浅谈二分法求方程的近似解的思路与技巧

专业代码：080101

楚 雄 师 范 学 院

(Chxiong Normal University) 数学系2008级数学与应用数学专业教育实习

教育教学研究论文

实习生姓名 茶 本 卫

学 号 20081021112

专 业 数学与应用数学

年 级 08级

实 习 单位 紫系中学

实 习 时间 2011年10月---11月

楚雄师范学院数学系编制

二0一一年九月二十八日

楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

目录

楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

浅谈二分法求方程的近似解的思路与技巧

摘要：在二分法中，由于不断取中点，区间不断缩小，区间的中点逐渐逼近方程根(或函

数零点)的精确值，所以二分法体现了无限逼近的极限思想；二分法本质上又是一种区间迭代的数值算法，渗透了算法思想；二分法还体现了非此即彼的哲学思想，它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识，主要有以下四方面的应用。

关键词:二分法；零点存在定理；精确度

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Talking about the dichotomy of ideas and techniques for finding

approximate solutions to equations

Abstract:Dichotomy, given the access point , shrinking intervals , gradually

approaching the midpoint of the interval root of equation ( or function zeros) The exact values , approximation of dichotomy reflects the infinite limit thought ; Dichotomy is essentially an interval iterative numerical algorithms , infiltrated algorithm,Dichotomy is reflected either/or philosophy , which combines functions, equations,inequalities , series, limits, and other knowledge , there are four main areas of application.

Keywords:Dchotomy,zero point existence theorem, accuracy.

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前 言

二分法,由于不断取中点,区间不断缩小,区间的中点逐渐逼近方程根(或函数零点)的精确值,所以二分法体现了无限逼近的极限思想;二分法本质上又是一种区间迭代的数值算法,渗透了算法思想;二分法还体现了非此即彼的哲学思想,它综合了函数、方程、不等式、数列、极限等多种知识。

二分法在过去是大学的内容随着课程改革的进程，我们把它放入高中教材中进行教授，对于高中生很难理解。为了帮助高中学生更好的掌握并能很好的理解它的思想，以便把它的思想应用于实际生活。由于本人第一次讨论这方面的知识，希望读者给予意见，对我的错误的地方给于指证。

1.用二分法求方程的近似解

1.1基本概念

1.1.1零点

使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 1.1.2二分法

对于区间a,b上连续不断且fafb0的函数yfx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection). 1.1.3方程

含有未知数的等式叫方程，这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法，关系定义，而含未知数的等式不一定是方程，如0x=0就不是方程，应该这样定义. 1.1.4实数

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实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

1.1.5精确度

*若区间an,bn的长度bnan,则称为方程近似解xn的精确度,此时xxn.所以

区间an,bn任意一个值都是满足精确度ε的近似解.设函数零点的精确值为x,近似值为xn,由精

***n确度定义可知bnan,又xxnbnan,所以xxnb0a02.

1.2运算方法

【例1】用二分法求方程2x4x3x10在区间2,3的实数解.(精确度0.01) .

321.2.1一般理论求解

解:法1：设fx2x4x3x1,由f2224232150，

3232f3233432331100，由零点存在性定理知,区间2,3可作初始区间2,3,用

二分法逐次计算列表如下:

精确值为：ab2310.01，中点为：

ab232.5 22f2.522.5342.5232.510.250

同理可得,区间2.5,3可作零点存在的新区间2.5,3； 精确值为：ab2.530.50.01，中点为：

ab2.532.75 22f2.7522.75342.75232.7514.09380

同理可得,区间2.5,2.75可作零点存在的新区间2.5,2.75； 精确值为：ab2.52.750.250.01，中点为：

ab2.52.752.625 22f2.62522.625342.625232.62511.73830

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同理可得,区间2.5,2.625可作零点存在的新区间2.5,2.625； 精确值为：ab2.52.6250.1250.01，中点为：

ab2.52.6252.5625 2222.5625342.5625232.562510.69970 f2.5625同理可得,区间2.5,2.5625可作零点存在的新区间2.5,2.5625； 精确值为：ab2.52.56250.06250.01，中点：

ab2.52.56252.5313 2222.5313342.5313232.531310.21470 f2.5313同理可得,区间2.5,2.5313可作零点存在的新区间2.5,2.5313； 精确值为：ab2.52.53130.03130.01，中点：

ab2.52.53132.5156 2222.5156342.5156232.515610.02110 f2.5156同理可得,区间2.5156可作零点存在的新区间2.5156,2.5313； ,2.5313精确值为：ab2.53132.51560.01570.01，中点：

ab2.53132.51562.5235 2222.5235342.5235232.523510.09690 f2.5235可作零点存在的新区间2.5156,2.5235； 同理可得,区间2.5156,2.5235精确值为：ab2.51562.52350.00790.01。 所以原方程的近似解可取为2.5235. 1.2.2列表法

法2：因为下表: ( 由于精确度0.01)

fx2x34x23x1 左端点(a 1 2 2 2.5 中点c 2.5 2.75 b)右端点 3 3 f(a)符号 — — f(c)符号 — + f(b)符号 + + ab 1 0.5 楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

3 2.5 2.625 2.75 2.625 2.5625 2.5313 2.5313 2.5235 — + + 0.25 4 2.5 2.5625 — + + 0.125 5 2.5 2.5313 — + + 0.0625 6 2.5 2.5156 — — + 0.0313 7 2.5156 2.5235 — + + 0.0157 8 2.5156 — + 0.0079 所以原方程的近似解可取为2.5235. 1.2.3数轴法

法3：图像(数轴)法:( 由于精确度0.01)

0 2 把区间2.2.5622.625 2.75 3 2.5,2.5625从新显示得： 2.5 2.5152.5235 2.5313 2.5625 该区间就是方程2x4x3x1的解.为了方便我们一般取端点值作为方程的解。故方程的解为：x2.5156或x2.5235.

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1.3二分法求方程近似解的步骤

1.3.1一般步骤

1.确定区间a,b，验证fafb0,给定精确度；

2.求区间a,b的中点c；

3.计算fc；

（1）若fc0，则c就是函数的零点；

（2）若fafc0，则令bc(此时零点x0a,c);

（3）若fcfb0，则令ac(此时零点x0c,b).

4.判断是否达到精确度:即若ab，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.

1.3.2求解的口诀

口 诀

定区间，找中点， 中值计算两边看.

同号去，异号算， 零点落在异号间.

周而复始怎么办? 精确度上来判断.

2.用二分法求函数零点的近似值

2.1基本概念

2.1.1函数概念

函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有

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的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。 2.1.2函数的零点的概念

函数零点定义：我们把函数yfx的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根。

fx的零点就是方程fx0的解。这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径。

函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数。

若函数yfx在闭区间a,b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即

fafb0，则在区间a,b内，函数yfx至少有一个零点，即相应的方程fx0在区

间a,b 内至少有一个实数解。

一般结论：函数yfx的零点就是方程fx0的实数根，也就是函数yfx的图像与x轴（直线x0）焦点的横坐标，所以方程fx0有实数根推出函数yfx的图像与函数

ygx的图像与x轴有交点推出函数yfx有零点。

更一般的结论：函数Fxfxgx的零点就是方程fxgx的实数根，也就是函数

yfx的图像与函数ygx的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

函数零点就是当发fx0是对应的函数值，需要注意的是零点是一个点，而不是一个值，它是二维平面上的一个独立的点。

变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零） 不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）

2.2运算方法

【例2】 已知函数fxxx1,x1,1.5.

3(1)当精确度为0.01时,二分的次数最少为多少次可确定零点的近似值?

1,1.5的一个零点.(精确到0.01) (2)用二分法求解:(1)设函数零点的精确值为x,近似值为xn,由精确度定义可知bnan,又

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x*xnbnan,所以x*xnb0a02n,即 1.512n0.01,则2

2n50,n6,即二分的次数最少为6次可确定零点的近似值.

2.2.1一般理论求解

法1

(2)由f1131110,f1.51.531.510.8750,根据零点存在性定量可知,区间1,1.5可作为初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:

精确值为：ab11.50.50.01，中点为：

ab11.51.25 22f1.251.2531.2510.29690，

同理可得,区间1.25,1.5可作零点存在的新区间1.25,1.5； 精确值为：ab1.251.50.250.01，中点为：

ab1.251.51.375 22f1.3751.37531.37510.22460，

同理可得,区间1.25,1.375可作零点存在的新区间1.25,1.375； 精确值为：ab1.251.3750.1250.01，中点为：

ab1.251.3751.3125 221.312531.312510.05150 f1.3125同理可得,区间1.3125,1.375可作零点存在的新区间1.3125,1.375； 精确值为：ab1.31251.3750.06250.01，中点为：

ab1.31251.3751.3438 221.343831.343810.08280 f1.3438可作零点存在的新区间1.3125,1.3438 同理可得,区间1.3125,1.3438精确值为：ab1.31251.34380.03130.01，中点为：

ab1.31251.34381.281 22楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

1.328131.328110.01450 f1.3281同理可得,区间1.3125可作零点存在的新区间1.3125,1.3281. ,1.3281精确值为：ab1.31251.32810.01560.01，中点为：

ab1.31251.32811.3203 221.320331.320310.01880 f1.3203同理可得,区间1.3203可作零点存在的新区间1.3203. ,1.3281,1.3281精确值为：ab1.32031.32810.00780.01 所以原方程的近似解可取为1.3203，原函数的零点为1.3203.

