振第３２卷第１期 动与冲击 ＪＯＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨ０ＣＫ 平面Ｓ波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 陈炜昀 。，夏唐代 ，刘志军 ，周新民。 （１．浙江大学软弱土与环境土工教育部重点实验室，杭州３１００５８； ２．浙江大学岩土工程研究所，杭州３１００５８；３．浙江省地震局，杭州３１００１３） 摘 要ｉ运用非饱和孔隙介质理论阐述了弹性波在非饱和土中的传播特性，分析了平面Ｓ波在非饱和土层自由边 界上的反射问题。根据边界条件，分别导出了在非饱和土自由边界上的四种反射波：反射Ｐ１波、反射Ｐ２波、反射Ｐ３波及 反射Ｓ波的振幅反射率及能量反射率的理论表达式，并在此基础上进行了数值计算。算例中讨论了四种反射波的振幅反 射率及能量反射率受平面ｓ波入射角度及土层饱和度变化的影响情况。计算结果表明：各反射波的振幅反射率及能量反 射率不仅与入射角有关，也受到饱和度变化的影响，结论对土动力学的理论研究以及相关工程地震勘探具有一定指导 意义。 关键词：土动力学；平面Ｓ波；非饱和土；弹性波反射 中图分类号：ＴＵ４３５ 文献标识码：Ａ Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｌａｎｅ・—Ｓ・－ｗａｖｅｓ ａｔ ａ ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌ ＣＨＥＮ Ｗｅｉ—ｙｕｎ ，ＸＩＡ Ｔａｎｇ—ｄａｉ 一，ＬＩＵ Ｚｈｉ－ｊｕｎ ，ＺＨＯＵ Ｘｉｎ—ｍｉｎ （１．ＭＯＥ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｓｏｆｔ Ｓｏｉｌｓ ａｎｄ Ｇｅｏｅｎｖｉｒｏｍｅｎｔａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００５８，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００５８，Ｃｈｉｎａ； ３．Ｓｅｉｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ Ｂｕｒｅａｕ ｏｆ Ｚｈ＠ａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００１３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｐｌａｎｅ—Ｓ—ｗａｖｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｏｆ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌ ｗａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ Ｐ１ ｗａｖｅ，ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ Ｐ２ ｏｎｅ，ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ Ｐ３ ｏｎｅ ａｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ Ｓ ｏｎｅ ａｔ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｗｅｒｅ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ ｄｅｒｉｖｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｔｈｅｎ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ．Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｇｌｅ ｏｆ ｐｌａｎｅ．－Ｓ—－ｗａｖｅｓ ａｎｄ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｓｏｉｌ ｌａｙｅｒ ｏｎ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｉｔ ｗａｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｖａｒｉｏｕｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ａｒｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｄ ｂｙ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｇｌｅ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｌｅｖｅ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｅｒｅ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｓｏｉｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｓｅｉｓｍｉｃ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｊｅｃｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｏｉｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｐｌａｎｅ—Ｓ—ｗａｖｅ；ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌ；ｅｌａｓｔｉｃ ｗａｖｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ 随着科学技术的发展，在地震工程、岩土工程、海 波在饱和孔隙介质中的反射与透射问题。为了解释海 洋地震测试中所获得的声波数据，Ｓｔｏｌｌ等 分析了地 震波在水～土界面上的反射与透射。Ｄｕｔｔａ等 计算 洋工程和声学等学科中，均可遇到弹性波在多孔介质 （如天然土、岩石等）中传播问题。弹性波在不同介质 界面上的反射与透射问题的研究也成为其中一个重要 领域。关于饱和土中波的传播理论研究大多基于经典 Ｂｉｏｔ理论＿１ Ｊ，此理论的一个重要结论是：在液体饱和多 孑Ｌ介质中除了存在与均质弹性体中的Ｐ波和ｓ波有类 了在两种饱和孔介质之间界面上地震波的反射与投射 系数。Ｓｉｎｇｈ等 分析了平面剪切波在两种不同弹性 孔隙介质空间分界面上的反射与投射问题。周新民 等 研究了地震波在地下水位附近气、水界面的反射 与透射。 实际上，地球表面绝大部分覆盖的岩石或天然土 似特征的快Ｐ１波和ｓ波外，还存在一种慢Ｐ２波。该 理论主要是针对地基土或岩石孔隙中只包含一种成分 （水、气或者油）的情形。Ｄｅｒｅｓｉｅｗｉｃｚ等 研究了地震 的孔隙中同时包含有两种或两种以上不同的流体，如 水，气体和油，使得其土体动力特性也会有明显的变 化，因此，对弹性波在非饱和土地基自由表面的反射问 题的研究显得十分重要。近几十年，Ｇａｒｇ等 列扩展 基金项目：浙江省重点科技创新团队支持计划资助（２００９Ｒ５００５０） 收稿日期：２０１１—１ｌ一０８修改稿收到日期：２０１１—１２—２７ 第一作者陈炜昀男，博士生，１９８６年生 了Ｂｉｏｔ经典理论，研究了不同饱和度对多孔介质中弹 １Ｏ０ 振动与冲击 ２０１３年第３２卷 性波波速和衰减的影响。这些研究揭示：在非饱和孔 隙介质中存在三种压缩波和一种剪切波，即Ｐ１波、Ｐ２ 波、Ｐ３波和Ｓ波，其中Ｐｌ波和Ｐ２波的传播特性类似于 Ｂｉｏｔ理论中的快Ｐ１波和慢Ｐ２波，而Ｐ３波则是由于孔 隙介质中气相的出现而产生的。考虑到压缩波和剪切 波在非饱和土自由界面附近的相互干涉，陈炜昀等¨ 在以上的研究基础上讨论了非饱和土的不同界面处表 面波的传播特性。 ｆ［ 三ｐ ２３１】 二Ｐｐ：２１３ ：Ｐｐ ３２］八ｌ［ Ｉ三Ａ ］ｌ＝。０ ｃ （４ａ ，Ｉ ｇ ｑｚ ｇｚ 尉。八Ｉ１ 日 ／Ｉ ＝０ （４ｂ，） １ｑ３１ ｑ３２ ｑ３３本文讨论了平面Ｓ波在非饱和土层自由表面处的 反射问题，分别分析了人射角度和土体饱和度对四种 反射波的影响。研究了入射ｓ波所携带的能量分配给 各反射波的比例系数（即能量反射率）受饱和度变化的 影响规律。 １ 非饱和孔隙介质波动方程 通常情况下，地表土体是由土颗粒骨架、孔隙水和 孔隙气体组成的三相介质，在本文中分别用上标ｓ、￡ 和Ｇ表示。符号Ｏｔ指代每一相介质，即Ｏｌ＝Ｓ，Ｌ，Ｇ。 在混合物理论的基础上 。， ］，陈炜昀等 ¨ 得到如下 非饱和孔隙介质波动方程： ｎ 吨（ 一警） （ 一警）＝ （ｒｓｓ＋ｎＳＡｓ＋ｎ ｓ）Ｖ（７ Ｕｓ）＋ｎＳｔｘｓ Ｖ Ｕｓ＋ ｒｓ Ｖ（Ｖ Ｕ ）＋ｒｓＧ Ｖ（ Ｕ ） （１ａ） （警一等）＝ ｒｓＬ Ｖ（Ｖ ）＋ｒ儿Ｖ（Ｖ Ｕ ）＋ｒＬＧ Ｖ（Ｖ Ｕ ）（１ｂ） 衄ｎ 等 （警一警）＝ ｒｓＧ （７ Ｕ ）＋ｒ￡Ｇ Ｖ（Ｖ Ｕ ）＋ｒｃｃ Ｖ（７ Ｕ ）（１ｃ） 式中：Ｖ 为Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标下的Ｌａｐｌａｃｅ算符； 表示各 相介质的位移矢量； 表示各相介质的体积分数；Ｊ９ 为 各相介质的密度；系数ｒｓｓ，ｒ址，ｒ。。，ｒ ，ｒ 。和ｒ 。为孑Ｌ隙 介质参数¨ 。 