河北省唐山市2021届高三数学第二次模拟考试试题 文（唐山二模）

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部份． 二、答题前请认真阅读答题卡上的“注意事项”，依照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试终止后，将本试卷与原答题卡一并交回． 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1＋ai（1）已知a∈R，假设为实数，那么a＝

2－i（A）2

（B）－2

1

（C）－

2

1 （D）

2

)的图象关于点(，66

（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋0)对称，那么以下命题中的真命题为 （A）p∧q

（B）p∧

q

（C）p∧q

（D）p∨q

1xy11xy1，那么2x＋y的最大值和最小值别离为

（3）设变量x，y知足（A）1，－1 （C）1，－2

（B）2，－2 （D）2，－1

开始 n＝0，S＝0 S＝S＋2n n＝n＋1 是 （4）执行右边的程序框图，假设输出的S是255，那么判定框内应填写 （A）n≤6？

（B）n≤7？

否 输出S 结束 （C）n≥7？ （D）n≥8? （5）已知sinα＋

2cosα＝

3，则tanα＝

yO5π123πx42

（A）

2

（B）2

2

（C）－

2

（D）－2

（6）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部份图象如下图，那么f()＝

23

（A）－

23

（C）

2

（B）－

22

2

（D）

2

（7）用简单随机抽样的方式从含有100个个体的整体中依次抽取一个容量为5的样本，那么个体m被抽到的概率为

1111 （A）100 （B）20 （C）99 （D）50

（8）正三棱柱的底面边长为3，高为2，那么那个三棱柱的外接球的表面为

（A）4

82 （B）82 （C）3

（D）8

（A）4

（9）某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为 ＋43 12

4

（B）

33

（C）

（D）8

大值为

（10）假设实数a，b，c知足a2＋b2＋c2＝8，那么a＋b＋c的最（A）9 （C）3

（B）2

3

2

（D）26

x2y2

（11）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，假设在椭圆C1上存在点P，使得由点P

a2b2所作的圆C2的两条切线相互垂直，那么椭圆C1的离心率的取值范围是 1

（A）[，1)

2

232

（B）[，] （C）[，1)

222

3

（D）[，1)

2

12x(1a)3x3（12）假设不等式lg≥(x－1)lg3对任意x(,1)恒成立，那么a的取值范围是

（A）(－∞，0] （C）[0，＋∞) 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（B）[1，＋∞) （D）(－∞，1]

exex1f(x)xxf(a)ee，假设2，那么f（－a）＝＿＿＿＿ （13）已知函数

5

（14）已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，假设a，b在向量c上的投影相等，且(c－a)·(c－b)＝－，那么向

2量c的坐标为________．

y2

（15）已知F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右核心，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，那么cos∠F1PF2＝

3_________．

（16）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90，那么cosB＝________． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． （17）（本小题总分值12分）

在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝＋＋…＋，试比较bn＋1与bn的大小 ，并说明理由。

anan＋1a2n－1（18）（本小题总分值12分）

某种水果的单个质量在500g以上视为特等品 随机抽取1000个水果。结果有50个特等品 将这50个水果的质量数据分组，取得右边的频率散布表。 （I）估量该水果的质量很多于560g的概率；

1

1

1

（II）假设在某批该水果的检测中，发觉有15个特等品，据此估量该批水果中没有达到特等品的个数。 （19）（本小题总分值12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点． （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；

（Ⅱ）假设PA＝AB＝AC＝2，求三棱锥P-EBD的体积．

（20）（本小题总分值12分） 已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R． （I）当a＝1时，求f（x）的最小值； （II）若f(x)＞x，求a的取值范围； （21）（本小题总分值12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点4为A，B，|AB|＝

23

．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点别离为P，Q，假设P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题总分值10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG．求证：

（Ⅰ）△DEF∽△EAF； （Ⅱ）EF∥CB．

（23）（本小题总分值10分）选修4-4：坐标系与参数方程

→＝2PA→，点P的轨迹为曲线C． 长为3的线段两头点A，B别离在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，BP（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程； （Ⅱ）求点P到点D(0，－2)距离的最大值． （24）（本小题总分值10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋3|，a∈R．