2.2.2列表法

法2：因为下表: ( 由于精确度0.01)

fxx3x1 左端点 (a 1 2 5 1.23 5 1.34 125 1.35 125 6 1.381 1.32438 1.3— — + 38 1.3275 1.3— + + 13 0.0125 1.3475 1.3— + + 25 0.035 1.311.3— — + 5 0.060.121 1.2c 1.25 1.371.5 — + + 0.25 点 1.5 — — + 0.5 中点b)右端f(a)符号 f(c)符号 f(b)符号 ab 楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

125 1.37 203 03 281 1.3— 281 + 56 0.0078 所以原方程的近

似解可取为1.3203。原函数的零点为1.3203.

2.2.3数轴法

法3：图像(数轴)法:( 由于精

0 1 把区间1.25 1.3125 1.3438 1.375 1.5 2.5,2.5625从新显示得： 1.3125 1.3203 1.3281 1.3438 该区间就是函数fxx3x1的零点.为了方便我们一般取端点值作为函数的零点。故函数的零点为：x1.3203.

确度0.01)

3.用二分法思想解决实际问题

【例3】 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的一条10km的电话线路发生了故障,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段地查找,每查一次要爬一次电线杆, 10km长的线路大约有200余根电线杆,维修电路的工人师傅如何工作才能把故障的范围缩小到100以内?至少要查多少次?

解:设A表示闸门,B表示指挥部, 他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时发现AC段正常,

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断定 故障在BC段,再到BC中点D来查,这次发现BD段正常,可见故障在CD段,再到CD的中点E来查„„每查一次,就把待查的线路长度缩短一半,则由精确度定义得10102100,解得

3nn7,即至少查7次就可以把故障发生的范围缩小在100米以内.

点评:二分法不仅可用来求方程的近似解以及函数的零点,还可以用来查找线路、水管、气管,还能用于实验设计、资料查询等,做到在最短的时间内用最小的精力去解决问题.

4.用二分法求方程近似解的两个注意点

4.1用二分法求函数零点的一般步骤：

第一步：确定区间a,b，验证fafb0,给定精确度；

第二步：求区间a,b的中点c；

第三步：计算fc：

（1）若fc0，则c就是函数的零点；

（2）若fafc0，则令bc(此时零点x0a,c);

（3）若fcfb0，则令ac(此时零点x0c,b).

根据这个步骤，各次区间的取舍根据的就是函数零点的存在性定理，即舍去区间端点函数值同号的区间，取区间端点函数值异号的区间．

4.2精确度与计算次数的关系

精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是a,b，那么经过n

次取中点后，区间的长度是

ab2n，只要这个区间的长度小于精确度,那么这个区间内的任意一

个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系

|ab|，即2n楚雄师范学院数学与应用数学专业教师技能“4含2”模式学生教研论文

n[log2|ab|]，其中表示取整数，如2.52,3等．

1在1,2上的近似解，取中点c1.5,则下一个有根区间是 . x1, x【例4】用二分法求方程lnx【分析】由区间端点处函数值的符号，根据函数零点的存在性定理解决． 【解析】令fxlnx则f110,f2ln212lnln10, 2ef1.5ln1.521ln1.5220， 33所以f1.5f20,故下一个有根区间是1.5,2故填1.5,2.

【点评】用二分法求方程的近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零．则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间．

【例5】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是1,5，精确度要求是0.001，则需要计算的次数是 ．

【解析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定.设需计算n次，则n满足

40.001,即2n4000.由于2112048,2124096,故计算12次就可以满足精确度要求．故n2填12.

【点评】在用二分法求方程的近似解时，精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求得另一个.当然,在实际求解过程中也可能用不到12次,也许11次,甚至10次即可解决问题，但前提是到结束时,区间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同.

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参考文献：

[1]:http://wenwen.soso.com/z/q262859918.htm

[2]:http://www.mathschina.com/gaozhongkebiao/A1/d3z/d9/127819.html#download [3]:http://baike.soso.com/ShowLemma.e?sp=l7843874&ch=w.search.baike.unelite

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致谢词

至此，我的这篇论文已接近尾声。同时，我的实习时光也即将结束，意味着我将重新回到大学校园继续我的学习生涯。

这次的教育实习研究论文总结是我的指导教师付兴安老师的悉心指导下完成的，因此，我要特别感谢付兴安老师的指导与督促。另外，在实习过程中，李文寿老师和黄文华老师不但在实习工作上给予了我悉心的指导，还在思想上、生活上给予我最大的关怀，在此，我向三位老师致以最真诚的感谢！