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平面S波在非饱和土自由边界上的反射问题研究

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振第32卷第1期 动与冲击 JOURNAL 0F VIBRATION AND SH0CK 平面S波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 陈炜昀 。,夏唐代 ,刘志军 ,周新民。 (1.浙江大学软弱土与环境土工教育部重点实验室,杭州310058; 2.浙江大学岩土工程研究所,杭州310058;3.浙江省地震局,杭州310013) 摘 要i运用非饱和孔隙介质理论阐述了弹性波在非饱和土中的传播特性,分析了平面S波在非饱和土层自由边 界上的反射问题。根据边界条件,分别导出了在非饱和土自由边界上的四种反射波:反射P1波、反射P2波、反射P3波及 反射S波的振幅反射率及能量反射率的理论表达式,并在此基础上进行了数值计算。算例中讨论了四种反射波的振幅反 射率及能量反射率受平面s波入射角度及土层饱和度变化的影响情况。计算结果表明:各反射波的振幅反射率及能量反 射率不仅与入射角有关,也受到饱和度变化的影响,结论对土动力学的理论研究以及相关工程地震勘探具有一定指导 意义。 关键词:土动力学;平面S波;非饱和土;弹性波反射 中图分类号:TU435 文献标识码:A Reflection of plane・—S・-waves at a free boundary of unsaturated soil CHEN Wei—yun ,XIA Tang—dai 一,LIU Zhi-jun ,ZHOU Xin—min (1.MOE Key Laboratory of Soft Soils and Geoenviromental Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China; 2.Institute of Geotechnical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310058,China; 3.Seismological Bureau of Zh@ang Province,Hangzhou 310013,China) Abstract:The unsaturated poroelasticity theory was used to describe the propagation characteristics of elastic waves in unsaturated soil,and the reflection problem of plane—S—waves at the free boundary of unsaturated soil was analyzed. According to the boundary conditions,the theoretical expressions of amplitude reflection ratios and energy reflection ratios for the four reflected waves including reflected P1 wave,reflected P2 one,reflected P3 one and reflected S one at the boundary were respectively derived and the numerical calculations were then performed.The effects of incident angle of plane.-S—-waves and saturation level of soil layer on the amplitude reflection ratios and energy reflection ratios of the four reflected waves were discussed in numerical examples.It was shown that amplitude reflection ratios and energy reflection ratios of various reflected waves are influenced by not only incident angle but also saturation leve1.The results were useful for the theoretical study on soil dynamics and the related seismic exploration projects. Key words:soil dynamics;plane—S—wave;unsaturated soil;elastic wave reflection 随着科学技术的发展,在地震工程、岩土工程、海 波在饱和孔隙介质中的反射与透射问题。