３４卷２期 中 国 生 物 医 学 工 程 学 报 ＶＯ１．３４ ＮＯ．２ ２０１５年４月 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｏｍｅｄｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｐｒｉｌ ２０１５ 基于改进型迭代ＮＲ的磁感应断层成像图像重建算法 韩 敏 薛玉艳 秦 攀 韩 杰 姜长斌 （大连理工大学电子信息与电气工程学部，辽宁大连１１６０２３） （大连医科大学附属第一医院神经内科，辽宁大连１１６０１１） 摘要：在磁感应断层成像中，图像重建是一个典型的病态问题，其数值解存在不稳定性。针对此问题，提出一种 基于加权矩阵和Ｌ 范数正则化的改进型迭代Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ（ＮＲ）算法。该算法通过在目标函数的误差项中引 入加权矩阵，同时在Ｌ 范数，ＴＮ化惩罚项的基础上引入Ｌ、范数正则化，改善图像重建解的病态性。设置３种典型 的模型，分别对有无噪声的数据进行分析，将本算法与Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法和迭代ＮＲ算法进行对比。在无噪声数 据分析中，所提算法相对Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法和迭代ＮＲ算法的相对图像误差减小０．１１—０．１４，相关系数提高 １３％～１７％。在有噪声数据中，所提算法相对于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法和迭代ＮＲ算法的相对图像误差减小０．０６～ ０．０９，相关系数提高７％～１０％。提出的算法成像性能较好，且抗噪性能较强，为进一步的实验重建精确性提供理 论依据。 关键词：磁感应断层成像；图像重建；Ｌ．范数正则化；迭代Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ 中图分类号 Ｒ３１８ 文献标志码 Ａ 文章编号０２５８．８０２１（２０１５）０２—０１９０—０８ Ａｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｉｍａｇｅ Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ＮＲ ｉｎ Ｍａｇｎｅｔｉｃ Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ Ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ Ｈａｎ Ｍｉｎ Ｘｕｅ Ｙｕｙａｎ Ｑｉｎ Ｐａｎ Ｈａｎ Ｊｉｅ Ｊｉａｎｇ Ｃｈａｎｇｂｉｎ （Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６０２３，Ｌｉａｏｎｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ） （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＮｅｕｒｏｌｏｇｙ，Ｆｉｒｓｔ Ａｆｉｆｌｉａｔｅｄ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｏｆＤａｌｉａｎ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６０１１，Ｌｉａｏｎｉａｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｉｍａｇｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｉｌｌ—ｐｏｓｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ （ＭＩＴ），ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｓｔａｂｌｅ．Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｎｅｗｔｏｎ— Ｒａｐｈｓｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ Ｌ１一ｎｏｒｍ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｄｄｓ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｄｄｓ Ｌ１一ｎｏｒｍ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｅｒｍ ｉｎ Ｌ２一ｎｏｒｍ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｐｅｎａｌｔｙ ｔｅｒｍ．Ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｍａｄｅ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｎｏｉｓｅ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｃｏｎｔｒａｓｔｅｄ ｗｉｔｈ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ＮＲ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｉｎ ｔｈｅ ｄａｔａ ｗｉｔｈｏｕｔ ｎｏｉｓｅ，ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ＮＲ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ０．１ １—０．１４．Ａｎｄ ｔｈｅｎ．ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｒａｉｓｅｄ ｂｙ １３％一１７％．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｇｏｏｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｎ ｉｍａｇｉｎｇ．Ｉｎ ｔｈｅ ｄａｔａ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｅ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ０．０６—０．０９，ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｒａｉｓｅｄ ｂｙ ７％一１０％ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｈａｓ ｇｏｏｄ ａｎｔｉ—ｎｏｉｓｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ，ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｏｆｆｅｒｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｃｃｕｒａｃｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ（ＭＩＴ）；ｉｍａｇｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；Ｌ１－ｎｏｒｍ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５８—８０２１．２０１５．０２．００９ 收稿１３期：２０１４￣８・２０，录用日期：２０１５－０２－０５ 基金项目：高校基本科研业务费专项项目（ＤＵＴ１３ＪＢ０８）；大连市科技局科技计划项目（２０１２Ｃ０１４） 通信作者（Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ），Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｉｎｈａｎ＠ｄｌｕｔ．ｅｄｕ．ａｎ ２期 韩 敏，等：基于改进型迭代ＮＲ的磁感应断层成像图像重建算法 １９１ 引言 磁感应断层成像（ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ，ＭＩＴ）是一种基于电磁检测原理测量生 物组织电导率分布的成像技术，具有非接触、可以 进行实时图像监护等优点，在生物医学成像中具有 潜在的应用价值 －２ ３。ＭＩＴ的最终实现是基于图像 重建算法，可将检测系统测量的电压信号转化为与 生物组织电导率分布相关的图像 。图像重建算 法是一个非线性的病态问题，输入数据的微小变化 都会引起解的较大变化，其解存在严重的不稳定 性。同时，由于生物组织电导率之间的差异较小， 所以图像重建变得更加困难，重建后图像的分辨率 较低 。图像重建算法是ＭＩＴ技术进一步发展的 主要难点，因此探索具有较高成像精度的重建算法 具有重要的意义。 目前，ＭＩＴ技术中改善图像重建病态性问题通 常采用正则化算法 ，用于保证求解的适定性。