注意由定义可知，一元二 瓣一元二次方程的概念 如果一个方程通过移项可以使右边为０。而左边是只含有一 次方程必须满足三个特征： （１）一元二次方程的左、右 个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程． 下列关于 的方程： 两边都是整式，即一元二次方程 必须是整式方程； （２）方程中只含有一个未 知数： ｘ／－Ｙ （１）似２＋ｂｘ＋ｃ＝。；（２）ｋ２＋５ｋ＋６＝０；（３ 丁ｖ＇－Ｙ 丁一÷＝。； （３）未知数的最高次数为２． 确定一个方程是否是一元 （４）（ｍ２＋３）ｘ２＋、／３ 一２＝０；（５） ＋ －４÷，４ 其中是一元二次方 —（只填序号）． 二次方程．就应把握这三个本质 程的是—特征。只有同时具备这三个特 征．这个方程才是一元二次方程． ，解关于“ ”的一元二次方程，就是方程中只含有一个未知数 而其他的字母均理解为已知数．（１）不一定是一元二次方程，因 点拔 判断方程是不是一 为当 ：Ｏ时，它不是一元二次方程；（２）中不含未知数 ；（３）中 元二次方程首先要将方程化简 的最高次数为３，故（３）也不是一元二次方程；（４）中含一个未知数 ，为一般形式，然后观察：①一个 未知数：②未知数的最高次数为 ２；③是否为整式方程（注意无理 式、分式等）． 注重（１）“口≠０”是一元二 且其最高次数为２，其系数（ｍ ＋３）＞０，故它是关于 的一元二次 方程；（５）是分式方程，故它也不是一元二次方程． 故应填（４）． 次方程一般形式的一个重要组成 部分．因为方程ｔ／Ｘ ＋６ ＋ｃ＝０只有 当。≠０时才是一元二次方程・例： 尝一元二次方程ｌ的一般形式 如，当ａ－－Ｏ，ｂ≠０时，它就是一元． 一次方程了．反之，如果明确指出 任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形 一方 式就是元二次方程的一般形式． （２）任何一个一元二次方程 一元二次方程的一般形式：ｏ．ｘ２＋６ 叶Ｉｃ＝０（口≠０）．似 称为二次项， 经过篆 系数时。必须先将方程化为一般 形式． ６ 称为一次 称为常数 为二次项系数＇６为一次项系数． ・ ．数都是方程在一般形式下定义－ 的．所以求一元二次方程的各项： 一般地说，人类的本性里愚昧多于智慧。——弗朗西斯・培根 （４）二次项与二次项系数、 一次项与一次项系数要分清． ’ 确定一元二次方程各项系， 数及常数项时，一定要带上原有 的性质符昏‘ 蠹Ｉ渠二 碗系数枣 ｌ ｌ负数，可根据等式性质，在方程。 两边同乘以一１．使二次项系数变’ 为正数． …謦 餐 ） 方蘑 ・．＿般形式为６ｘ２－．．５ｘ－２＝一Ｏ， ， ｊ点簌 （１）利用等式的性 质可将任何一个一元二次方程■ 这个方程的二次项、＿次项、常数项分别为６ｘ２， ， ２； ｊ ｊ ０ ’二 化成一般形式，其步骤是：①去。 （２）把方程化成一般形式为“３ ５ 一５÷＝０， ・・。。… ＿＿ ”。 。Ｈ ｌ： 括号、去分母；②移项、合并同类： 项．’ ・这个方 的三次项、一＿次项、常数项分别 ３ ＿｝考。 ３ｘ－９＝０． ’（２）求二次项系数、、一次项 系数和常数项时，需先把一元二 次方程化成一般形式，然后冉求． （３）去分母，得２ｘ２－３（ｘ＋１）＝６， 去括号、移项、合并同类项，得 ・．．