为了解释海 洋地震测试中所获得的声波数据,Stoll等 分析了地 震波在水~土界面上的反射与透射。Dutta等 计算 洋工程和声学等学科中,均可遇到弹性波在多孔介质 (如天然土、岩石等)中传播问题。弹性波在不同介质 界面上的反射与透射问题的研究也成为其中一个重要 领域。关于饱和土中波的传播理论研究大多基于经典 Biot理论_1 J,此理论的一个重要结论是:在液体饱和多 孑L介质中除了存在与均质弹性体中的P波和s波有类 了在两种饱和孔介质之间界面上地震波的反射与投射 系数。Singh等 分析了平面剪切波在两种不同弹性 孔隙介质空间分界面上的反射与投射问题。周新民 等 研究了地震波在地下水位附近气、水界面的反射 与透射。 实际上,地球表面绝大部分覆盖的岩石或天然土 似特征的快P1波和s波外,还存在一种慢P2波。该 理论主要是针对地基土或岩石孔隙中只包含一种成分 (水、气或者油)的情形。Deresiewicz等 研究了地震 的孔隙中同时包含有两种或两种以上不同的流体,如 水,气体和油,使得其土体动力特性也会有明显的变 化,因此,对弹性波在非饱和土地基自由表面的反射问 题的研究显得十分重要。近几十年,Garg等 列扩展 基金项目:浙江省重点科技创新团队支持计划资助(2009R50050) 收稿日期:2011—1l一08修改稿收到日期:2011—12—27 第一作者陈炜昀男,博士生,1986年生 了Biot经典理论,研究了不同饱和度对多孔介质中弹 1O0 振动与冲击 2013年第32卷 性波波速和衰减的影响。这些研究揭示:在非饱和孔 隙介质中存在三种压缩波和一种剪切波,即P1波、P2 波、P3波和S波,其中Pl波和P2波的传播特性类似于 Biot理论中的快P1波和慢P2波,而P3波则是由于孔 隙介质中气相的出现而产生的。考虑到压缩波和剪切 波在非饱和土自由界面附近的相互干涉,陈炜昀等¨ 在以上的研究基础上讨论了非饱和土的不同界面处表 面波的传播特性。 f[ 三p 231】 二Pp:213 :Pp 32]八l[ I三A ]l=。0 c (4a ,I g qz gz 尉。八I1 日 /I =0 (4b,) 1q31 q32 q33本文讨论了平面S波在非饱和土层自由表面处的 反射问题,分别分析了人射角度和土体饱和度对四种 反射波的影响。研究了入射s波所携带的能量分配给 各反射波的比例系数(即能量反射率)受饱和度变化的 影响规律。 1 非饱和孔隙介质波动方程 通常情况下,地表土体是由土颗粒骨架、孔隙水和 孔隙气体组成的三相介质,在本文中分别用上标s、£ 和G表示。符号Ot指代每一相介质,即Ol=S,L,G。 在混合物理论的基础上 。, ],陈炜昀等 ¨ 得到如下 非饱和孔隙介质波动方程: n 吨( 一警) ( 一警)= (rss+nSAs+n s)V(7 Us)+nStxs V Us+ rs V(V U )+rsG V( U ) (1a) (警一等)= rsL V(V )+r儿V(V U )+rLG V(V U )(1b) 衄n 等 (警一警)= rsG (7 U )+r£G V(V U )+rcc V(7 U )(1c) 式中:V 为Cartesian坐标下的Laplace算符; 表示各 相介质的位移矢量; 表示各相介质的体积分数;J9 为 各相介质的密度;系数rss,r址,r。。,r ,r 。和r 。为孑L隙 介质参数¨ 。 将土颗粒、孔隙水和孔隙气体三相介质的位移矢 量进行Helmhohz分解: ( =S,L,G) (2a) ( =S,L,G) (2b) =A exp[ (kpnr一 )] (3a) =B exp[i( /it一(【, )] (3b) 式中: 。和k 分别为压缩波和剪切波的波数;A 和 分别表示振幅幅值;i= 一1;∞表示角频率;n为方 向矢量;r为位置矢量。将式(3a)和(3b)代人方程 (1a)一(1C),经过计算可以分别得到压缩波和剪切波 Pl1 = 6 ( L+ G)+∞ Ps一 rss+nsAs+2n s) P22= 6o L+n, P 一 2 rLL P33= G+∞ P。一 rGG Pl2=P21=一 cD L一 :rsL P 3=P3 =一 ; q11= ( + G)+∞ P—n sk q22 ∞ L+ P ,q33 G+ 。P =(n ) 老, e ( 。) (5) 式中: 表示多孔介质的固有渗透系数;叼 和 表示流 kr=(1一S ) (1一S 面 ) (6b) 2.1弹性波的势方程 如图1所示,设在 0部分为非饱和土部分。在 非饱和土中,频率为(cJ的平面s波以任意角度 人射 至自由边界处,在边界处将激发四种反射波:反射P1 波、反射P2波、反射P3波及反射S波。 