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高中数学数列习题

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一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列四个数中,哪一个是数列{n(n1)}中的一项 ( A )

(A)380 (B)39 (C)35 (D)23 2.在等差数列{an}中,公差d1,a4a178,则a2a4a6a20的值为(B ) (A)40 (B)45 (C)50 (D)55

3.一套共7册的书计划每2年出一册,若各册书的出版年份数之和为13979,则出齐这套书的年份是

( D )

(A)1997 (B)1999 (C)2001 (D)2003

4.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和

为24,则此等比数列的项数为( C ) (A)12 ,ac=-9

解:由等比数列的性质可得ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9且b与奇数项的符号相同,故b=-3,选B

8.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) A.40 B.42 C.43 D.45

解:在等差数列an中,已知a12,a2a313,∴ d=3,a5=14,a4a5a6=3a5=42,选B. 9.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( C )

A.5 B.4 C. 3 D. 2 解:5a120d15d3,故选C.

5a125d30解:由互不相等的实数a,b,c成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由a3bc10可得b=2,所以a=2-d,c=2+d,又c,a,b成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D 11.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( A ) A. 81 B. 27527 C.

3 D. 243

解:因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9= (a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81,故选A

12. 在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于(C )

1

(A)2n12 (B) 3n (C) 2n (D)3n1

n1【解析】因数列an为等比,则an2q,因数列an1也是等比数列,

(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1an(1q2q)0q12

即an2,所以Sn2n,故选择答案C。

【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。

13.设an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,a1a2a380,则a11a12a13(B )

A.120 B.105 C.90 D.75

【解析】an是公差为正数的等差数列,若a1a2a315,a1a2a380,则

a25,

a1a3(5d)(5d)16,∴ d=3,a12a210d35,a11a12a13105,选B.

14.设Sn是等差数列an的前n项和,若S735,则a4( D )

A.8 B.7 C.6 D.5 【解析】Sn是等差数列an的前n项和,若S77a435, ∴ a45,选D. S31S6

15.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则 = ( A )

S63S123111

(A) (B) (C) (D)

103解析:由等差数列的求和公式可得

S33a13d1,可得a12d且d0 S66a115d3所以

S66a115d27d3,故选A S1212a166d90d10二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上) 1.在数列{an}中,an1nn1,且Sn9,则n 99 .

2.等比数列{an}的前三项为x,2x2,3x3,则a4 27 23. 若数列an满足:a11,an12an.n1,2,3….则a1a2an .

解:数列an满足:a11,an12an, n1,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,∴

2n12n1. a1a2an21

2

4.设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9= . 解:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意得4a14(41)d14, 2[10a110(101)7(71)9(91)d][7a1d]30,联立解得a1=2,d=1,所以S9=921 2225.在数列{an}中,若a11,an1an2(n1),则该数列的通项an 2n-1 。 解:由an1an2(n1)可得数列{an}为公差为2的等差数列,又a11,所以an2n-1 三、解答题(本大题共4小题,每小题10分,共40分) 1.已知an为等比数列,a32,a2a420,求an的通项式。 3a32

解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q

qq2201

所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,

q33

11-18-

当q1=, a1=18.所以 an=18×()n1=n-1 = 2×33n.

33322-

当q=3时, a1= , 所以an= ×3n-1=2×3n3.

99

2.设等比数列an的前n项和为Sn,S41,S817,求通项公式an?

a1(q41)1…① 解:设{an}的公比为q,由S41,S817知q1,所以得

q1a1(q81)q8117……②由①、②式得整理得417解得q416

q1q1所以 q=2或q=-2

12n1 将q=2代入①式得a1,所以a15151(1)n2n1 将q=-2代入①式得a1,所以an553. 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②

由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2).

当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;

3

当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 4.数列an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1 (Ⅰ)求an的通项公式;

(Ⅱ)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分12分。 解:(Ⅰ)由an12Sn1可得an2Sn11n2,两式相减得an1an2an,an13ann2

又a22S113 ∴a23a1 故an是首项为1,公比为3得等比数列

n1 ∴an3

(Ⅱ)设bn的公差为d

由T315得,可得b1b2b315,可得b25 故可设b15d,b35d 又a11,a23,a39

由题意可得5d15d953 解得d12,d210

∵等差数列bn的各项为正,∴d0 ∴d2 ∴Tn3n2nn12n22n2

四、附加题(20分)

某校有教职员工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

解: 引入字母,转化为递归数列模型.

4

设第n次去健身房的人数为an,去娱乐室的人数为bn,则anbn150.

an929277an1bn1an1(150an1)an130即anan130. 10101010101077(an1100),于是an100(a1100)()n1 101010an100即 an100(7)n1(a1100).

liman100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.

n

5

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