这个方程的二次项为２ｘ２，一次项￣Ｊ－３ｘ，常数项为一９１ 这是因为方程的二次项系数、一 次项系数和常数项都是在方程 Ｆ的 般形式下定义的． ，鲁Ｉ投 解这类题关键是要 系数及未知数的次数。依此舍去 不合题意的值． 根据一元二次方程的定 ・．．＿ｍ为何值时，关于 的，方程（ｍ一、／ ） （ｍ＋３ －一 ｔ 一 ； ｔ 。 。一 ，同时考虑方程中含未知数项的 是一元二次方程７ 解 （ｍ－、／ ） （ｍ＋３）ｘ＝４ｍ是一元二次方程，一 Ｉｒａ＇２ ． ‘ 。ｍ应满足｛ 义．此方程中字母系数ｍ应满 【，，ｔ一、／２≠０． 、 ：： 足条件ｍ２＝２，且ｍ一、／２≠０． 根据平方根的意义。由ｍ ＝２可 则／Ｉｔ＝－－、／ ． 即 当ｍ＝一、／ 时，此方程是关于 的一元二次方程． 得ｍ＝±、／２，而ｍ＝、／２时，二 次项系数ｍ— 芝 ＝０不符合题 意．所以只能取一、／２． 点拔 根据方程ｔｔ／的定ｉ 零．一无二次方程的解 义，辑 ＝ｏ代入原方程中，则原 程，求得ｎ的值．再根据一元二次 。． 、～ 。 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做÷元二次 由方程根的定义求待定字母的值 一元二次方程根的定义也是它的性质＿＇即一元二次方程的根 。方程变为关于ｎ的一元二次方 方程的解（也羽ｌ｛做 元二次方程的根）．． ．１方程中，其二次项系数不能为０ 的限制，从而确定。的值・ 的系 ＿能使方程左右两边相等． 、、ｌｌｌ、 ， 攘 ｌ－１ ——…————————……关于 的一元二次方程（ Ｉｔｉ ｇｒｅａｔ ａｒｔｔｏｄｏｔｈｅｆｉｓｈｔｔｈｉｎｇ ａｔｔｈｅｆｉｇｈｔ ｓｅａｓｏｎ． …——……………………＝ｏ有一 ｏ …………一一：…一 从而错选Ｃ．因此在解有关一元 则口的值应为（ ）． Ｃ．１或一１ Ｄ．——１二次方程的题目时。若二次项系 数中有字母已知数时，一定要注 意到二次项系数不能为０． Ａ．１ Ｂ．一１ ２ 解・’．‘（ １） ＋ １＝０有一根为０， 把ｘ＝０代人方程中得ａＺ－ｌ＿－０ ．０＝±１． 口一１≠０，．・．ａ＃－１，．・．Ｏ，－一１．故选Ｂ． ．．又’．‘此方程为一元二次方程， ・．．２．检验一个值是否是一元二次方程的解 检验一个值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值 代人方程的左、右两边，分别计算结果，再比较左、右两边是否相 等．如果左、右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是 原方程的解． ３．利用方程的解对代数式进行化简求值 已知 ＝１是方程 一似＋１：０的根，试求代数式 点拔 由于 ：ｌ是已知方 程的根，因此它应满足该方程， 、／ ２叶１＋、／９—６叶 的值． 将其代入方程便可解出。的值， 解’．。ｘ＝ｌ是方程 ｚ＿ ＋ｌ＝０的根， 继而不难求得代数式的值． ．‘．有１２－ａ‘１＋１＝０， ：即 ：１－ａ＋１＝０，故ａ＝２，则 、／ ２叶１＋、／９—６叶 ＝ｘ／（ｏ＿１） ＋、／（３川） ＝２—１＋３—２＝２． 臻估算一元二次方程的近似解 解决这类问题首先要确定解的大致范围，再通过具体计算进 行两边“夹逼”，逐步获得近似解． 