将土颗粒、孔隙水和孔隙气体三相介质的位移矢 量进行Ｈｅｌｍｈｏｈｚ分解： （ ＝Ｓ，Ｌ，Ｇ） （２ａ） （ ＝Ｓ，Ｌ，Ｇ） （２ｂ） ＝Ａ ｅｘｐ［ （ｋｐｎｒ一 ）］ （３ａ） ＝Ｂ ｅｘｐ［ｉ（ ／ｉｔ一（【， ）］ （３ｂ） 式中： 。和ｋ 分别为压缩波和剪切波的波数；Ａ 和 分别表示振幅幅值；ｉ＝ 一１；∞表示角频率；ｎ为方 向矢量；ｒ为位置矢量。将式（３ａ）和（３ｂ）代人方程 （１ａ）一（１Ｃ），经过计算可以分别得到压缩波和剪切波 Ｐｌ１ ＝ ６ （ Ｌ＋ Ｇ）＋∞ Ｐｓ一 ｒｓｓ＋ｎｓＡｓ＋２ｎ ｓ） Ｐ２２＝ ６ｏ Ｌ＋ｎ， Ｐ 一 ２ ｒＬＬ Ｐ３３＝ Ｇ＋∞ Ｐ。一 ｒＧＧ Ｐｌ２＝Ｐ２１＝一 ｃＤ Ｌ一 ：ｒｓＬ Ｐ ３＝Ｐ３ ＝一 ； ｑ１１＝ （ ＋ Ｇ）＋∞ Ｐ—ｎ ｓｋ ｑ２２ ∞ Ｌ＋ Ｐ ，ｑ３３ Ｇ＋ 。Ｐ ＝（ｎ ） 老， ｅ （ 。） （５） 式中： 表示多孔介质的固有渗透系数；叼 和 表示流 ｋｒ＝（１一Ｓ ） （１一Ｓ 面 ） （６ｂ） ２．１弹性波的势方程 如图１所示，设在 ０部分为非饱和土部分。在 非饱和土中，频率为（ｃＪ的平面ｓ波以任意角度 人射 至自由边界处，在边界处将激发四种反射波：反射Ｐ１ 波、反射Ｐ２波、反射Ｐ３波及反射Ｓ波。 对于非饱和土部分（ ０）： 入射ｓ波： ＝Ｂ：ｅｘｐ［ｉｋ （１ｉ，ｘ—ｈｉｓｚ—ｃ ｔ）］ （７） 反射Ｐ波： ：：Ａ；１ｅｘｐ［ｉｋ １（ｚｒＰ１ ＋ｎ １ｚ—ｃ，Ｐ１ｔ）］＋ Ａ ｅｘｐ［ｉｋ （１，ｐ２Ｘ＋ｎｒｐ２Ｚ—Ｃｒｐ２ｔ）］＋ 反射ｓ波：４ ｅｘｐ［ｉｋｒｐ３（ ＋ ３ —Ｃｒｐ３ｔ）］ （８） ＝Ｂ，￣ｅｘｐ［ｉｋ （１．ｘ＋ｎｒｓＺ—Ｏｒｓ ）］ （９） 第１期 陈炜昀等：平面ｓ波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 ，ｎ４３＝ ｒｓＧ＋ ３ｒ Ｇ 髓＋ ３ｒＧＧ６Ｇ３ ｍ ＝０ １Ｏ１ ［Ｑ］中的系数为： ｇ ＝２ｎ ‘ｓｚ ｎ ｜ｊ｝ ，ｇ２＝（１—２ｚ ）．ｊ｝ ，ｇ３＝０，ｇ ＝０ 假定入射波固相位移幅值 值为１，则［Ⅳ］中的系 数分别表示自由界面上四种反射波的振幅反射率： 图１平面Ｓ波的反射不意图 ｌ￣ｒｐｌ＝Ｆｉｇ．１ Ｓｋｅｔｃｈ ｏｆ Ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ｐｌａｎｅ・・Ｓ－－ｗａｖｅ 鲁，’ ｎｒｐ２＝鲁，’ ｒｔｒｐ３＝瓮，’ ｎ ＝簧ｃ ｔ４ 此外，本文还深入探讨了饱和度对各反射波能量 分配的影响。其中，波的能流密度函数本文采用Ｒｕｂｉ— 式中：ｋｒｅ￣（卢＝１，２，３）和 分别表示边界处反射压缩 波和反射剪切波波数；ｃ邮（ ＝１，２，３）和Ｏｒｓ分别表示 反射压缩波和反射剪切波波速。 从式（４ａ）可以得到以下幅值关系式： ％：争：一Ａ 一Ｐ ２３Ｐ１１－ｐ Ｐ １ ，（ ：１，２，３）（１０ａ） 。 一Ａ：争： 一 ｐ２２ｐ３３－ｐ２３ｐ３２ ．（卢：ｌｐ ，一２，３ ）（１０ｂ） ２．２边界条件 在非饱和土自由表面（ ＝０）处，边界条件表 示为： Ｉ圳＝０， Ｊ ＝０，ｏｒ Ｊ圳＝０，ｏｒ。Ｉ刎＝０ （１１） 代人势方程并将上式展开，结合相关本构关系 ， 可以得到： （ｒ ＋凡ｓＡｓ）７ ｓ＋ｒ舡７ ＋ｒｓｃ ７ ２ Ｇ＋ ２ （ ＋ （１２ａ） Ｖ ＋２（ 一 （１２ｂ ｒｓＬ Ｖ ｓ＋ｒ此７ ＋ｒ￡Ｇ Ｖ Ｇ＝０ （１２ｃ） ｒｓＧ Ｖ ｓ＋ｒＬＧ Ｖ ＋ｒＧＧ Ｖ Ｇ＝０ （１２ｄ） 将式（７）～式（９）代入以上边界条件，并且考虑 Ｓｎｅｌｌ定理，可得到各幅值的关系为： ［ ］［Ｎ］＝Ｂ ［Ｑ］ （１３） 式中：［Ｎ］＝［Ａ，Ｓｐ ， Ｓ ，４ Ｓ ， ：］ ，［ ］．中的系数为： 玎 ｌｌ ＝（ｒｓ ＋ ｓＡｓ＋ｒｓ 艿 １＋ｒｓＧ Ｇ１＋２凡 ｓ ２ １） ；１ ｍｌ２＝（ｒｓｓ＋ｎｓＡ５＋ｒｓＬ６ ＋ｒｓＧ艿晓＋２ｎ ｓｎ ） ，孔ｌ３＝（ｒ ＋ｎＳＡｓ＋ｒＳＬＣ￣ ＋ｒｓｃ８ｃ３＋２ｎＳｔｘｓｎ２ ）．１ｃ ３ ，ｎｌ４ ＝２ ５ｚ ｎ ，，ｎ２ｌ ＝２ｌｒｐ１ ｌｌｒｐｌ尼 １ ｍ２２＝２ｌ￣０２ ｒｐ２ ，ｍ２３＝２１ｒｐ３ ｒｐ３ ２ ３ ｍ ＝（１—２ ２） ｍ３１＝ ：１ ｒ观＋ １ｒ址６Ｌ１＋ １ｒ￡Ｇ６Ｇ１ ｍ３２＝ｋ￣ｐ２ｒ乩＋．ｊ｝ ２ｒ ６ ＋后 ２ｒ￡Ｇ 晓 ，ｎ３３ ｋ￣ｐ３ｒ乩＋ｋ２３ｒｌｚ６ ＋ｋ￣３ｒＬｃ６国 ｍ３４＝０ ，ｎ４１＝后２ １ｒｓＧ＋后 ｌｒ￡Ｇ Ｌ１＋ １ｒＧＧ Ｇ１ ，ｎ４２＝ｋ２２ｒｓＧ＋ｋ２２ｒＬｃ 王２＋ ｒＧＧ６晓 ｎｏ等 推荐的表达式，即在非饱和土体中弹性波的能 流密度可表示为： ＝ Ｊ０ （ ｓ．ｓ＋ ｓ．ｓ＋ ＬＭ，Ｌ。＋ Ｇ．Ｇ） （１５） 将各反射波能流密度分别除以入射平面Ｓ波的能 流密度，即可得到该波的能流密度反射系数，即能量反 射率，从而得到入射波携带的能量分配情况。