2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级(下)期中数学试
卷
一、选择题(本部分共10小题,每小题3分,共30分。每小题给出4个选项,其中只有一个是正确的)
1.(3分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(3分)下列从左边到右边的变形,其中是因式分解的是( ) A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2 C.2x﹣8=2(4﹣x) 3.(3分)若式子A.x≥0
2√𝑥−1B.x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1 D.﹣8x2+8x﹣2=﹣2(2x﹣1)2
在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ) B.x≥1
C.x>1
D.x>0
4.(3分)若x<y,则下列结论错误的是( ) A.x+2<y+2
B.2﹣x<2﹣y
C.2x<2y
D.<
2
2𝑥
𝑦
5.(3分)已知线AB段是由线段CD平移得到的,点C(1,3)的对应点为A(4,﹣4),则点D(﹣4,﹣1)的对应点B的坐标为( ) A.(﹣7,﹣8)
B.(﹣7,6)
C.(﹣1,6)
D.(﹣1,﹣8)
6.(3分)用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,可先假设( ) A.四边形的四个角都是直角 B.四边形的四个角都是锐角 C.四边形的四个角都是钝角 D.四边形的四个角都是钝角或直角 7.(3分)若关于x的方程A.﹣2
+3=3−𝑥有增根,则m的值是( )
𝑥−3
C.1
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1
𝑚−𝑥
B.2 D.﹣1
8.(3分)下列说法正确的是( )
A.若ab>0,则a>0,b>0
B.有两边相等的两个直角三角形全等 C.经过旋转,对应线段平行且相等
D.若关于x的不等式x+5<2a恰有2个正整数解,则a的最大值是4
9.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,EF∥AB交BC于点F,若BE=AC=2,则△CEF的周长为( )
A.√3+1
B.√5+3
C.√5+1
D.4
10.(3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线AF交CD于点E,交BC于F,CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N.以下说法正确的有( )个
①EN=FC;②AC=AN;③EN∥BC;④∠B=45°;⑤若S△ABC=16cm2,则S△ABM=8cm2
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分。) 11.(3分)分解因式:7x2﹣63= .
12.(3分)如图,直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3).则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 .
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13.(3分)若x=3y,则
4𝑥𝑦𝑥2−𝑦2−
𝑥+𝑦𝑥−𝑦
的值是 .
14.(3分)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙两个工程队合作30天可完成,若单独施工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.甲工程队单独完成此项工程需要 天.
15.(3分)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=CB.若CA=4√5,点P为BC的中点,动点Q,满足PQ=3,将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM,连接PM,则线段PM的最小值为 .
三、解答题(本题共7小题,55分。其中第16小题8分,第17小题6分,第18小题6分,第19小题8分,第20小题8分,第21小题9分,第22小题10分。) 16.(8分)(1)解不等式组(并把解集在数轴上表示出来){1+2𝑥
1+𝑥2−𝑥
1
𝑥−3(𝑥−2)≥4
>𝑥−13;
(2)解方程:−1=
𝑥−2
.
17.(6分)因式分解:
(1)6(m﹣n)3﹣12(n﹣m)2; (2)x4﹣8x2y2+16y4. 18.(6分)先化简,再求值:数.
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𝑥−2
𝑥2+2𝑥+1
÷(
2𝑥−1𝑥+1
−𝑥+1),其中x是满足﹣2<x<3的整
19.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1; (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2. (3)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成,点P坐标为 .
20.(8分)2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢.某商家两次购进冰墩墩进行销售,第一次用22000元,很快销售一空,第二次又用48000元购进同款冰墩墩,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元. (1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个?
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售,要求全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素),那么每个冰墩墩的标价至少为多少元?
21.(9分)【问题情境】兴趣小组活动时,老师提出了如下问题,如图1,在△ABC中,AB=16,AC=10,求BC边上的中线AD的取值范围.经过小组合作交流,卓越小组得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.勤思小组得到的方法是,过点B作直线AC的平行线BE,并交AD的延长线于点E.请结合两个小组提供的方法思考:
(1)图1中,BC边上的中线AD长度的取值范围是 ;
(2)【灵活运用】如图2,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)【拓展延伸】如图3,已知AB∥CF,点E是BC的中点,点D在线段AE上,若AB=10,CF=4,DF=6,求证∠EDF=∠BAE.
