈Ｒ）等等 例９已知集合Ａ＝｛ｌ，３，５，７，９，１１，１３｝，集合 Ｂ＝｛２，４，６，８，１０，１２｝，今作出数对（口，６），使口∈Ａ， ｂ∈Ｂ．问可以构成多少个数对？若０＞ｂ又可以构 成多少个数对？ １２时，０有ｃ：种选法．由加法原理，可构成的数对的 个数有：ｃ ＋ｃ ＋ｃ：＋ｃ ＋ｃ ＋Ｃｌ＿２１（个）． 参考文献： 解：由０∈Ａ，有ｃ；种选法，６∈Ｂ，有ｃ 种选法， 由乘法原理，可构成数对的个数有：ｃ；ｃ ＝４２（个）． ［１］单撙．《普通高中数学课程标准》实验教 科书・数学［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２００４，６． ・６５・