经过计 算，四种反射波的能量反射率可以分别表示为： ｅ ￣ｌｎ ｒｌ ｎｒｐｌ —— —— ｒｐｐｌｋｒｐ：————ｒｐ一 ｌ （１６Ｏａ ） ｅｒｏ ２ — —— ： （ １０１１６ｂ）３ ： ｅ ｒｐ３ —— —— ３ｋｒｐ３ｎ ｒｐ３（１６＝￣３ ｎｒｐ ——－— Ｌ ｃ ｃ） ｅ ＝ｎ２ （１６ｄ） 其中系数亭 、 啦和 ，ｐ３可以表示为： 阳１ ＝２ｎ ｓ＋ｒ船＋ Ａｓ＋２ｒ乩 ￡ｌ＋２ｒｓＧ６Ｇ１＋ ２ｒ￡Ｇ Ｇ１ ￡１＋ｒ １＋ｒＧＧ １ Ｄ２＝２ｎ ｓ＋ｒｓｓ＋ｎＳＡｓ＋２ｒｓＬ 位＋２ｒｓｃ Ｇ２＋ ２ｒＬＧ 盘６ ＋ｒ址 ＋ｒＧＧ 柚＝２ｎ ｓ＋ｒｓｓ＋ Ａｓ＋２ｒｓ￡ 出＋２ｒｓＧ ∞＋ ２ｒ￡Ｇ６∞ ＋ｒ皿 ＋ｒＧＧ６ 由于整个反射过程中没有发生能量的消耗，因此 在非饱和土地基自由表面上入射波的能量必须等于四 种反射波能量的总和，即在ｚ＝０处有： ｅ １＋ｅ ＋ｅ ３＋ｅ ＝１ （１７） ３数值算例分析 本节将通过数值算例分析平面ｓ波在非饱和土自 由边界上的振幅反射率及能量反射率受土体饱和度及 入射角度变化的影响。算例中所用的非饱和土体土性 参数均取自文献［１４］，见表１。 图２分别给出了在不同饱和度条件下的地基表面 各反射波的振幅反射率与平面ｓ波入射角之间的关系 曲线。这里入射ｓ波的频率设定为ｌ ０００ Ｈｚ。图２表 振动与冲击 ２０１３年第３２卷 明：当平面ｓ波垂直射至自由界面时（入射角度为０。）， 无反射Ｐ１波、反射Ｐ２波、反射Ｐ３波，只存在反射Ｓ 因为Ｐ３波的出现是由于土介质中液体和气体之间压 力差的存在 Ｈ 。 表１ 非饱和土的材料参数 “ Ｔａｂ．１ Ｍａｔｅｒｉａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌ［１４ 波。根据Ｓｎｅｌｌ定理可知，各反射波角度的正弦值与反 射波波速成正比。一般情况下，在非饱和土中ｓ波波 速要小于反射Ｐ１波波速，故当平面ｓ波入射角达到其 临界角时，反射Ｐ１波的反射角度将达到９０。。当入射 角大于临界角时，反射波将转化为面波类型的波在自 材料参数 孔隙率，ｎ 土颗粒密度ｐ ／（ｋｇ・ｍ ） 水密度ｐ ／（ｋｇ・ｍ。） 由面传播 。由图２可以看出，当饱和度不大于０．８ 时，其入射临界角约为２９。；当饱和度接近完全饱和时， 入射临界角将有所减小。从图２可以看出，饱和度为 ０．９９时，入射临界角降至约２３。。入射角变化对各反射 波的振幅影响均较为明显：反射Ｐｌ波、反射Ｐ２波、反 气体密度ｐ衄／（ｋｇ・ｍ。） 土颗粒的体积模量Ｋｓ／ｋＰａ 水的体积模量ＫＬ／ｋＰａ 气体的体积模量Ｋｃ／ｋＰａ 土体固有渗透率ｋ／ｍ 水的粘滞系数田 ／（Ｐａ・ｓ） 气体的粘滞系数卵 ／（Ｐａ・ｓ） 拉梅常数Ａ ／ｋＰａ 拉梅常数／ｘ ／ｋＰａ ｖａｎ Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎ参数ｍ ｖａｎ Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎ参数ａ￣ｇ／Ｐａ 射Ｐ３波的振幅均随入射角增大而增大；反射ｓ波幅值 则是随着入射角增大而先减小后增大。饱和度的变化 对各反射波的振幅影响也较明显：当土体的饱和度接 近完全饱和时，反射Ｐ１波、反射Ｐ２波、反射ｓ波的振 幅幅值增大较为显著；而对于反射Ｐ３波，当地基土体 接近完全水饱和（饱和度为１）或完全气饱和（饱和度 为０）时，反射Ｐ３波将消失（振幅反射率接近０）。这是 静 静 甚 粤 粤 Ｏ 入射角 ） 雅一 一一 一～～～一一一～～ 一 斛 粤 崔 图２不同饱和度下的各波振幅反射率与入射角之间的关系 Ｆｉｇ．２ Ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｗｉｔｈ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｇｌｅ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ 图３分别给出了地表土在不同饱和度条件下，四种 （１７）。另外从图３看出，反射Ｐｌ波和反射ｓ波携带了 反射波的能量反射率与平面ｓ波入射角大小的关系曲 线。计算结果验证了：在本文讨论的各种条件下，四种反 射波的能量反射率之和恒等于１，满足能量守恒公式 几乎全部反射波的能量，并且入射角的变化对反射Ｐ１波 和反射ｓ波能量分配的影响规律相反。当Ｓ波的入射角 度接近临界入射角时，反射Ｐ１波的能量反射率迅速减 第１期 陈炜昀等：平面Ｓ波在非饱和土自由边界上的反射问题研究 １０３ 小，同时，反射ｓ波的能量反射率迅速增大。这说明：入 射波的能量都会发生显著变化：反射Ｐ１波所携带的能量 射角接近临界角时，入射波的能量开始迅速从反射Ｐｌ波 向反射ｓ波发生转移。同样，饱和度的变化对各反射波 的能量比例影响也较为明显。图３表明，对于地基土而 比例将降低而反射ｓ波所携带的能量比例将增加。