第4页(共21页)
22.(10分)如图,在等边△ABC中,已知AD是∠BAC的角平分线,E为DA延长线上一点,以BE为一边且在BE以左作等边△BEF,连接CF. (1)求证:AE=CF;
(2)若BC=16,EB=30,求四边形EFCD的面积;
(3)在(2)的条件下,延长FC,P为射线FC上一点,BP=10,且∠BPF<90°,若点Q在射线FC上,且以Q,B,P三点为顶点的三角形是等腰三角形,直接写出BQ的长.
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2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级(下)期中数学试
卷
参与试题解析
一、选择题(本部分共10小题,每小题3分,共30分。每小题给出4个选项,其中只有一个是正确的)
1.(3分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:A.不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不合题意; B.是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项符合题意; C.既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项不合题意; D.不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不合题意. 故选:B.
2.(3分)下列从左边到右边的变形,其中是因式分解的是( ) A.(3﹣x)(3+x)=9﹣x2 C.2x﹣8=2(4﹣x)
B.x2﹣2x+1=x(x﹣2)+1 D.﹣8x2+8x﹣2=﹣2(2x﹣1)2
【解答】解:A、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误; B、不合因式分解的定义,故本选项错误; C、左边≠右边,不是因式分解,故本选项错误; D、符合因式分解的定义,是因式分解,故本选项正确. 故选:D. 3.(3分)若式子A.x≥0
2√𝑥−1在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ) B.x≥1
C.x>1
D.x>0
【解答】解:由题意,可得x﹣1>0, 所以x>1
第6页(共21页)
故选:C.
4.(3分)若x<y,则下列结论错误的是( ) A.x+2<y+2
B.2﹣x<2﹣y
C.2x<2y
D.<
2
2𝑥
𝑦
【解答】解:A.由x<y,可得x+2<y+2,故本选项不合题意; B.由x<y,可得﹣x>﹣y,所以2﹣x>2﹣y,故本选项符合题意; C.由x<y可得2x<2y,故本选项不合题意; D.由x<y可得<,故本选项不合题意;
2
2𝑥
𝑦
故选:B.
5.(3分)已知线AB段是由线段CD平移得到的,点C(1,3)的对应点为A(4,﹣4),则点D(﹣4,﹣1)的对应点B的坐标为( ) A.(﹣7,﹣8)
B.(﹣7,6)
C.(﹣1,6)
D.(﹣1,﹣8)
【解答】解:∵点C(1,3)的对应点为A(4,﹣4),
∴线段向右平移的距离为:4﹣1=3,向下平移的距离为:3﹣(﹣4))=7, ∴点D(﹣4,﹣1)的对应点B的坐标(﹣4+3,﹣1﹣7), ∴B(﹣1,﹣8). 故选:D.
6.(3分)用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,可先假设( ) A.四边形的四个角都是直角 B.四边形的四个角都是锐角 C.四边形的四个角都是钝角 D.四边形的四个角都是钝角或直角
【解答】解:用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”, 可先假设四边形的四个角都是锐角, 故选:B.
7.(3分)若关于x的方程A.﹣2
【解答】解:方程解得:x=4−2.
第7页(共21页)
+3=3−𝑥有增根,则m的值是( )
𝑥−3
C.1
𝑚−𝑥
1
𝑚−𝑥
B.2
1
D.﹣1
+3=3−𝑥可变形为1+3(x﹣3)=x﹣m, 𝑥−3
𝑚
∵原分式方程有增根, ∴4−2=3, 解得:m=2. 故选:B.
8.(3分)下列说法正确的是( ) A.若ab>0,则a>0,b>0
𝑚
B.有两边相等的两个直角三角形全等 C.经过旋转,对应线段平行且相等
D.若关于x的不等式x+5<2a恰有2个正整数解,则a的最大值是4 【解答】解:∵ab>0,
∴a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,故选项A不符合题意;
当一个直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一条直角边、一条斜边相等时,这两个直角三角形不全等,故选项B不符合题意;
经过旋转后,对应线段相等但不一定平行,故选项C不符合题意; ∵x+5<2a, ∴x<2a﹣5,
∵不等式x+5<2a恰有2个正整数解, ∴2<2a﹣5≤3, ∴<a≤4,
27
∴a的最大值是4,故选项D符合题意, 故选:D.
