2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级(下)期中数学试卷(学生版+解析版)

2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级（下）期中数学试

卷

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．（3分）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 C．2x﹣8＝2（4﹣x） 3．（3分）若式子A．x≥0

2√𝑥−1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≥1

C．x＞1

D．x＞0

4．（3分）若x＜y，则下列结论错误的是（ ） A．x+2＜y+2

B．2﹣x＜2﹣y

C．2x＜2y

D．＜

2

2𝑥

𝑦

5．（3分）已知线AB段是由线段CD平移得到的，点C（1，3）的对应点为A（4，﹣4），则点D（﹣4，﹣1）的对应点B的坐标为（ ） A．（﹣7，﹣8）

B．（﹣7，6）

C．（﹣1，6）

D．（﹣1，﹣8）

6．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ） A．四边形的四个角都是直角 B．四边形的四个角都是锐角 C．四边形的四个角都是钝角 D．四边形的四个角都是钝角或直角 7．（3分）若关于x的方程A．﹣2

+3=3−𝑥有增根，则m的值是（ ）

𝑥−3

C．1

第1页（共21页）

1

𝑚−𝑥

B．2 D．﹣1

8．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0

B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．经过旋转，对应线段平行且相等

D．若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4

9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，EF∥AB交BC于点F，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）

A．√3+1

B．√5+3

C．√5+1

D．4

10．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．以下说法正确的有（ ）个

①EN＝FC；②AC＝AN；③EN∥BC；④∠B＝45°；⑤若S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2

A．2

B．3

C．4

D．5

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。） 11．（3分）分解因式：7x2﹣63＝ ．

12．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 ．

第2页（共21页）

13．（3分）若x＝3y，则

4𝑥𝑦𝑥2−𝑦2−

𝑥+𝑦𝑥−𝑦

的值是 ．

14．（3分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 天．

15．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB．若CA＝4√5，点P为BC的中点，动点Q，满足PQ＝3，将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，连接PM，则线段PM的最小值为 ．

三、解答题（本题共7小题，55分。其中第16小题8分，第17小题6分，第18小题6分，第19小题8分，第20小题8分，第21小题9分，第22小题10分。） 16．（8分）（1）解不等式组（并把解集在数轴上表示出来）{1+2𝑥

1+𝑥2−𝑥

1

𝑥−3(𝑥−2)≥4

＞𝑥−13；

（2）解方程：−1=

𝑥−2

．

17．（6分）因式分解：

（1）6（m﹣n）3﹣12（n﹣m）2； （2）x4﹣8x2y2+16y4． 18．（6分）先化简，再求值：数．

第3页（共21页）

𝑥−2

𝑥2+2𝑥+1

÷(

2𝑥−1𝑥+1

−𝑥+1)，其中x是满足﹣2＜x＜3的整

19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． （3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为 ．

20．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？

（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？

21．（9分）【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中，AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：

（1）图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 ；

（2）【灵活运用】如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．

第4页（共21页）

22．（10分）如图，在等边△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分线，E为DA延长线上一点，以BE为一边且在BE以左作等边△BEF，连接CF． （1）求证：AE＝CF；

（2）若BC＝16，EB＝30，求四边形EFCD的面积；

（3）在（2）的条件下，延长FC，P为射线FC上一点，BP＝10，且∠BPF＜90°，若点Q在射线FC上，且以Q，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出BQ的长．

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2021-2022学年广东省深圳市三校联考八年级（下）期中数学试

卷

参与试题解析

一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：B．

2．（3分）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ） A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 C．2x﹣8＝2（4﹣x）

B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2

【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、不合因式分解的定义，故本选项错误； C、左边≠右边，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 3．（3分）若式子A．x≥0

2√𝑥−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≥1

C．x＞1

D．x＞0

【解答】解：由题意，可得x﹣1＞0， 所以x＞1

第6页（共21页）

故选：C．

4．（3分）若x＜y，则下列结论错误的是（ ） A．x+2＜y+2

B．2﹣x＜2﹣y

C．2x＜2y

D．＜

2

2𝑥

𝑦

【解答】解：A．由x＜y，可得x+2＜y+2，故本选项不合题意； B．由x＜y，可得﹣x＞﹣y，所以2﹣x＞2﹣y，故本选项符合题意； C．由x＜y可得2x＜2y，故本选项不合题意； D．由x＜y可得＜，故本选项不合题意；