图 像重建的方法主要有线性反投影算法 、Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ 迭代算法［７ ３、Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法 、迭代Ｎｅｗｔｏｎ— Ｒａｐｈｓｏｎ（ＮＲ）算法 。其中，线性反投影算法简单、 重建速度较快，然而仅适用于电导率对比度高的成 像中，其重建结果容易出现星状伪迹，定位比较困 难。Ｌａｎｄｗｅｂｅｒ迭代算法采用迭代的形式进行重 建，但是耗时较长。Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法是在其目 标函数中加入Ｌ 范数惩罚项，惩罚极端电导率的变 化，可以保证解的稳定性，然而重建后会产生人工 平滑效果，致使目标与背景区域之间的边界模糊， 容易降低成像的分辨率。迭代ＮＲ算法是一种基于 最小二乘理论的方法，通过寻找最优的电导率分 布，提高图像的分辨率，定位较精确，但当测量数据 存在较小的变化时，将会对重建后的电导率造成较 大的影响，算法的稳定性较差。采用上述方法进行 成像，重建图像的分辨率较低，成像误差较大。 针对上述问题，为了提高数值解的稳定性，笔 者提出一种基于加权矩阵和Ｌ 范数正则化的改进 型迭代ＮＲ算法，减小估计误差，提高图像重建的精 度和算法的抗噪性能。这种方法的基本思想是：为 减小测量数据和仿真数据之间的误差，在目标函数 的误差项中引入加权矩阵；同时，为了保证图像重 建后电导率值的真实性，有效保护边缘电导率信 息，在目标函数的惩罚项中加入Ｌ，范数正则化。通 过仿真实验，与Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法、迭代ＮＲ算法 比较，验证所提出算法的有效性。 １ ＭＩＴ技术图像重建 ＭＩＴ技术是根据被测场域中的测量电压，重建 场域内部电导率的空间分布。在被测场域边界施 加正弦交变电流，当被测场域内电导率分布变化 时，会导致场内电势分布变化，从而使得场域边界 上的测量电压发生变化；通过一定的图像重建算 法，可重建出被测场域中的电导率分布 。其中， 在已知初始电导率分布的情况下，求解检测线圈的 电压数据和灵敏度矩阵，即为前向问题的求 解 卜 ］。前向问题的求解为测量系统的设计提供 理论指导，更为图像重建过程提供测量数据。基于 此测量数据，采用优化算法进行图像重建，不断更 新电导率的分布，使前向问题求解计算电压数据与 测量电压数据的误差最小，从而得到最优的电导率 值，实现电导率重建。 １．１图像重建理论 ＭＩＴ的图像重建过程¨ 是在已知各个检测线 圈感应电压的情况下，研究被测区域的电导率分布 情况，实现其电导率分布的可视化。对于ＭＩＴ图像 重建来说，测量电压和图像分布之间的关系为 Ｖ＝Ｆ（ｏｒ） （１） 式中，Ｖ∈ 为测量电压， 为测量个数；Ｆ∈ 是前向求解算子，表示电导率与电压数据之间 的对应关系，Ⅳ为有限元剖分单元的个数；ｏｒ∈ 为电导率分布。 ＭＩＴ的图像重建过程常常近似为线性问题，线 性化的提出可以有效地将复杂问题进行简化，然而 线性近似过程对电导率变化较大的情况处理效果 不好，所以重建的求解过程需要采用迭代的形式。 同时，由于ＭＩＴ本身问题是病态的，所以通常对该 问题进行正则化处理。 ＭＩＴ的图像重建问题线性化可近似描述为 Ｆ（ ）一Ｖ ＝ （ 一 ）＋０（｝ｆ ｏｒ—ｏｒ。Ｉ ｌ２） （２） 式中，Ｖ ∈ 是测量电压数据， 为的测量 数；ｏｒ ∈ 为已知电导率分布，Ⅳ为有限元剖分网 格的单元数； ∈ 为电导率分布；Ｓ∈ 为灵 敏度矩阵，表示被测区域电导率的微小变化对检测 线圈电压的影响；０（・）表示无穷小。 在ＭＩＴ实际测量系统中，由于检测线圈的个数 有限，检测电压的个数小于未知电导率的个数，致 使解的不唯一，其求解过程为病态性，即测量数据 的微小变化会引起解向量较大的扰动 。采用最 中 国生物医学工程学报 ３４卷 小二乘法进行求解，同时为了降低解的不稳定性， 在图像重建的目标函数中引入正则化，可以有效解 决病态性的问题。 １．２ Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法 Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法¨ 的思想是最小化目标 函数，有 ｇ（ ）＝÷【厶 ｌ（Ｆ（ ）一Ｖ ）ｌＩ 十 二 ｌ ｌＲｔｒ ｌ Ｉ（３） 式中，前一项为误差项，后一项为惩罚项；Ｖ 为测量 的电压值，Ｆ（ ）为前向计算的电压， 为电导率分 布； ．≥０是正则化参数，用于控制惩罚项的大小， 衡量数据项和正则化项之间的相对贡献量。 