9.(3分)如图,在△ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,EF∥AB交BC于点F,若BE=AC=2,则△CEF的周长为( )
A.√3+1
B.√5+3 C.√5+1
第8页(共21页)
D.4
【解答】解:由图中的尺规作图得:BE是∠ABC的平分线, 则∠ABE=∠CBE, ∵AB=BC,AC=2,
∴BE⊥AC,AE=CE=2AC=1, ∴∠BEC=90°,
∴BC=√𝐵𝐸2+𝐶𝐸2=√22+12=√5, ∵EF∥AB, ∴∠ABE=∠FEB, ∴∠CBE=∠FEB, ∴BF=EF, 同理:CF=EF, ∴BF=CF,
∴EF=2BC=BF=CF,
∴△CEF的周长=CF+EF+CE=CF+BF+CE=BC+CE=√5+1, 故选:C.
10.(3分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线AF交CD于点E,交BC于F,CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N.以下说法正确的有( )个
①EN=FC;②AC=AN;③EN∥BC;④∠B=45°;⑤若S△ABC=16cm2,则S△ABM=8cm2
1
1
A.2
B.3
C.4
D.5
【解答】解:如图,连接FN,
第9页(共21页)
∵CN⊥AF,
∴∠AMC=∠AMN=90°, ∵∠BAC的平分线AF交CD于E, ∴∠DAE=∠CAE, 在△AMN和△AMC中, {𝐴𝑀=𝐴𝑀, ∠𝐶𝐴𝑀=∠𝑁𝐴𝑀
∴△AMN≌△AMC(ASA), ∴AC=AN,故②正确; ∵△AMN≌△AMC, ∴CM=NM,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ADC=90°,
∴∠AED+∠DAE=90°,∠CFE+∠CAE=90°, ∵∠BAC的平分线AF交CD于E, ∴∠DAE=∠CAE, ∴∠AED=∠CFE, 又∵∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE, ∴CE=CF, ∵CM⊥AF, ∴EM=FM,
∴四边形ENFC是菱形,
∴EN=FC,EN∥BC,故①③正确; 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
第10页(共21页)
∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑀𝑁
∵AC≠BC,
∴∠B≠45°,故④错误; ∵四边形ENFC是菱形, ∴CM=MN,
∴S△ACM=S△ANM,S△BCM=S△BMN, ∴S△ANM+S△BMN=S△ACM+S△BCM=S△ABC, ∴S△ABM=2S△ABC,
∴S△ABC=16cm2,则S△ABM=8cm2.故⑤正确. 综上所述:①②③⑤,共4个. 故选C.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分。) 11.(3分)分解因式:7x2﹣63= 7(x+3)(x﹣3) . 【解答】解:7x2﹣63, =7(x2﹣9), =7(x+3)(x﹣3).
12.(3分)如图,直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3).则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 x≥1 .
1
1
2
【解答】解:把P(m,3)代入y=x+2得m+2=3,解得m=1, ∴P(1,3),
∵x≥1时,x+2≥ax+c,
∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1. 故答案为x≥1.
第11页(共21页)
13.(3分)若x=3y,则
4𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2−
𝑥+𝑦
2
的值是 −2 .
𝑥−𝑦
1
4𝑥𝑦−(𝑥+𝑦)
【解答】解:原式= (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=
4𝑥𝑦−𝑥2−2𝑥𝑦−𝑦2
(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)2
−(𝑥−𝑦)
= (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)=−𝑥+𝑦, 当x=3y时, 原式=−=−. 故答案为:−.
14.(3分)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙两个工程队合作30天可完成,若单独施工,甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍.甲工程队单独完成此项工程需要 90 天.
【解答】解:设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队单独完成此项工程需要2x天, 依题意得:
302𝑥1
2123𝑦−𝑦
3𝑦+𝑦𝑥−𝑦
+
30𝑥
=1,
解得:x=45,
经检验,x=45是原方程的解,且符合题意, 则2x=90.
答:甲工程队单独完成此项工程需要90天. 故答案为:90.
15.(3分)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,CA=CB.若CA=4√5,点P为BC的中点,动点Q,满足PQ=3,将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM,连接PM,则线段PM的最小值为 10√2−3 .