2

2𝑥

𝑦

故选：B．

5．（3分）已知线AB段是由线段CD平移得到的，点C（1，3）的对应点为A（4，﹣4），则点D（﹣4，﹣1）的对应点B的坐标为（ ） A．（﹣7，﹣8）

B．（﹣7，6）

C．（﹣1，6）

D．（﹣1，﹣8）

【解答】解：∵点C（1，3）的对应点为A（4，﹣4），

∴线段向右平移的距离为：4﹣1＝3，向下平移的距离为：3﹣（﹣4））＝7， ∴点D（﹣4，﹣1）的对应点B的坐标（﹣4+3，﹣1﹣7）， ∴B（﹣1，﹣8）． 故选：D．

6．（3分）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（ ） A．四边形的四个角都是直角 B．四边形的四个角都是锐角 C．四边形的四个角都是钝角 D．四边形的四个角都是钝角或直角

【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”， 可先假设四边形的四个角都是锐角， 故选：B．

7．（3分）若关于x的方程A．﹣2

【解答】解：方程解得：x＝4−2．

第7页（共21页）

+3=3−𝑥有增根，则m的值是（ ）

𝑥−3

C．1

𝑚−𝑥

1

𝑚−𝑥

B．2

1

D．﹣1

+3=3−𝑥可变形为1+3（x﹣3）＝x﹣m， 𝑥−3

𝑚

∵原分式方程有增根， ∴4−2=3， 解得：m＝2． 故选：B．

8．（3分）下列说法正确的是（ ） A．若ab＞0，则a＞0，b＞0

𝑚

B．有两边相等的两个直角三角形全等 C．经过旋转，对应线段平行且相等

D．若关于x的不等式x+5＜2a恰有2个正整数解，则a的最大值是4 【解答】解：∵ab＞0，

∴a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故选项A不符合题意；

当一个直角三角形的两直角边和另一个直角三角形的一条直角边、一条斜边相等时，这两个直角三角形不全等，故选项B不符合题意；

经过旋转后，对应线段相等但不一定平行，故选项C不符合题意； ∵x+5＜2a， ∴x＜2a﹣5，

∵不等式x+5＜2a恰有2个正整数解， ∴2＜2a﹣5≤3， ∴＜a≤4，

27

∴a的最大值是4，故选项D符合题意， 故选：D．

9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，EF∥AB交BC于点F，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）

A．√3+1

B．√5+3 C．√5+1

第8页（共21页）

D．4

【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线， 则∠ABE＝∠CBE， ∵AB＝BC，AC＝2，

∴BE⊥AC，AE＝CE=2AC＝1， ∴∠BEC＝90°，

∴BC=√𝐵𝐸2+𝐶𝐸2=√22+12=√5， ∵EF∥AB， ∴∠ABE＝∠FEB， ∴∠CBE＝∠FEB， ∴BF＝EF， 同理：CF＝EF， ∴BF＝CF，

∴EF=2BC＝BF＝CF，

∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1， 故选：C．

10．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．以下说法正确的有（ ）个

①EN＝FC；②AC＝AN；③EN∥BC；④∠B＝45°；⑤若S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2

1

1

A．2

B．3

C．4

D．5

【解答】解：如图，连接FN，

第9页（共21页）

∵CN⊥AF，

∴∠AMC＝∠AMN＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， 在△AMN和△AMC中， {𝐴𝑀=𝐴𝑀， ∠𝐶𝐴𝑀=∠𝑁𝐴𝑀

∴△AMN≌△AMC（ASA）， ∴AC＝AN，故②正确； ∵△AMN≌△AMC， ∴CM＝NM，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°，

∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°， ∵∠BAC的平分线AF交CD于E， ∴∠DAE＝∠CAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵CM⊥AF， ∴EM＝FM，

∴四边形ENFC是菱形，

∴EN＝FC，EN∥BC，故①③正确； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

第10页（共21页）

∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑀𝑁

∵AC≠BC，

∴∠B≠45°，故④错误； ∵四边形ENFC是菱形， ∴CM＝MN，

∴S△ACM＝S△ANM，S△BCM＝S△BMN， ∴S△ANM+S△BMN＝S△ACM+S△BCM=S△ABC， ∴S△ABM=2S△ABC，

∴S△ABC＝16cm2，则S△ABM＝8cm2．故⑤正确． 综上所述：①②③⑤，共4个． 故选C．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。） 11．（3分）分解因式：7x2﹣63＝ 7（x+3）（x﹣3） ． 【解答】解：7x2﹣63， ＝7（x2﹣9）， ＝7（x+3）（x﹣3）．

12．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3）．则关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为 x≥1 ．