对于非饱和土部分( 0): 入射s波: =B:exp[ik (1i,x—hisz—c t)] (7) 反射P波: ::A;1exp[ik 1(zrP1 +n 1z—c,P1t)]+ A exp[ik (1,p2X+nrp2Z—Crp2t)]+ 反射s波:4 exp[ikrp3( + 3 —Crp3t)] (8) =B, ̄exp[ik (1.x+nrsZ—Ors )] (9) 第1期 陈炜昀等:平面s波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 ,n43= rsG+ 3r G 髓+ 3rGG6G3 m =0 1O1 [Q]中的系数为: g =2n ‘sz n |j} ,g2=(1—2z ).j} ,g3=0,g =0 假定入射波固相位移幅值 值为1,则[Ⅳ]中的系 数分别表示自由界面上四种反射波的振幅反射率: 图1平面S波的反射不意图 l ̄rpl=Fig.1 Sketch of Reflected waves generated by incident plane・・S--wave 鲁,’ nrp2=鲁,’ rtrp3=瓮,’ n =簧c t4 此外,本文还深入探讨了饱和度对各反射波能量 分配的影响。其中,波的能流密度函数本文采用Rubi— 式中:kre ̄(卢=1,2,3)和 分别表示边界处反射压缩 波和反射剪切波波数;c邮( =1,2,3)和Ors分别表示 反射压缩波和反射剪切波波速。 从式(4a)可以得到以下幅值关系式: %:争:一A 一P 23P11-p P 1 ,( :1,2,3)(10a) 。 一A:争: 一 p22p33-p23p32 .(卢:lp ,一2,3 )(10b) 2.2边界条件 在非饱和土自由表面( =0)处,边界条件表 示为: I圳=0, J =0,or J圳=0,or。I刎=0 (11) 代人势方程并将上式展开,结合相关本构关系 , 可以得到: (r +凡sAs)7 s+r舡7 +rsc 7 2 G+ 2 ( + (12a) V +2( 一 (12b rsL V s+r此7 +r£G V G=0 (12c) rsG V s+rLG V +rGG V G=0 (12d) 将式(7)~式(9)代入以上边界条件,并且考虑 Snell定理,可得到各幅值的关系为: [ ][N]=B [Q] (13) 式中:[N]=[A,Sp , S ,4 S , :] ,[ ].中的系数为: 玎 ll =(rs + sAs+rs 艿 1+rsG G1+2凡 s 2 1) ;1 ml2=(rss+nsA5+rsL6 +rsG艿晓+2n sn ) ,孔l3=(r +nSAs+rSLC ̄ +rsc8c3+2nStxsn2 ).1c 3 ,nl4 =2 5z n ,,n2l =2lrp1 llrpl尼 1 m22=2l ̄02 rp2 ,m23=21rp3 rp3 2 3 m =(1—2 2) m31= :1 r观+ 1r址6L1+ 1r£G6G1 m32=k ̄p2r乩+.j} 2r 6 +后 2r£G 晓 ,n33 k ̄p3r乩+k23rlz6 +k ̄3rLc6国 m34=0 ,n41=后2 1rsG+后 lr£G L1+ 1rGG G1 ,n42=k22rsG+k22rLc 王2+ rGG6晓 no等 推荐的表达式,即在非饱和土体中弹性波的能 流密度可表示为: = J0 ( s.s+ s.s+ LM,L。+ G.G) (15) 将各反射波能流密度分别除以入射平面S波的能 流密度,即可得到该波的能流密度反射系数,即能量反 射率,从而得到入射波携带的能量分配情况。经过计 算,四种反射波的能量反射率可以分别表示为: e  ̄ln rl nrpl —— —— rpplkrp:————rp一 l (16Oa ) ero 2 — —— : ( 10116b)3 : e rp3 —— —— 3krp3n rp3(16= ̄3 nrp ——-— L c c) e =n2 (16d) 其中系数亭 、 啦和 ,p3可以表示为: 阳1 =2n s+r船+ As+2r乩 £l+2rsG6G1+ 2r£G G1 £1+r 1+rGG 1 D2=2n s+rss+nSAs+2rsL 位+2rsc G2+ 2rLG 盘6 +r址 +rGG 柚=2n s+rss+ As+2rs£ 出+2rsG ∞+ 2r£G6∞ +r皿 +rGG6 由于整个反射过程中没有发生能量的消耗,因此 在非饱和土地基自由表面上入射波的能量必须等于四 种反射波能量的总和,即在z=0处有: e 1+e +e 3+e =1 (17) 3数值算例分析 本节将通过数值算例分析平面s波在非饱和土自 由边界上的振幅反射率及能量反射率受土体饱和度及 入射角度变化的影响。算例中所用的非饱和土体土性 参数均取自文献[14],见表1。 图2分别给出了在不同饱和度条件下的地基表面 各反射波的振幅反射率与平面s波入射角之间的关系 曲线。这里入射s波的频率设定为l 000 Hz。