正则化项的加入可以有效平衡问题的偏差和 方差，即通过引入小的偏差（即惩罚项），可以使求 解问题的方差大幅降低，提高数据解的稳定性。Ｒ 为正则化矩阵，定义为一阶拉普拉斯算子，其形式为 一， １ （ｉ≠＿『，ｉ√为相邻元素） Ｒ（ｉ， ）＝｛一∑Ｒ（Ｉ——， ｉ，＿『） （ｉ＝ ） ０ （其他） （４） 最后，可得电导率为 ＝（ ＋ ．Ｒ Ｒ）一 Ｓ （Ｆ（ ）一Ｖ ）（５） 由于Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法是采用Ｌ：范数的函 数为正则化函数，对重建后的图像起到平滑作用， 使图像的空间分辨能力较低。 ２ 改进型迭代ＮＲ图像重建算法 为了减小估计误差，提高求解精度，本研究对 迭代ＮＲ算法尝试进一步改进。通过在其目标函数 中引入加权矩阵，以求提高求解精度；同时，为了保 护图像的边界信息，增强图像的保真性，在其惩罚 项中加入Ｌ．范数正则化项。 ２．１ 目标函数的建立 以电压测量值和计算值的误差范数平方作为 目标函数，最小化目标函数为 ｇ（ｏｒ）＝Ｉ ｌｙ 一Ｆ（ ） （６） 可以采用最ｄｘｓ－乘的方法求解式（６）。在最小 二乘估计中，认为各测量值之间具有相同的测量误 差；而在实际ＭＩＴ技术中，因设备不同或者测量环 境不同，各测量值可能不具备这一条件，因此最小 二乘方法不能得到最优的估计值。为了提高估计 精度，降低估计误差，在最小二乘的基础上引入加 权矩阵，构成一种加权最小二乘形式 ，最小化目 标函数为 １ １ ｇ（ ）＝÷Ｉｌ Ｗ广『（Ｆ（ ）一Ｖ ）Ｉｌ （７） 二 式中，ｗ为加权矩阵。 在目标函数中引入加权矩阵，通过权值可以使 估计误差变小，抑制重建迭代过程中误差累积的影 响，改善求解的精度。为保证求解是无偏估计或最 小方差无偏估计，加权矩阵要求为对称正定矩阵。 利用许瓦兹不等式可以证明 ，当加权矩阵ｗ＝ （Ｅ（ＮＮ ）） 时，求解的估计均方误差最小，其中Ⅳ 为分布的高斯随机噪声。 采用无约束的最优化方法求解式（７），但结果 通常并不唯一或者说是不稳定的。为了获得稳定 解，通常要对目标函数附加某些约束条件，这种解 决不适定问题的有效方法是正则化处理。在式（７） 基础上加入正则化项，用于降低解的不稳定性，有 效解决不适定问题，即在目标函数中加入惩罚项， 得到最小化目标函数为 １ １ — ｇ（ ）＝－ｑ －ｌ １ｗ （Ｆ（ｇｌｒ）一Ｖ ）Ｉ Ｉｉ＋＿ Ｉｌ Ｒｔｒ Ｉｌ （８） 式中，前一项为误差项，后一项为惩罚项；Ｏｔ ≥０是 正则化参数，控制惩罚项的大小，衡量数据项和正 则化项之间的相对贡献量； 为电导率分布。 式（８）中引入的正则化是Ｌ：范数的形式，对式 （８）求解进行图像重建时，图像的边缘及细节产生 过度的平滑，从而导致重建图像边缘模糊。对此， 则考虑额外的平滑和稀疏惩罚，在加权最小二乘的 基础上，引入Ｌ 范数正则化¨ ，可以对重建图像的 保真度进行约束，保护图像的边缘信息，其改进的 目标函数为 １ １ ． ｇ（ ）＝÷ｌｌ （Ｆ（ ）一Ｖ ） ＋ Ｏｌ ｌｌ ４９＂ｌｌ。＋÷厶 １Ｉ尺 ｌｌ： （９） 式中， ≥０是正则化系数，用于控制解的平滑性 和连续性。理论上确定Ｏｔ 的大小比较困难，通常需 要基于经验，通过多次试验，依据经验人工设定合 适的正则化参数。 ≥０用于控制矩阵的稀疏度， Ⅳ 惩罚项ｌ ｌｌ ＝∑＿Ｉ ｏｒｉ Ｉ用于增加电导率矩阵的稀 疏性。 若正则化系数 ＝０，加权矩阵ｗ为单位阵 时，该算法即为迭代ＮＲ算法。 ２期 韩 敏，等：基于改进型迭代ＮＲ的磁感应断层成像图像重建算法 ｌ９３ Ｚ・Ｚ 豕Ｊ晔近程 （Ｓ ＷＳ＋ ）Ｉ１（Ｓ Ｗ）Ｘ （１５） 对式（９）进行求解，在初始电导率 。处进行泰 勒级数展开，即 ‘ （（Ｆ（ ）一 ）一 Ａ ＋ 足 ） ｇ（ ）一ｇ（ｃｒ。）＋（ （ ） （ 一 ＋ 式中， 为迭代次数；Ｓ＝『Ｌ １ ｏＵ Ｊ 为灵敏度矩阵；Ａ ＝ ｓｉｇｎ（ ）为符号函数项，保证求解结果的非负性；ｏ＂ｎ 是第ｎ次迭代中电导率的分布；ｙ 是规范化的电压 测量值；冠为正则化矩阵。 最终得到的迭代公式为 ＋１＝ ＋△ （１６） ÷ｃ 一 （害ｃ ） 一 ＝ （１０） 式中，【 ］∈ 为ｇ的梯度，【 ］∈ Ｍ 为ｇ 的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵。 对函数 ）求导数，当 ＝ 为最小时，即 ｃ ＝（ Ｏｇ ｃ ）＋（ｄＯ Ｚｇ ｏ＇ｏ））ｃ 一ｏｒｏ）＝。 。 （１１） 所以 一一（ ０ ２ｇ（ｏ．ｏ）） （ ｃ ） ） 其中，函数ｇ的梯度为 （ ＝ （÷Ｉ Ｉ１（Ｆ（ ）一 ）ＩＩ ２＋ Ｉ ＩＩＩ ＋ Ｉ ＩＩＩ ）： （÷（ （ ） …） （ １（Ｆ（ ）一ｙ ））＋ Ｉ ＩＩＩ ＋ Ｏ／ｏ．（ ） （Ｒ ））： 一｛（ （ ）） ｗ（ｙ ＿Ｆ（ ＋ Ａ 一 ＲＴｏ．