1

1

2

【解答】解：把P（m，3）代入y＝x+2得m+2＝3，解得m＝1， ∴P（1，3），

∵x≥1时，x+2≥ax+c，

∴关于x的不等式x+2≥ax+c的不等式的解为x≥1． 故答案为x≥1．

第11页（共21页）

13．（3分）若x＝3y，则

4𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2−

𝑥+𝑦

2

的值是 −2 ．

𝑥−𝑦

1

4𝑥𝑦−(𝑥+𝑦)

【解答】解：原式= (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=

4𝑥𝑦−𝑥2−2𝑥𝑦−𝑦2

(𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)2

−(𝑥−𝑦)

= (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)=−𝑥+𝑦， 当x＝3y时， 原式=−=−． 故答案为：−．

14．（3分）新安街道某段道路改造工程，由甲、乙两个工程队合作30天可完成，若单独施工，甲工程队所用天数是乙工程队所用天数的2倍．甲工程队单独完成此项工程需要 90 天．

【解答】解：设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完成此项工程需要2x天， 依题意得：

302𝑥1

2123𝑦−𝑦

3𝑦+𝑦𝑥−𝑦

+

30𝑥

=1，

解得：x＝45，

经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意， 则2x＝90．

答：甲工程队单独完成此项工程需要90天． 故答案为：90．

15．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB．若CA＝4√5，点P为BC的中点，动点Q，满足PQ＝3，将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，连接PM，则线段PM的最小值为 10√2−3 ．

第12页（共21页）

【解答】解：连接AP，将AP绕A顺时针旋转90°得到AN，连接MN，PN，如图：

∵将线段AQ绕点A顺时针旋转90°得到线段AM，将AP绕A顺时针旋转90°得到AN， ∴∠PAN＝90°＝∠QAM，AM＝AQ，AN＝AP， ∴∠MAN＝∠QAP， ∴△AMN≌△AQP（SAS）， ∴MN＝PQ＝3，

∴点M的轨迹是以N为圆心，3为半径的圆，

设线段PN交⊙N于M'，当M运动到M'时，PM最小，最小值即为PM'的长度， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB，CA＝4√5，点P为BC的中点， ∴AP=√𝐴𝐶2+𝐶𝑃2=√(4√5)2+(2√5)2=10＝AN， ∴PN=√𝐴𝑃2+𝐴𝑁2=10√2， ∵M'N＝3，

∴PM'＝10√2−3，即线段PM的最小值为10√2−3， 故答案为：10√2−3．

三、解答题（本题共7小题，55分。其中第16小题8分，第17小题6分，第18小题6分，第19小题8分，第20小题8分，第21小题9分，第22小题10分。） 16．（8分）（1）解不等式组（并把解集在数轴上表示出来）{1+2𝑥

𝑥−3(𝑥−2)≥4

；

＞𝑥−13第13页（共21页）

（2）解方程：

1+𝑥2−𝑥

−1=

1

𝑥−2

．

𝑥−3(𝑥−2)≥4①【解答】解：（1）{1+2𝑥，

＞𝑥−1②

3解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＜4， ∴原不等式组的解集为：x≤1，

在数轴上表示不等式组的解集如图所示：

（2）

1+𝑥2−𝑥

−1=

1

𝑥−2

1+x﹣（2﹣x）＝﹣1， 解得：x＝0，

检验：当x＝0时，x﹣2≠0， ∴x＝0是原方程的根． 17．（6分）因式分解：

（1）6（m﹣n）3﹣12（n﹣m）2； （2）x4﹣8x2y2+16y4．

【解答】解：（1）6（m﹣n）3﹣12（n﹣m）2 ＝6（m﹣n）3﹣12（m﹣n）2 ＝6（m﹣n）2（m﹣n﹣2）； （2）x4﹣8x2y2+16y4． ＝（x2﹣4y2）2， ＝（x+2y）2（x﹣2y）2． 18．（6分）先化简，再求值：数． 【解答】解：=

𝑥−2(𝑥+1)

2÷

𝑥−2

𝑥2+2𝑥+1

÷(

2𝑥−1𝑥+1

−𝑥+1)，其中x是满足﹣2＜x＜3的整

𝑥−2

𝑥2+2𝑥+1

÷(

2𝑥−1𝑥+1

−𝑥+1)

2𝑥−1−(𝑥−1)(𝑥+1)

𝑥+1第14页（共21页）

==

𝑥−2𝑥−2

(𝑥+1)(𝑥+1)

2•2•𝑥+1𝑥+1

2𝑥−1−𝑥2+1−𝑥(𝑥−2)