（Ⅰ）当a＝－1时，解不等式f(x)≤1；

（Ⅱ）假设当x∈[0，3]时，f(x)≤4，求a的取值范围． 文科数学参 选择题： A卷：CABAA B卷：DBBAA 二、填空题： 1

（13）

2

1 3

（14）(，)

22

1

（15） 4

3

（16） 4

BBDCD BADCD

CD DC

三、解答题： （17）解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由已知得

a1＋2d＋a1＋9d＝15， (a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)．

注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1． 因此an＝n＋1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知

…4分

…6分

bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋，

n＋1n＋22nn＋2n＋32n＋2因为bn＋1－bn＝＋－

2n＋12n＋2n＋1＝

1－＞0， 2n＋12n＋2

1

1

1

1

…10分

111111

…11分

…12分

因此bn＋1＞bn． （18）解：

（Ⅰ）由已知可得该水果的质量很多于560g的概率

p＝0.16＋0.04＝0.2． …6分

（Ⅱ）设该批水果中没有达到特等品的个数为x，那么有 ＝，解得x＝285． x＋151000（19）解：

（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，因此PA⊥BD． 又BD⊥PC，因此BD⊥平面PAC，

因为BD平面EBD，因此平面PAC⊥平面EBD．

…5分

15

50

…12分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，因此ABCD是菱形，∠BAD＝120． 1 1

因此S△ABD＝BD·AC＝

22

3．

…7分

设AC∩BD＝O，连结OE，那么（Ⅰ）可知，BD⊥OE． 1

因此S△EBD＝BD·OE＝

2

6．

…9分

设三棱锥P-EBD的高为h，那么 1 1 1 S△EBD·h＝S△ABD·AE，即×333（20）解：

（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，f当x∈(0，1)时，f

(2x＋1)(x－1)

(x)＝．

x 1 ×3

22

6h＝3×1，解得h＝． …12分

(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0．

…5分

因此f(x)的最小值为f(1)＝0．

（Ⅱ）f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0． lnx

由于x＞0，因此f(x)＞x等价于x－＞a＋1．

xlnxx2－1＋lnx

令g(x)＝x－，那么g(x)＝．

xx2

…7分

当x∈(0，1)时，g(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0． g(x)有最小值g(1)＝1．

故a＋1＜1，a的取值范围是(－∞，0)． （21）解：

p

（Ⅰ）由已知得M(－，0)，C(2，0)．

2设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝

1

|AC|2－|AR|2＝，

3|AC|

|AC|

232．

…12分

于是|CR|＝

p

因此|CM|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2．

sin∠AMCsin∠CAR2故抛物线E的方程为y2＝4x． （Ⅱ）设N(s，t)．

P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点． s＋2 t (s－2)2＋t2

圆D方程为(x－)2＋(y－)2＝，

224即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． 又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0． ②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．

① ② ③ …9分

…5分

P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程． 3

因为直线PQ通过点O，因此3－2s＝0，s＝．

2 3

故点N坐标为(，

2（22）解：

（Ⅰ）由切割线定理得FG2＝FA·FD．

3 6)或(，－

2

6)．

…12分

FD

又EF＝FG，因此EF2＝FA·FD，即＝．

FAEF因为∠EFA＝∠DFE，因此△FED∽△EAF． （Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED＝∠FAE． 因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB， 因此∠FED＝∠BCD，因此EF∥CB． （23）解：

（Ⅰ）设P(x，y)，由题设可知，

2 1

则x＝|AB|cos(－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin(－α)＝sinα，

33

…10分

…6分

EF

x＝－2cosα，

因此曲线C的参数方程为（α为参数，90＜α＜180）． …5分

y＝sinα

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4 2 28

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－3(sinα－)2＋．

33 2 221

当sinα＝时，|PD|取最大值．

33（24）解：

（Ⅰ）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．

当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；

5

当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得－≤x＜－1；

2当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立． 5

综上，不等式的解集为[－，＋∞)．

2

…5分

…10分

（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，

由此得a≥－7且a≤2x＋7．

当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7， 因此a的取值范围是[－7，7]．

…10分