第12页(共21页)
【解答】解:连接AP,将AP绕A顺时针旋转90°得到AN,连接MN,PN,如图:
∵将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM,将AP绕A顺时针旋转90°得到AN, ∴∠PAN=90°=∠QAM,AM=AQ,AN=AP, ∴∠MAN=∠QAP, ∴△AMN≌△AQP(SAS), ∴MN=PQ=3,
∴点M的轨迹是以N为圆心,3为半径的圆,
设线段PN交⊙N于M',当M运动到M'时,PM最小,最小值即为PM'的长度, ∵∠ACB=90°,CA=CB,CA=4√5,点P为BC的中点, ∴AP=√𝐴𝐶2+𝐶𝑃2=√(4√5)2+(2√5)2=10=AN, ∴PN=√𝐴𝑃2+𝐴𝑁2=10√2, ∵M'N=3,
∴PM'=10√2−3,即线段PM的最小值为10√2−3, 故答案为:10√2−3.
三、解答题(本题共7小题,55分。其中第16小题8分,第17小题6分,第18小题6分,第19小题8分,第20小题8分,第21小题9分,第22小题10分。) 16.(8分)(1)解不等式组(并把解集在数轴上表示出来){1+2𝑥
𝑥−3(𝑥−2)≥4
;
>𝑥−13第13页(共21页)
(2)解方程:
1+𝑥2−𝑥
−1=
1
𝑥−2
.
𝑥−3(𝑥−2)≥4①【解答】解:(1){1+2𝑥,
>𝑥−1②
3解不等式①得:x≤1, 解不等式②得:x<4, ∴原不等式组的解集为:x≤1,
在数轴上表示不等式组的解集如图所示:
(2)
1+𝑥2−𝑥
−1=
1
𝑥−2
1+x﹣(2﹣x)=﹣1, 解得:x=0,
检验:当x=0时,x﹣2≠0, ∴x=0是原方程的根. 17.(6分)因式分解:
(1)6(m﹣n)3﹣12(n﹣m)2; (2)x4﹣8x2y2+16y4.
【解答】解:(1)6(m﹣n)3﹣12(n﹣m)2 =6(m﹣n)3﹣12(m﹣n)2 =6(m﹣n)2(m﹣n﹣2); (2)x4﹣8x2y2+16y4. =(x2﹣4y2)2, =(x+2y)2(x﹣2y)2. 18.(6分)先化简,再求值:数. 【解答】解:=
𝑥−2(𝑥+1)
2÷
𝑥−2
𝑥2+2𝑥+1
÷(
2𝑥−1𝑥+1
−𝑥+1),其中x是满足﹣2<x<3的整
𝑥−2
𝑥2+2𝑥+1
÷(
2𝑥−1𝑥+1
−𝑥+1)
2𝑥−1−(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥+1第14页(共21页)
==
𝑥−2𝑥−2
(𝑥+1)(𝑥+1)
2•2•𝑥+1𝑥+1
2𝑥−1−𝑥2+1−𝑥(𝑥−2)
=−𝑥(𝑥+1),
∵x=﹣1,0,2时,原分式无意义,x是满足﹣2<x<3的整数, ∴x=1,
当x=1时,原式=−1×(1+1)=−2.
19.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示.(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位,画出平移后得到的△A1B1C1; (2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB2C2.
(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成,点P坐标为 (﹣2,﹣2) .
1
1
1
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求; (2)如图,△AB2C2即为所求;
(3)△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成,点P坐标为(﹣2,﹣2). 故答案为:(﹣2,﹣2).
第15页(共21页)
20.(8分)2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢.某商家两次购进冰墩墩进行销售,第一次用22000元,很快销售一空,第二次又用48000元购进同款冰墩墩,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元. (1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个?
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售,要求全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素),那么每个冰墩墩的标价至少为多少元?
【解答】解:(1)设第一次购进冰墩墩x个,则第二次购进冰墩墩2x个, 根据题意得:
22000𝑥
=
480002𝑥
−10,
解得:x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意, 答:该商家第一次购进冰墩墩200个.
(2)由(1)知,第二次购进冰墩墩的数量为400个. 设每个冰墩墩的标价为a元,
由题意得:(200+400)a≥(1+20%)(22000+48000), 解得:a≥140,
答:每个冰墩墩的标价至少为140元.