点拔 先根据题意，列出 表格，再用估算的方法求出方程 的近似解． 求方程ｔ２．５ｔ＋３＝０的近似解（精确到０．１）． 解 ｌ ｔ ０ １ ２ ３ ｌ ４ ｌ ５ ｌ ６ 说明 估算一元二次方程 的解时。未知数的值不能盲目的 选取．一般可根据方程根的大致 范围估算第一个数字，再根据精 确度继续列表估算第二个数字， 如此类推． ｌ ｔ２＿５件３ ３ 一ｌ －３ —３ １ Ｉ ３ Ｉ ９ 由表格知０＜ｔ＜ｌ或４＜ｔ＜５． １ ｔ ０．１ ０．２ ０－３ ０．４ ０．５ ０．６ １０．７ １ ０．８ ｆ ｔ２＿５件３ ２．５１ ２．０４ １．５９ １．１６ Ｏ．７５ ０．３６ Ｉ一０．０１ｌ＿０．３６ 由表格知０．６＜ｔ＜Ｏ．７ ．ｔｌ ０．７． Ｉ ４Ｉ．１ ４．２ ４－３ ４－４ ４．５ ｌ ｔ２－５ｔ＋３ ｌ＿０．６９ －０．３６ －０．０１ ０．３６ ０．７５ 在适当的时候做适当的事是一种伟大的艺术。——伊索 ２７ Ｕ册 ・ 一元二次方程 由表格知４．３＜ｔ＜４．４ ．ｔ２￣－－４．３． 综上可知， 一０．７或 ４．３． 点拔Ｘ２－５Ｘ一１５０＝０与上 要剪一块面积为１５０ ｃｍ２的长方形铁片，使它的 芘宽 设长为 ｅｍ，则宽为（ｘ＇５）ｃｍ． 列方程 （戈一５）＝１５０。 即Ｘ，２－．５Ｘ，一１５０＝０． 请根据所列方程回答以下问题： （１ 可能小’Ｗ５吗？可能等于１０吗？说说你的理由． （２）完成下表： Ｌ面两道例题明显不同．不能用平 多５ ｅｍ．这块铁片应该怎样剪？ 方根的意义和八年级上册的整 式中的分解因式的方法去求根． 但是我们可以用一种新的方 法——“夹逼”方法求出该方程 的根． １０ ２—１ｌ １２ ｌ３ １４ １５ １６ １７ ５ 一１５０ （３）你知道铁 片盼长 是多少吗？ 解（１） 不可能小于５ 理由：如果ｘ＜５，则宽（ 一５）＜０，不合题意． 不可能等于１０． 理由：如果 １０，则面积 一５ —ｌ５０＝一ｌ００，也不可能． （２） 一 ｔ １０ ｌ１ １２ ｌ３ １４ １５ １６ １７ ２６ ５４ ｌ ２＿５ 一１５０ 一ｌ０ｏ －８４ －６６ －４６ －２４ ０ （３）铁片长ｘ＝１５ ａｍ ｌ ＿列出实际问题的一芜二次方程 及等量关系． 点拔 面积问题是建构一 元二次方程的常见问题。应熟悉 Ｌ 薯 把实际问题转化为方程，关键在于抓住问题中的关键词语，以 ｜０ ： ｌＩ ｌ某小区准备在两幢楼房间开辟面积为３００ ｍｉ２曲’≥块长 方形绿地，且长比宽多１０ｍ．设长方形绿地宽为 ｍ，则可列方程 ———————————————————－———— ————————一常见图形的面积公式． ‘ ． 解’．‘宽为 ｍ，故长为（ｘ＋１０）ｍ，则有 （舛１０）＝３００． ．．譬． ， 点缀清楚两个连续自然 若两个连续自然数的积为５６，其中较小的一个自然数 ． ．． 数的关系是差为１。据此可列 为 ，可列方程 方程． 解较小的自然数为 ，则较大的自然数为（ｘ＋１），故可列方 程 （ ＋１）＝５６． ………… ｌ１、、Ｔｉｍｅ，ｗｈｏｓｅ ｔｏｏｔｈ ｇｎａｗｓ ａｗａｙ ｅｖｅｒｙｔｈｉｎｇ ｅｌｓｅ，ｉｓ ｐｏｗｅｒｌｅｓｓ ａｇａｉｎｓｔ ｔｒｕｔｈ． ２８ ｌ、、、、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一．一一 、 、