Ｒ） 函数ｇ的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵为 （ 。）＝一（ （ 一ＦＪ（ ））） （ 孑ｃ ）＋｛（ ｃ ） ＋ ） （１４ Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵近似为式（１４）中等号右端的第２ 项形式，将式（１３）与式（１４）代入式（１２），整理得电 导率修正公式，即 △ ＝一（、 ｄ０ ２ｇ ｃ ／１。。（、 。，０ ｃ ）＝ 为了保证图像重建问题的线性，通常使用初始 的灵敏度矩阵作为每步迭代的灵敏度矩阵，即在每 步更新中灵敏度矩阵保持不变。同时，为了避免出 现局部最小的情况，定义一个步长参数ｚ（０＜ｚ＜１）， 使其具有“阻尼”作用，有效地降低目标函数的迭代 步长，同时满足精度要求。迭代更新电导率为 ＋ｌ＝ ＋Ｚ Ｘ△ （１７） ２．３算法实现步骤 基于加权矩阵和Ｌ 范数正则化的改进型，迭代 ＮＲ算法的实现主要包括６个步骤。 步骤１：采用有限元法求解前向问题，得到电压 数据，根据式（１），将前向计算的电压值作为测量 数据。 步骤２：初始化迭代次数ｎ。，利用ｏ＇ｏ＝（Ｓ ＋ Ｒ Ｒ） Ｓ （Ｆ（ ）一 ），其中正则化参数 设 为较小的数；基于最小二乘理论，确定电导率的初 始值 。 步骤３：多次试验调试，基于人工经验选择最优 的正则化参数 ，根据式（１５），求解迭代后修正的 电导率值△ 。 步骤４：设定合适的步长参数ｚ，基于式（１７），迭 代更新电导率 川。 步骤５：设定阈值 ，迭代停止条件 ｌＩ Ｆ（ ）一ｙ ＜ ，若满足迭代停止条件，转到步 骤６，否则迭代次数＋１，转到步骤３。 步骤６：若 小于某一值或ｎ达到最大迭代次 数，结束迭代， 即为最终重建的电导率分布。 ２．４仿真实验与算法评价 为验证算法的有效性，先采用有限元法计算前 向问题，将前向计算的电压数据作为测量数据。仿 真实验采用所提出的改进型迭代ＮＲ算法进行图像 重建，并与Ｔｉｋｈｏｎｏｖ正则化算法和迭代ＮＲ算法进 行比较，在相同尺度下，验证本算法的有效性。 ２期 韩 敏，等：基于改进型迭代ＮＲ的磁感应断层成像图像重建算法 ｌ９７ 数中引入加权矩阵，以及在惩罚项的基础上引入Ｌ。 范数正则化的改进迭代ＮＲ算法研究，与之前的方 法相比，具有一定的优势，但在成像后发现重建图 像的分辨率有待加强，病态性问题还有待完善。 ５ 结论 本研究提出一种基于加权矩阵和Ｌ 范数正则 化的改进型迭代ＮＲ算法，有效改善了图像重建中 的病态性问题，提高了求解的数值稳定性。在迭代 ＮＲ算法的基础上，改进目标函数，减小估计误差， 提高求解精度；同时引入Ｌ 范数正则化，对图像重 建保真度进行约束，保护边缘信息，降低解的不稳 定性。设置３种典型的分布用于仿真实验，证明了 本方法的有效性；与其他方法相比，本方法可以很 好地确定目标导体的位置和形状，重建图像的分辨 能力强，且重建后图像的相对误差较小，相关系数 较大，算法的稳定性较好，抗噪性能较强。 参考文献 ［１］ Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ Ｈ．Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ］．Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，１２（８）：１１２６—１１３１． ［２］ Ｍａｍａｔｊａｎ Ｙ． 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ＹＷ，Ｓｏｌｅｉｍａｎｉ Ｍ．Ｈａｒｄｗａｒｅ ａｎｄ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ａ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ－ｂａｓｅｄ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ｐｒｏｓｐｅｃｔｉｖｅ ｂｉｏｍｅｄｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｏｌ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，２０１２，３３（５）：８６３—８７９． ［１０］ 吕轶，王旭，金晶晶，等．正则化一步动态重建算法在磁感 应成像中的应用［Ｊ］．电子学报，２０１１，３９（１２）：２８０１— ２８０６． ［１１］ 柯丽，庞佩佩，杜强．基于伽辽金有限元法的磁感应断层成 像正问题仿真［Ｊ］．中国生物医学工程学报，２０１２，１（３１）：５３ —５８． ［１２］ Ｂｒａｓ ＮＢ，Ｍａｒｔｉｎｓ ＲＣ，Ｓｅｒｒａ ＡＣ，ｅｔ ａ１．