高中数学数列习题

1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n1)}中的一项 （ A ）

（A）380 （B）39 （C）35 （D）23 2．在等差数列{an}中，公差d1，a4a178，则a2a4a6a20的值为（B ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55

3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是

（ D ）

（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003

4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和

为24，则此等比数列的项数为（ C ） （A）12 ,ac=-9

解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B

8．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ B ） A.40 B.42 C.43 D.45

解：在等差数列an中，已知a12,a2a313,∴ d=3，a5=14，a4a5a6=3a5=42，选B. 9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ C ）

A.5 B.4 C. 3 D. 2 解：5a120d15d3，故选C.

5a125d30解：由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a3bc10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c,a,b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ A ） A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

解：因为数列｛an｝是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选A

12． 在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于（C ）

1

(A)2n12 (B) 3n (C) 2n (D)3n1

n1【解析】因数列an为等比，则an2q，因数列an1也是等比数列，

则

(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1an(1q2q)0q12

即an2，所以Sn2n，故选择答案C。

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

13．设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13（B ）

A．120 B．105 C．90 D．75

【解析】an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则

a25，

a1a3(5d)(5d)16，∴ d=3，a12a210d35，a11a12a13105，选B.

14．设Sn是等差数列an的前n项和，若S735，则a4（ D ）

A．8 B．7 C．6 D．5 【解析】Sn是等差数列an的前n项和，若S77a435, ∴ a45，选D. S31S6

15．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则 ＝ （ A ）

S63S123111

（A） （B） （C） （D）

103解析:由等差数列的求和公式可得

S33a13d1,可得a12d且d0 S66a115d3所以

S66a115d27d3,故选A S1212a166d90d10二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上） 1．在数列{an}中，an1nn1，且Sn9，则n 99 ．

2．等比数列{an}的前三项为x，2x2，3x3，则a4 27 23． 若数列an满足：a11,an12an.n1，2，3….则a1a2an .

解：数列an满足：a11,an12an, n1，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴

2n12n1. a1a2an21

2

4．设Sn为等差数列an的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ . 解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得4a14(41)d14, 2[10a110(101)7(71)9(91)d][7a1d]30，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝921 2225．在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an 2n－1 。 解：由an1an2(n1)可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a11，所以an2n－1 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 1．已知an为等比数列，a32,a2a420，求an的通项式。 3a32

解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q

qq2201

所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,

q33

11－18－

当q1=, a1=18.所以 an=18×()n1=n－1 = 2×33n.

33322－

当q=3时, a1= , 所以an= ×3n－1=2×3n3.

99

2．设等比数列an的前n项和为Sn，S41,S817,求通项公式an?

a1(q41)1…① 解：设{an}的公比为q，由S41,S817知q1，所以得

q1a1(q81)q8117……②由①、②式得整理得417解得q416

q1q1所以 q＝2或q＝－2

12n1 将q＝2代入①式得a1，所以a15151(1)n2n1 将q＝－2代入①式得a1，所以an553． 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an . 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3． 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．

当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

3

当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3． 4．数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1 （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。 解：（Ⅰ）由an12Sn1可得an2Sn11n2，两式相减得an1an2an,an13ann2

又a22S113 ∴a23a1 故an是首项为1，公比为3得等比数列

n1 ∴an3

（Ⅱ）设bn的公差为d

由T315得，可得b1b2b315，可得b25 故可设b15d,b35d 又a11,a23,a39

由题意可得5d15d953 解得d12,d210

∵等差数列bn的各项为正，∴d0 ∴d2 ∴Tn3n2nn12n22n2

四、附加题（20分）

某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

解: 引入字母,转化为递归数列模型.

4

设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则anbn150.

an929277an1bn1an1(150an1)an130即anan130. 10101010101077(an1100)，于是an100(a1100)()n1 101010an100即 an100(7)n1(a1100).

liman100.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

n

5