由于 平面Ｐ１波和平面ｓ波的传播速度较快且衰减较慢 ］ 并且携带几乎全部的入射波能量（如图３所示），故饱和 度变化对其传播及反射特性的影响应该尤其值得重视。 言，当其接近准饱和状态或者完全饱和状态时，其各反 姆 栅 僻 妥 Ⅲ： 入懿豫 、 图３不同饱和度下的各波能量反射率与入射角之间的关系 Ｆｉｇ．３ Ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｗａｖｅｓ ｗｉｔｈ ｉｎｃｉｄｅｎｔ ａｎｇｌｅ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ４ 结论 本文结论表明土动力学研究中应重视饱和度变化 的影响，这对工程地震勘探中常用的地震反射波法、地 震折射波法以及测井数据处理有实际工程意义。 参考文献 本文研究了平面ｓ波由非饱和土地基向其自由表 面入射并发生反射现象时，土体饱和度和入射角度对 四种弹性反射波振幅幅值及能量分配比例系数的影 响。文中推导了振幅反射率及能量反射率的理论表达 式，并在此基础上进行了数值分析。计算结果表明： （１）饱和度的变化将影响各反射波的振幅反射率 和能量反射率：当饱和度不高时，饱和度变化的影响较 小；当饱和度较高并接近完全饱和时，饱和度变化的影 响较为显著。 ［１］Ｂｉｏｔ Ｍ Ａ．Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｗａｖｅｓ ｉｎ ａ ｆｌｕｉｄ— ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｓｏｌｉｄ：Ｉ．１ｏｗ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒａｎｇｅ；ＩＩ．ｈｉｇｈｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒａｎｇｅ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，１９５６，２８（２）：１６８—１９１． ｊ ２ ｌ Ｄｅｒｅｓｉｅｗｉｃｚ Ｈ，Ｒｉｃｅ Ｊ Ｔ．Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｉｒｅｓ ｏｎ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｌｉｑｕｉｄ—ｉｆｌｌｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｓｏｌｉｄ：ｖ．ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ａｃｒｏｓｓ ａ ｐｌａｎｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ［Ｊ］．Ｓｅｉｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，１９６４，５４（１）：４０９—４１６． （２）平面ｓ波入射角变化对各反射波的影响较为 ［３］Ｓｔｏ１１ Ｒ Ｄ，Ｋａｎ Ｔ Ｋ．Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｗａｖｅｓ ａｔ ａ ｗａｔｅｒ ｓｅｎｄｉｍｅｎｔ ｉｎｔｅｆｒａｃｅ『Ｊ］．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ 显著，当平面ｓ波垂直射至自由表面（入射角度为０。） 时，只存在反射ｓ波。 （３）反射Ｐ１波和反射ｓ波几乎携带全部入射ｓ 波能量。且当土体接近完全饱和时，各反射波能量变 化较大。 Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆＡｍｅｒｉｃａ，１９８１，７０（１）：１４９—１５６． 『４ ｌ Ｄｕｔｔａ Ｎ Ｃ，Ｏｄｅ Ｈ．Ｓｅｉｓｍｉｃ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ａ ｇａｓ ｗａｔｅｒ ｃｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ，１９８３，４８（２）：１４８—１６２． ｉ ５ ｌ Ｓｉｎｇｈ Ｊ，Ｔｏｍａｒ Ｓ Ｋ．Ｒｅｎｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｗａｖｅｓ ａｔ ａ ｐｌａｎｅ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｏｒｏｕｓ ｅｌａｓｔｉｃ ｓｏｌｉｄ ｈａｌｆ－ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２００６，１７６（１）：３６４—３７８． （４）计算结果显示各反射波能量反射率之和恒为 １，说明整个反射过程没有发生能量的耗散。 （下转第１２７页） 第１期 李寿英等：覆冰斜拉索驰振稳定性的理论研究 学报，２０００，１８（４）：４１３—４２０． １２７ 取三值平均驰振力系数较为合理。 （３）随着覆冰长度的减小，驰振临界风速增加，对 Ｍ１８拉索而言，３／４、１／２和１／４截面形成覆冰的驰振临 界风速分别为１２、２３和６８ ｍ／ｓ。 ＬＩ Ｗａｎ—ｐｉｎｇ．Ｄｙｎａｍｉｃ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ｏｆ ｂｕｎｄｌｅｄ Ｉｃｅｄ ｐｏｗｅｒ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｉｎｅｓ［Ｊ］． ＡＣＴＡ Ａｒｅｏｄｙｎａｍｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２０００，１８（４）：４１３—４２０． ［６］白海峰，李宏男．式覆冰导线横风驰振响应研究［Ｊ］． 振动工程学报，２００８，２１（３）：２９８—３０３． ＢＡＩ Ｈａｌ—ｆｅｎｇ，ＬＩ Ｈｏｎｇ—ｎａｎ，Ｃｒｏｓｓｗｉｎｄ—ｉｎｄｕｃｅｄ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ｏｆ （４）随着拉索阻尼比的增加，驰振临界风速基本 呈线性增加。 （５）拉索越短，驰振临界风速越长，海南洋浦大桥 中跨最短拉索的驰振临界风速达到２７ ｍ／ｓ。 参考文献 ｉｃｅｄ—ｂｕｎｄｌｅ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２００８，２１（３）：２９８—３０３． ［７］陈政清．桥梁风工程［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００５． ［８］顾明，马文勇，全涌，等．两种典型覆冰导线气动力特 ［１］ｄｅｎ Ｈａｒｔｏｇ Ｊ Ｐ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｉｎｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｄｕｅ ｔｏ ｓｌｅｅｔ［Ｊ］． 性及稳定性分析［Ｊ］．同济大学学报（自然科学版），２００９， Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ， ３７（１０）：１３２８—１３３２． １９３２，５１：１０７４—１０７７． ＧＵ Ｍｉｎｇ，ＭＡ Ｗｅｎ—ｙｏｎｇ，ＱＵＡＮ Ｙｏｎｇ，ｅｔ ａ１．Ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ［２］Ｎｉｇｏｌ Ｏ，Ｂｕｃｈａｎ Ｐ Ｇ．Ｃｏｎｄｕｃｔｏｒ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ—Ｐａｒｔ ｌｌ：ｔｏｒｓｉｏｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｗｏ ｔｙｐｉｃａｌ Ｉｃｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｏｗｅｒ Ａｐｐａｒａｔｕｓ ａｎｄ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＴｏｎＮｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９８１，１００（２）：７０８—７２０． Ｓｃｉｅｎｃｅ），２００９，３７（１０）：１３２８—１３３２． ［３］Ｙｕ Ｐ，Ｓｈａｈ Ａ Ｈ，Ｐｏｐｐｌｅｗｅｌｌ Ｎ．Ｉｎｅｒｔｉａｌｌｙ ｃｏｕｐｌｅｄ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ［９］Ｄｙｋｅ Ｐ Ｖ，Ｌａｎｅｉｌｌｅ Ａ，Ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒ ｏｆ ｉｃｅｄ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９２， ｃｏｖｅｒｅｄ ｗｉｔｈ ａ Ｄ－－ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｈｉｇｈ・－ｖｏｌｔａｇｅ ｏｖｅｒｈｅａｄ ｔｅｓｔ ｌｉｎｅ ５９：１４０—１４５． ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｉｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｄｕｓｔｉｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， ［４］马文勇，顾明，全涌，等．