《数学之友》 2010年第8期 解几中“向量数量积”的两种处理方法 解题探索 、 张文海 (江苏省苏州市吴县中学,215151) 平面向量的引入给传统的中学数学内容注人了 新的内涵.不但为数学问题的解决提供了一种全新 的方法,而且与其他知识的交汇给试题的命制提供 了很好的结合点.本文仅举几例来说明如何处理解 析几何中平面向量的数量积. 1 利用数量积的定义处理 例1已知点F是椭圆 + =l(口>b>0)的 Ⅱ U 左焦点, ,B分别是椭圆的左、上两个顶点,椭圆的 1 离心率为÷,点c在 轴上, cj-BF, ,c,F三点 二 确定的圆 恰好与直线z : + ),+3=0相切. (1)求椭圆的方程; (2)过点 的直线z 与圆 交与P,q两点,且 MP ・ =一2,求直线z 的方程. 2 ^,,2 解:(1)略.椭圆方程为-2-+ =1. (2)圆 的方程为: ( 一1) +), =4. 因为 . :一2, 瓯以MP・MQ IMPI——— —-—_+ —————+ IMQI———— COSz_PMQ 一=2 .。 :4cos PMQ,所以4cos PMQ=一2, 解得c。s/__PMQ:一 1,Y.z_PMO∈[0,盯], 所以 删=竽. 所以点g(1,0)到直线PQ的距离为d=1. 设直线PQ的方程为Y=k(x+2), -y+2k=0从而d= -l, 解得 =± , 所以直线z 的方程为y=± ( +2). 点评:平面向量a, 的数量积a・b=I a I I b cos0(0为a,b的夹角).当已知a,b的模或夹角时, 将向量的数量积用定义来转化,比较简洁. 2利用数量积的坐标形式处理 例2已知圆C过点P(1,1),且与圆 :( + 2) +(Y+2) =r (r>0)关于直线 +Y+2=0 对称. (1)求圆C的方程; (2)设Q为圆c上的一个动点,求P ・ 的 最小值; (3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于 A,曰,且直线 和直线PB的倾斜角互补,0为坐标 原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明 理由. 解:(1)略.圆C的方程 ,. 为 +y2=2. === (2)设点Q的坐标为( ), . ..\_ 则 :( 一1,,,一1), ・-———0=(0 +2,Y+2). 所以P ・ :( 一l,Y一1)( +2,Y+2) = +y + +Y一4. 因为点Q在圆 +y2=2上,所以 +), =2. 所以PQ・MQ= +Y一2, 又因为点Q在圆 +y2:2上, 所以』【Y=√2si ∞ n0, ・ (cos +sin )一2=2sin( +号)一2 当0=一 +2k盯( E Z)时, PQ ・ 最小值为一4. (3)略. 点评:设a=( 1,Y1),b=( 2,Y ),则a,b的数 量积为a・b= +YlY .当两个向量的模和夹角 都不确定时,可以利用数量积的坐标公式进行转化. 例3 已知过点A(一l,0)的动直线2与圆C: 《数学之友》 2010年第8期 +(),一3) :4相交于P,Q两点, 是PQ中点,Z 与直线171,: +3y+6=0相交于 例4 已知中点在原 点0,焦点在 轴上的椭圆 Y (1)求证:当Z与m 垂直时,Z必过圆心C; (2)当PQ=2√3 时,求直线z的方程; (3)探索 ・AN ∈ / P 0 : 0 c的离心率为拿,点A,B分 1\~ . 别是椭圆C的长轴、短轴 B 的端点,点0到直线AB的距离为 (1)求椭圆C的标准方程; J 是否与直线z的倾斜角 有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由. 解:(1)略. \ (2)已知点E(3,O),设点P,Q是椭圆C上的两 个动点,满足E尸上EQ,求E户・Q户的取值范围. 2 . 2 (2)直线z的方程为 =一I或4 一3,,+4=0. (3)’.‘C 上^ . ---解:(1)咯椭圆C的标准方程为: +等=1. (2)EP・QP=EP・(EP—EQ) "- --_+ — —÷,・— —--—0—-—— 。..A ・ N=(AC+CM)・AN ————+2一 ■——— ——— ———— ・- ——-+ ==AC・AN+C ・AN=AC・AⅣ_ r. : . 设点P的坐标为( ,Y), ①当l的斜率不存时,易得N(一1,一÷), —贝舻=( 一3) +,,2=要( 一4) +6, E[一6,6], 所以 ・QP E6,81]. 点评:经观察发现目标 ・ 中的Q户的起点 0, 、、— —_+—_+ 贝蝴=f 0,一÷I, c=(1,3),所I ・ =一5. ②当Z 第仁 在弭寸, +Z自 方程为),= ( +1),  ̄J Eh +3y +6 得Ⅳ( 一5 , ), 一l5k + _5・ 和终点都在变化.当遇到这种问题时,常常通过构造 三角形,把它转化为起点和终点一个定、一个动的 情况. 在解析几何中遇到向量的数量积问题时,首先 则 =( , ), — 。・・ 肚__+ AC・AN 观察它的起点和终点是否都在运动.如果遇到,常常 需要构造三角形利用三角形法则,将向量转化为一 个为定点,一个为动点的向量,再借助数量积的定义 式或坐标式来处理.只有选择恰当的方法,才能够优 化解题过程,提高解题效率 参考文献: 综上所述,劢. 与直线z的斜率无关,且 .A—N:一5. 点评:当看到弦中点这个条件时,常常需要连接 圆心和弦的中点构造垂直关系.这样可以将向量劢 转化为 + ,得到劢. : . ,从而将两 个动向量的数量积转化为一个定向量和一个动向量 的数量积,优化运算. [1]王洪根.一个课本问题的探究[J].数学 之友,2009,(8):74—75. (上接第63页) L 若有口>b的条件,则当b选2时,口可从3,5, 还可推广到分数 (口,6)均为非零整数,指数口 ,对数 U 7,9,11,13中选,有c:种选法;当b选4时,口有c 种选法;当6选6时,0有c 种选法;当b选8时,口 有c 种选法;当b选10时,口有c 种选法;当b选 log ̄(a>0,b>0,a#1),复数口+bi(a,6∈R)等等 例9已知集合A={l,3,5,7,9,11,13},集合 B={2,4,6,8,10,12},今作出数对(口,6),使口∈A, b∈B.问可以构成多少个数对?若0>b又可以构 成多少个数对? 12时,0有c:种选法.由加法原理,可构成的数对的 个数有:c +c +c:+c +c +Cl_21(个). 参考文献: 解:由0∈A,有c;种选法,6∈B,有c 种选法, 由乘法原理,可构成数对的个数有:c;c =42(个). [1]单撙.《普通高中数学课程标准》实验教 科书・数学[M].南京:江苏教育出版社,2004,6. ・65・