2021届中考数学压轴题复习：二次函数综合题 (98)

1．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（﹣3，0），y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点D，E．

（1）求k的值和抛物线的解析式； （2）点M在线段OA上运动时：

①当m为何值时，以O、B、E、D的四边形OBED为平行四边形？ ②当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

（3）点M在x轴上自由运动，若三个点M，D，E中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，D，E三点为“平等点”．请求出线段M，D，E三点成为“平等点”的m的值．

【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣3k+2，解得：k＝，将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）①由题意得：OE＝BO时即可求解；②△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形，则ED的中点的纵坐标等于点B的纵坐标2，即可求解；

（3）分点D是ME的中点、点M是DE的中点两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣3k+2，解得：k＝， 点B（0，2），c＝2，

将点A的坐标代入二次函数表达式：y＝﹣x2+bx+2并解得：b＝﹣故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣

x+2；

m+2）、点D（m，m+2）；

，

（2）设点M（m，0），则E（m，﹣m2﹣

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①由题意得：OE＝BO时，以O、B、E、D的四边形OBED为平行四边形， 则﹣m2﹣解得：m＝

m+2﹣（m+2）＝|2|，

或

；

②△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形，则ED的中点的纵坐标等于点B的纵坐标2，

即（﹣m2﹣

m+2+m+2）＝2，

解得：m＝0（舍去），m＝2； （3）接（2）：

①当点D是ME的中点时， 即2（m+2）＝﹣m2﹣②当点M是DE的中点时， 同理可得：m＝﹣3或1， 综上，m＝﹣或﹣3或1．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形和等腰三角形性质等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．

m+2+0，解得：m＝﹣或﹣3；

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