覆冰导线任意方向驰振分析 ２００８，９６：１１４１—１１５１． 方法［Ｊ］．同济大学学报（自然科学版），２０１０，３８（１）： ［１０］李万平，杨新祥，张立志．覆冰导线群的静气动力特性 １３０—１３４． ［Ｊ］．空气动力学学报，１９９５，１３（４）：４２７—４３５． ＭＡ Ｗｅｎ—ｙｏｎｇ，ＧＵ Ｍｉｎｇ，ＱＵＡＮ Ｙｏｎｇ，ｅｔ ａｌ，Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｌ１ Ｗａｎ—ｐｉｎｇ，ＹＡＮＧ Ｘｉｎ—ｘｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｌｉ—ｚｈｉ．Ｓｔａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ｉｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｌｃｅｄ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ ａｅｒｏｄｙｎａｍｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｌｌｏｐｉｎｇ ｏｆ ｂｕｎｄｌｅｄ Ｉｃｅｄ ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ），２０１０， ｐｏｗｅｒ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｉｎｅｓ ｌＪ ｉ．ＡＣＴＡ Ａｒｅｏｄｙｎａｍｉｃａ Ｓｉｎｉｅａ， ３８（１）：１３０—１３４． １９９５，１３（４）：４２７—４３５． ［５］李万平．覆冰导线群的动态气动力特性［Ｊ］．空气动力学 （上接第１０３页） ［６］周新民，夏唐代，徐平，等．饱和土介质中地震波在水、 ｅｌａｓｔｉｃ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｗｏ ｉｍｍｉｓｃｉｂｌｅ ｆｌｕｉｄｓ［Ｊ］． 气分界面上的反射与透射［Ｊ］．地震学报，２００６，２８（４）： Ｗａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００５，４１（２）：Ｗ０２０２５．１一 ３７２—３７９． ｗ０２０２５．２０． ＺＨＯＵ Ｘｉｎ—ｍｉｎ，ＸＩＡ Ｔａｎｇ—ｄａｉ，ＸＵ Ｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｓｅｉｓｍｉｃ ［１２］Ｌｕ Ｊ Ｆ，Ｈａｎｙｇａ Ａ．Ｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｃｏｅｍｃｉｅｎｓ ａｔ ａｎ ａｉｒ—ｗａｔｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｗｏ ｉｍｍｉｓｃｉｂｌｅ ｆｌｕｉｄｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｎｒａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｓｏｉｌ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｓｅｉｓｍｏｌｏｇｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００６， ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００５，４２（９—１０）：２６８９—２７０９． ２８（４）：３７２—３７９． ［１３］Ａｌｂｅｒｓ Ｂ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｕｎｄ ｗａｖｅｓ ｉｎ ［７］Ｇａｒｇ Ｓ Ｋ，Ｎａｙｆｅｈ Ａ Ｈ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎａｌ ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ ｐａｒｔｉｌａｌｙ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌｓ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ａ ｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｌｉｑｕｉｄ ａｎｄ ｏｒ ｇａｓ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｐｏｒｏｅｌａｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｉｎ Ｐｏｒｏｕｓ Ｍｅｄｉａ，２００９， Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９８６，６０（９）：３０４５—３０５５． ８Ｏ（１）：１７３—１９２． ［８］Ｂｅｒｒｙｍａｎ Ｊ Ｇ，Ｔｈｉｇｐｅｎ Ｌ，Ｃｈｉｎ Ｒ Ｃ Ｙ．