21.(9分)【问题情境】兴趣小组活动时,老师提出了如下问题,如图1,在△ABC中,AB=16,AC=10,求BC边上的中线AD的取值范围.经过小组合作交流,卓越小组得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.勤思小组得到的方法是,过点B作直线AC的平行线BE,并交AD的延长线于点E.请结合两个小组提供的方法思考:
第16页(共21页)
(1)图1中,BC边上的中线AD长度的取值范围是 6<AD<26 ;
(2)【灵活运用】如图2,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)【拓展延伸】如图3,已知AB∥CF,点E是BC的中点,点D在线段AE上,若AB=10,CF=4,DF=6,求证∠EDF=∠BAE.
【解答】(1)解:延长AD到E,使AD=DE,连接BE,
∵AD是BC边上的中线, ∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中, 𝐴𝐷=𝐷𝐸
{∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵, 𝐷𝐶=𝐷𝐵
∴△ADC≌△EDB(SAS), ∴AC=BE=10,
在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE, ∴16﹣10<2AD<16+10, ∴6<AD<26, 故答案为:6<AD<26;
第17页(共21页)
(2)解:结论:AD=AB+DC.
理由:如图②中,延长AE,DC交于点F,
∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠F, 在△ABE和△FCE中, {∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐸
∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐶
,
∴△ABE≌△FCE(AAS), ∴CF=AB,
∵AE是∠BAD的平分线, ∴∠BAF=∠FAD, ∴∠FAD=∠F, ∴AD=DF, ∵DC+CF=DF, ∴DC+AB=AD;
(3)证明:如图③,延长AE交CF的延长线于点G,
∵E是BC的中点, ∴CE=BE,
第18页(共21页)
∵AB∥CF, ∴∠BAE=∠G, 在△AEB和△GEC中, {∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐺𝐸𝐶, 𝐵𝐸=𝐶𝐸
∴△AEB≌△GEC(AAS), ∴AB=GC=10,∠BAE=∠G, ∵CF=4,
∴FG=CG﹣CF=6, ∵DF=6, ∴FD=FG, ∴∠EDF=∠G, ∴∠EDF=∠BAE.
22.(10分)如图,在等边△ABC中,已知AD是∠BAC的角平分线,E为DA延长线上一点,以BE为一边且在BE以左作等边△BEF,连接CF. (1)求证:AE=CF;
(2)若BC=16,EB=30,求四边形EFCD的面积;
(3)在(2)的条件下,延长FC,P为射线FC上一点,BP=10,且∠BPF<90°,若点Q在射线FC上,且以Q,B,P三点为顶点的三角形是等腰三角形,直接写出BQ的长.
∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐺
【解答】(1)证明:∵△ABC,△BEF都是等边三角形,
第19页(共21页)
∴CB=BA,BF=BE,∠ABC=∠EBF, ∴∠FBC=∠EBA, ∴△FBC≌△EBA, ∴CF=AE.
(2)解:∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,BD=CD=4, ∵△FBC≌△EBA, ∴S△BCF=S△AEB,
∵S四边形EFCD=S四边形EFCB﹣S△EDB =S△EFB+S△BCF﹣(S△AEB+S△ADB) =S△EFB﹣S△ADB =4×302−2×8×8√3 =193√3.
(3)解:①当点Q中点P的右侧时,作BH⊥PF于H. ∵△FBC≌△EBA, ∴∠EAB=∠FCB=150°, ∴∠BCH=30°, ∴BH=2BC=4,
在Rt△BHP中,PH=√𝑃𝐵2−𝐶𝐻2=6,
在Rt△BHP中,BH=4,HQ=HP+PQ=6+10=16, ∴BQ=√𝐵𝐻2+𝐻𝑄2=√82+162=8√5.
②当点Q′在线段PC上时,若PQ=PB,则BQ′=√82+42=4√5. 若BQ′=BP,则BQ′=10.
若BQ′=PQ′,设BQ′=PQ′=x.则有x2=82+(x﹣6)2, 解得x=3, ∴BQ′=3,
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√31
1
25
25
综上所述,满足条件的BQ的值为8√5或4√5或10或
25.
3
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