=−𝑥(𝑥+1)，

∵x＝﹣1，0，2时，原分式无意义，x是满足﹣2＜x＜3的整数， ∴x＝1，

当x＝1时，原式=−1×(1+1)=−2．

19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2．

（3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为 （﹣2，﹣2） ．

1

1

1

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△AB2C2即为所求；

（3）△AB2C2可看作由△A1B1C1绕P点旋转而成，点P坐标为（﹣2，﹣2）． 故答案为：（﹣2，﹣2）．

第15页（共21页）

20．（8分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？

（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？

【解答】解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个， 根据题意得：

22000𝑥

=

480002𝑥

−10，

解得：x＝200，

经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， 答：该商家第一次购进冰墩墩200个．

（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个． 设每个冰墩墩的标价为a元，

由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000）， 解得：a≥140，

答：每个冰墩墩的标价至少为140元．

21．（9分）【问题情境】兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图1，在△ABC中，AB＝16，AC＝10，求BC边上的中线AD的取值范围．经过小组合作交流，卓越小组得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．勤思小组得到的方法是，过点B作直线AC的平行线BE，并交AD的延长线于点E．请结合两个小组提供的方法思考：

第16页（共21页）

（1）图1中，BC边上的中线AD长度的取值范围是 6＜AD＜26 ；

（2）【灵活运用】如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【拓展延伸】如图3，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，若AB＝10，CF＝4，DF＝6，求证∠EDF＝∠BAE．

【解答】（1）解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，

∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD，

在△ADC和△EDB中， 𝐴𝐷=𝐷𝐸

{∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐷𝐵， 𝐷𝐶=𝐷𝐵

∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝10，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴16﹣10＜2AD＜16+10， ∴6＜AD＜26， 故答案为：6＜AD＜26；

第17页（共21页）

（2）解：结论：AD＝AB+DC．

理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，

∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠F， 在△ABE和△FCE中， {∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐹𝐵𝐸=𝐶𝐸

∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹𝐸𝐶

，

∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝AB，

∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAF＝∠FAD， ∴∠FAD＝∠F， ∴AD＝DF， ∵DC+CF＝DF， ∴DC+AB＝AD；

（3）证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，

∵E是BC的中点， ∴CE＝BE，

第18页（共21页）

∵AB∥CF， ∴∠BAE＝∠G， 在△AEB和△GEC中， {∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐺𝐸𝐶， 𝐵𝐸=𝐶𝐸

∴△AEB≌△GEC（AAS）， ∴AB＝GC＝10，∠BAE＝∠G， ∵CF＝4，

∴FG＝CG﹣CF＝6， ∵DF＝6， ∴FD＝FG， ∴∠EDF＝∠G， ∴∠EDF＝∠BAE．

22．（10分）如图，在等边△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分线，E为DA延长线上一点，以BE为一边且在BE以左作等边△BEF，连接CF． （1）求证：AE＝CF；

（2）若BC＝16，EB＝30，求四边形EFCD的面积；

（3）在（2）的条件下，延长FC，P为射线FC上一点，BP＝10，且∠BPF＜90°，若点Q在射线FC上，且以Q，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出BQ的长．

∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐺

【解答】（1）证明：∵△ABC，△BEF都是等边三角形，

第19页（共21页）

∴CB＝BA，BF＝BE，∠ABC＝∠EBF， ∴∠FBC＝∠EBA， ∴△FBC≌△EBA， ∴CF＝AE．

（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝4， ∵△FBC≌△EBA， ∴S△BCF＝S△AEB，

∵S四边形EFCD＝S四边形EFCB﹣S△EDB ＝S△EFB+S△BCF﹣（S△AEB+S△ADB） ＝S△EFB﹣S△ADB =4×302−2×8×8√3 ＝193√3．

（3）解：①当点Q中点P的右侧时，作BH⊥PF于H． ∵△FBC≌△EBA， ∴∠EAB＝∠FCB＝150°， ∴∠BCH＝30°， ∴BH=2BC＝4，

在Rt△BHP中，PH=√𝑃𝐵2−𝐶𝐻2=6，

在Rt△BHP中，BH＝4，HQ＝HP+PQ＝6+10＝16， ∴BQ=√𝐵𝐻2+𝐻𝑄2=√82+162=8√5．

②当点Q′在线段PC上时，若PQ＝PB，则BQ′=√82+42=4√5． 若BQ′＝BP，则BQ′＝10．

若BQ′＝PQ′，设BQ′＝PQ′＝x．则有x2＝82+（x﹣6）2， 解得x=3， ∴BQ′=3，

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√31

1

25

25

综上所述，满足条件的BQ的值为8√5或4√5或10或

25．

3

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