Ａ ｆａｓｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｓｏｌｖｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ ｍａｐｓ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｊ Ｊ．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｍａｇｎｅｔｉｃｓ， ２０１０，４６（５）：１１９３—１２０２． ［１３］ Ｚｈａｎｇ Ｍ，Ｍａ Ｌ，Ｓｏｌｅｉｍａｎｉ Ｍ．Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｇｕｉｄｅｄ ｅｌｅｃｔｉｒｃａｌ ｃａｐａｃｉｔａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ ｉｍａｇｉｎｇ ｗｉｔｈ ｇｒｏｕｎｄｅｄ ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，２０１４，５３（７）：１７１—１８１． ［１４］ Ｃｈｅｎ Ｙｉｎａｎ，Ｙａｎ Ｍｉｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｄａｙｕ，ｅｔ ａ１．Ｉｍａｇｉｎｇ ｈｅｍｏｒｒｈａｇｉｃ ｓｔｒｏｋｅ ｗｉｔｈ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ：Ｒｅａｌｉｓｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｏｌｏｇｉｃａｌ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，２０１０，３１（６）： ８０９—８１６． ［１５］ Ｗａｎｇ Ｌｉｎｊｕｎ，Ｘｉｅ Ｙｏｕｘｉａｎｇ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｉｋｈｏｎｏｖ ｒｅｇｕｌａｒｉｓａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｂｏｕｎｄｅｄ ｃｈｏｒｄ ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ ｔｏ ｅｎｆｏｒｃｅｍｅｎｔ ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｅｒｖｉｃｅ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｏｒｉｅｎｔｅｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ，２０１３，１（２）：１４１—１５３． ［１６］ 基均；刘进；蔡强．基于全变差的加权最ｄｘ－－乘法ＰＥＴ图像 重建［Ｊ］．电子学报，２０１３，４（４）：７８７—７９０． ［１７］ 王建刚，王福豹，段渭军．加权最小二乘估计在无线传感器 网络定位中的应用［Ｊ］．计算机应用研究，２００６，２３（９）：４１ —４３． ［Ｉ８］ Ａｎｄｒｚｅｊ ｃ，Ｒａｆａｌ Ｚ，Ａｎｈ ＨＰ，ｅｔ ａ１．Ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ Ｍａｔｉｒｘ ａｎｄ Ｔｅｎｓｏｒ Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｓ：Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｅｘｐｌｏｒａｔｏｒｙ Ｍｕｌｔｉ—ｗａｙ Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｂｌｉｎｄ Ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｔｏｋｙｏ：Ａ Ｊｏｈｎ ａｎｄ Ｓｏｎｓ Ｌｔｄ，２００９：２０３—２２０． ［１９］ Ｓｏｌｅｉｍａｎｉ Ｍ．Ｉｍａｇｅ ａｎｄ ｓｈａｐｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｉｒｃａｌ ｉｍｐｅｄａｎｃｅ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ［Ｄ］． Ｅｎｇｌａｎｄ：Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｍａｎｃｈｅｓｔｅｒ，２００５．