Ｂｕｌｋ ｅｌａｓｔｉｃ ｗａｖｅ ［１４］Ｃｈｅｎ Ｗ Ｙ，Ｘｉａ Ｔ Ｄ，Ｈｕ Ｗ Ｔ．Ａ ｍｉｘｔｕｒｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆｒ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ ｐａｒｔｉａｌｌｙ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｓｏｌｉｄｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ—ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ ａｎ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉｕｍ ｔｈｅ Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，１９８８，８４（１）：３６０—３７３． ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２０１ １，４８ ［９］Ｗｅｉ Ｃ，Ｍｕｒａｌｅｅｔｈａｒａｎ Ｋ Ｋ．Ａ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐｏｒｏｕｓ （１６—１７）：２４０２—２４１２． ｍｅｄｉａ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｉｍｍｉｓｃｉｂｌｅ ｆｌｕｉｄｓ：Ｉ．Ｌｉｎｅａｒ ［１５］Ｖａｎ Ｇｅｎｕｃｈｔｅｎ Ｍ Ｔ．Ａ ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ ｐｏｒｏｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｈｙｄｒａｕｌｉｃ ｃｏｎｄｕｃｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｕｎｓａｔｕｒａｔｅｄ ｓｏｉｌｓ［Ｊ］．Ｓｏｉｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，２００２，４０（１６）：１８０７—１８３３． Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９８０，４４（５）： ［１０］Ｗｅｉ Ｃ，Ｍｕｒａｌｅｅｔｈａｒａｎ Ｋ Ｋ．Ａ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐｏｒｏｕｓ ８９２—８９８． ｍｅｄｉａ ｓａｔｕｒａｔｅｄ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｉｍｍｉｓｃｉｂｌｅ ｆｌｕｉｄｓ：ＩＩ．１ａｇｒａｎｇｉａｎ ［１６］Ｒｕｂｉｎｏ Ｊ Ｇ，Ｒａｖａｚｚｏｌｉ Ｃ Ｌ，Ｓａｎｔｏｓ Ｊ Ｅ．Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ａｎｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ『Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｏｆ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｐｏｒｏｕｓ ｍｅｄｉａ：ａ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ２００２，４０（１６）： ｑｕａｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｓｌｏｗ ｗａｖｅｓ［Ｊ］． １８３５—１８５４． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，２００６，１ ２０（５）： ［１１］ ｗ Ｃ，Ｓｐｏｓｉｔｏ Ｇ，Ｍａｊｅｒ Ｅ．Ｗａｖｅ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ２４２５—２４３６