图2表 振动与冲击 2013年第32卷 明:当平面s波垂直射至自由界面时(入射角度为0。), 无反射P1波、反射P2波、反射P3波,只存在反射S 因为P3波的出现是由于土介质中液体和气体之间压 力差的存在 H 。 表1 非饱和土的材料参数 “ Tab.1 Material parameters of unsaturated soil[14 波。根据Snell定理可知,各反射波角度的正弦值与反 射波波速成正比。一般情况下,在非饱和土中s波波 速要小于反射P1波波速,故当平面s波入射角达到其 临界角时,反射P1波的反射角度将达到90。。当入射 角大于临界角时,反射波将转化为面波类型的波在自 材料参数 孔隙率,n 土颗粒密度p /(kg・m ) 水密度p /(kg・m。) 由面传播 。由图2可以看出,当饱和度不大于0.8 时,其入射临界角约为29。;当饱和度接近完全饱和时, 入射临界角将有所减小。从图2可以看出,饱和度为 0.99时,入射临界角降至约23。。入射角变化对各反射 波的振幅影响均较为明显:反射Pl波、反射P2波、反 气体密度p衄/(kg・m。) 土颗粒的体积模量Ks/kPa 水的体积模量KL/kPa 气体的体积模量Kc/kPa 土体固有渗透率k/m 水的粘滞系数田 /(Pa・s) 气体的粘滞系数卵 /(Pa・s) 拉梅常数A /kPa 拉梅常数/x /kPa van Genuchten参数m van Genuchten参数a ̄g/Pa 射P3波的振幅均随入射角增大而增大;反射s波幅值 则是随着入射角增大而先减小后增大。饱和度的变化 对各反射波的振幅影响也较明显:当土体的饱和度接 近完全饱和时,反射P1波、反射P2波、反射s波的振 幅幅值增大较为显著;而对于反射P3波,当地基土体 接近完全水饱和(饱和度为1)或完全气饱和(饱和度 为0)时,反射P3波将消失(振幅反射率接近0)。这是 静 静 甚 粤 粤 O 入射角 ) 雅一 一一 一~~~一一一~~ 一 斛 粤 崔 图2不同饱和度下的各波振幅反射率与入射角之间的关系 Fig.2 Variations of the amplitude reflection ratios of different reflected waves with incident angle at different saturation 图3分别给出了地表土在不同饱和度条件下,四种 (17)。另外从图3看出,反射Pl波和反射s波携带了 反射波的能量反射率与平面s波入射角大小的关系曲 线。计算结果验证了:在本文讨论的各种条件下,四种反 射波的能量反射率之和恒等于1,满足能量守恒公式 几乎全部反射波的能量,并且入射角的变化对反射P1波 和反射s波能量分配的影响规律相反。当S波的入射角 度接近临界入射角时,反射P1波的能量反射率迅速减 第1期 陈炜昀等:平面S波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 103 小,同时,反射s波的能量反射率迅速增大。这说明:入 射波的能量都会发生显著变化:反射P1波所携带的能量 射角接近临界角时,入射波的能量开始迅速从反射Pl波 向反射s波发生转移。同样,饱和度的变化对各反射波 的能量比例影响也较为明显。图3表明,对于地基土而 比例将降低而反射s波所携带的能量比例将增加。由于 平面P1波和平面s波的传播速度较快且衰减较慢 ] 并且携带几乎全部的入射波能量(如图3所示),故饱和 度变化对其传播及反射特性的影响应该尤其值得重视。 言,当其接近准饱和状态或者完全饱和状态时,其各反 姆 栅 僻 妥 Ⅲ: 入懿豫 、 图3不同饱和度下的各波能量反射率与入射角之间的关系 Fig.3 Variations of the energy reflection ratios of different reflected waves with incident angle at different saturation 4 结论 本文结论表明土动力学研究中应重视饱和度变化 的影响,这对工程地震勘探中常用的地震反射波法、地 震折射波法以及测井数据处理有实际工程意义。 参考文献 本文研究了平面s波由非饱和土地基向其自由表 面入射并发生反射现象时,土体饱和度和入射角度对 四种弹性反射波振幅幅值及能量分配比例系数的影 响。文中推导了振幅反射率及能量反射率的理论表达 式,并在此基础上进行了数值分析。计算结果表明: (1)饱和度的变化将影响各反射波的振幅反射率 和能量反射率:当饱和度不高时,饱和度变化的影响较 小;当饱和度较高并接近完全饱和时,饱和度变化的影 响较为显著。 [1]Biot M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluid— saturated porous solid:I.1ow—frequency range;II.higher frequency range[J].The Journal of the Acoustical Society of America,1956,28(2):168—191. j 2 l Deresiewicz H,Rice J T.The effect of boundaires on wave propagation in a liquid—iflled porous solid:v.transmission across a plane interface[J].Seismological Society of America,1964,54(1):409—416. (2)平面s波入射角变化对各反射波的影响较为 [3]Sto11 R D,Kan T K.Reflection of acoustic waves at a water sendiment intefrace『J].The Journal of the Acoustical 显著,当平面s波垂直射至自由表面(入射角度为0。) 时,只存在反射s波。 (3)反射P1波和反射s波几乎携带全部入射s 波能量。且当土体接近完全饱和时,各反射波能量变 化较大。 Society ofAmerica,1981,70(1):149—156. 『4 l Dutta N C,Ode H.Seismic reflections from a gas water contact[J].Geophysics,1983,48(2):148—162. i 5 l Singh J,Tomar S K.Renection and transmission of transverse waves at a plane interface between two different porous elastic solid half-spaces[J].Applied Mathematics and Computation, 2006,176(1):364—378. (4)计算结果显示各反射波能量反射率之和恒为 1,说明整个反射过程没有发生能量的耗散。 (下转第127页) 第1期 李寿英等:覆冰斜拉索驰振稳定性的理论研究 学报,2000,18(4):413—420. 127 取三值平均驰振力系数较为合理。 (3)随着覆冰长度的减小,驰振临界风速增加,对 M18拉索而言,3/4、1/2和1/4截面形成覆冰的驰振临 界风速分别为12、23和68 m/s。 LI Wan—ping.Dynamic aerodynamic characteristics of the galloping of bundled Iced power transmission lines[J]. ACTA Areodynamica Sinica,2000,18(4):413—420. [6]白海峰,李宏男.式覆冰导线横风驰振响应研究[J]. 振动工程学报,2008,21(3):298—303. BAI Hal—feng,LI Hong—nan,Crosswind—induced galloping of (4)随着拉索阻尼比的增加,驰振临界风速基本 呈线性增加。 (5)拉索越短,驰振临界风速越长,海南洋浦大桥 中跨最短拉索的驰振临界风速达到27 m/s。 参考文献 iced—bundle conductors[J].Journal of Vibration Engineering, 2008,21(3):298—303. [7]陈政清.桥梁风工程[M].北京:人民交通出版社,2005. [8]顾明,马文勇,全涌,等.两种典型覆冰导线气动力特 [1]den Hartog J P.Transmission line vibration due to sleet[J]. 性及稳定性分析[J].同济大学学报(自然科学版),2009, Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 37(10):1328—1332. 1932,51:1074—1077. GU Ming,MA Wen—yong,QUAN Yong,et a1.Aerodynamic [2]Nigol O,Buchan P G.Conductor galloping—Part ll:torsional force characteristics and stabilities of two typical Iced mechanism[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and conductors[J].Journal of TonNi University(Natural Systems,1981,100(2):708—720. Science),2009,37(10):1328—1332. 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