正余弦定理专题 (1)

1.正弦定理：

abc===2R.（关键点“比”） sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理：

a2=b2+c2－2bccosA；① b2=c2+a2－2cacosB；② c2=a2+b2－2abcosC. ③

在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.

b2c2a2c2a2b2a2b2c2cosA=； cosB=； cosC=.

2bc2ca2ab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 判断三角形的形状：

1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ） 答案：C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（ ） 答案：C +cosA=

1 5 B.AB·BC＞0 +tanB+tanC＞0 =3，c=33，B=30°

解析：由sinA+cosA=

124 得2sinAcosA=－＜0，∴A为钝角. 525由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B为钝角.

由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0. ∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.

2sinBsinC33sinBsinC3.在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.

cosBcosCbc解：a=2，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）22222cababc2ca2ab+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.

解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.

由

解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴

b2c2a21ππ=.∴∠A=. 答案：

2bc2335.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A.充分而不必要条件 件

1”的 2B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条

解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1 sinA＞

11；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答22案：B

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=是_______.

1（a2+b2－c2），则∠C的度数4111π（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=. 答案：45° 42447.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.

证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）解析：由S=

1cos2A1cos2B1－=sinBsin（A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）

222sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），

因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.

sin2A－sin2B=sinBsinC该题若用余弦定理如何解决?

b2c2a2（b2c2）b（bc）cb解：利用余弦定理，由cosA===，

2bc2bc2b22（bc）ca2c2b22cb2cos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=.

2ac2b2b（bc）c2所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.

评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.

a2=b（b+c），得

8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为

案：B

3，那么b等于（ ） 2答

23 +3 231113解析：2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，

22242A.

13 2 +3 C.

2222223acb4b12bb4得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+23.又b为边

22ac2长，∴b=1+3.

31，sin（A－B）=. 55（1）求证：tanA=2tanB； （2）设AB=3，求AB边上的高. 9.已知锐角△ABC中，sin（A+B）=（1）证明：∵sin（A+B）=

31，sin（A－B）=， 5532sinAcosBcosAsinBsinAcosBtanA55∴ =2. ∴tanA=2tanB. tanBsinAcosBcosAsinB1cosAsinB155（2）解：即

π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=. ∴tan（A+B）=－， 226tanAtanB3=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值

241tanAtanB26，∴tanA=2tanB=2+6. 23CDCDCD设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为

tanAtanB26舍去）.得tanB=

2+6.

10.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值. c剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2bsinB可变形为=a，再用正弦定理可求的值.

cc解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac. 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc. b2c2a2bc1在△ABC中，由余弦定理得 cosA===，∴∠A=60°.

2bc2bc23bsinBb2sin60bsinA2在△ABC中，由正弦定理得sinB=， ∵b=ac，∠A=60°，∴=sin60°=. 2caca11解法二：在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB.

223bsinB=sinA=.

2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

b2=ac

∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB. ∴

11.在△ABC中，若∠C=60°，则

ab=_______. bcac

（*）

a2b2acbcabacbcc2a2b2acbca2acb2bcab解析：= =. 2bcac（bc）（ac）abacbcc∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab. 取值范围题目

∴a2+b2=ab+c2. 代入（*）式得=1. 答案：1

12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=围.

解：∵b2=ac，∴cosB=

1sin2B的取值范

sinBcosBa2c2b2a2c2ac1ac11π==（+）－≥. ∴0＜B≤，

2ac2ac2ca22321sin2B（sinBcosB）πy===sinB+cosB=2sin（B+）

sinBcosB4sinBcosB.∵

2ππ7ππ＜B+≤， ∴＜sin（B+）≤1. 故1＜y≤2.

24441213.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.

（1）求∠C； （2）求△ABC面积的最大值.

解：（1）由22（sinA－sinC）=（a－b）·sinB得22（

2

2

2

2

2

2

2

2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b. 2Ra2b2c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab. ∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴

2ab2C=60°.

（2）S=sinA）

311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°

2223333sin2A－sin2Acos2A+=3sin（2A－30°）+.

2222=3sinAcosA+3sin2A=

33. 214.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

a2b2c2解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1， ∴1＜c＜5.

2ab●思悟小结

ABCABC=cos，cos=sin 22222.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. 3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.

1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin