知识框架
一、基本概念 数字谜
数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
填算符：指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。
算符：指 +、-、×、÷、（）、[]、｛｝。
数阵图
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵图：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
幻方
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
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13。
二、数字谜分类
1、 竖式谜 2、 横式谜 3、 填空谜 4、 幻方 5、 数阵图 6、 数独
三、解题技巧与方法
竖式数字谜
1、 技巧
（1） 从首位或者末尾找突破口（突破口：指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或者末尾，
可以确定其数字或者范围然后通过推理很快可以确定其值为后面的推理做好铺垫）；
（2） 要根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字；
（3） 题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； （4） 注意结合进位及退位来考虑；
（5） 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字。 （6） 数字谜解出之后，最好验算一遍． 2、 数字迷加减法 （1） 个位数字分析法； （2） 加减法中的进位与退位； （3） 乘除法中的进位与退位； （4） 奇偶性分析法。
横式数字谜
解决巧填算符的基本方法
（1） 凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减
少，从而使等式成立。
（2） 逆推法：常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。
最值问题
（1） 横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法；
（2） 找突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
（3） 采用特殊分析方法：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因数法、奇偶分析法等．
（4） 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到
所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
（5） 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数
互化、方程、估算、找规律等题型。
数阵图
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对
数学方法的综合运用．
数独
数独游戏中最常规的办法就是利用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个空格只位于两个单元之内，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。 总结4个小技巧：
1、 巧选突破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来
分析每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑大小关系的限制。
2、 相对不确定法：有的时候我们不能确定2个方格中的数字，却可以确定同一单元其他方格中肯
定不会出现什么数字，这个就是我们说的相对不确定法。举例说明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我们可以确定，1和2必定出现在A1和A2两者之中，A行其他位置不可能出现1或者2.
3、 相对排除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选
数字进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，A行中已经确定5个数字，还有4个数字（我们假设是1、2、3、4）没有填入，通过这4个空格所在的其他单元我们知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，这个时候我们可以分析，数字4只能填入A1中，所以A1可以确定填入4，我们就可以不用考虑A1，这样就可以发现2只能填入A3中，所以A3也能确定，A2和A4可以通过其他办法进行确定。 4、 假设法：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能
进行无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，这个时候我们就应该假设B3填入2，这样就可以确定A3填入3，B4填入1，然后以这个为基础进行推理。
幻方
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）
②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．
四、奇数和偶数的简单性质
1、 整数可以分为奇数和偶数两类
（1） 我们把1，3，5，7，9和个位数字是1，3，5，7，9的数叫奇数. （2） 把0，2，4，6，8和个位数是0，2，4，6，8的数叫偶数. 2、 性质： （1） 奇数≠偶数.
（2） 整数的加法有以下性质： 奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数.
（3） 整数的减法有以下性质： 奇数-奇数=偶数； 奇数-偶数=奇数； 偶数-奇数=奇数； 偶数-偶数=偶数.
（4） 整数的乘法有以下性质： 奇数×奇数=奇数； 奇数×偶数=偶数；
偶数×偶数=偶数.
五、幻方起源：
幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
43951276
8
我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
六、数独简介：
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都是由不重复的n个数字或者字母组成的。 19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游戏，当时人们称之为“数字拼图”（Number Place），在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。填充完整后1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出现了“数独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日本东京旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，很快便风靡全英国，之后他用了6年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏很快在全世界流行。从此，这个游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的数学智力拼图游戏，例如：数和、杀手数独。
中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日，北京晚报智力休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加入世界谜题联合会的颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标志着北京晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。
例题精讲
【例 1】 如图，请在右图每个方框中填入一个不是8的数字，使乘法竖式成立。
× 8 8 8
8 8 【巩固】 在下面的算式中：abccbaacbba，a,b,c别代表0～9中的三个不同的数字，那么，数字b是 ．
【例 2】 右边的除法算式中，商数是 。
6170
【巩固】 在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立．则被除数应是___________．
888880
【例 3】 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为 ：
20090
【巩固】 如下图所示的算式中，除数是( )，商是（ ）。
60
【例 4】 电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的
电子数字恢复，并将它写成横式形式：
【巩固】 电子数字0～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清．请
将图2的电子数字恢复，并将它写成横式： ：
【例 5】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那
么其中最小的四位数是多少？
【巩固】 面算式由1～9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学
解题”与“能力”的差的最小值是__________.
【例 6】 右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到 。
【巩固】 右式中不同的汉字代表l一9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位
数最大是多少?
中国新北京＋2新奥运008
【例 7】 请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈
内数字之和都相等．那么乘积ABC ？
ABC
【巩固】 下图中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的
和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．
﹡
【例 8】 右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志．请将19分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且
使每个圆环内的数字之和都相等．
【巩固】 2008年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、 “会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数，
将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”。这五个自然数的和最大是 。
奥北
运京会
【例 9】 请在如右图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都
互不相同．
1456423163486531852
【巩固】 如图，请将1个1，2个2，3个3，…，7个7，8个8填入6×6的表格中，使得相同的数所在
的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A,B,C,D,E,F各不相同；那么，六位数ABCDEF是 ．
【例 10】 将1到9填入下图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列或一个区块都是
一个单元。每个单元都必须包含全部但不重复的数字。
497552946839879536811624453924176635
【巩固】 如右下图，9个33的小方格表合并成一个99的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，
每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个33的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是 。
15★75386417853★1981★5★2649★6934★★3★4765★4★27
课堂检测
【作业1】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数
字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________
学而思杯学而思杯
【作业2】 将1到4填入右图的空白方块中，每个方块只能填一个数字，任何一行，一列都必须包含全部
但不重复的数字，并且，在有“>”或者“<”的对应两个空格必须满足对应的大小关系。
1ABCD
∨
2
∨
3<
4
∨∧
∨
【巩固】 请在右图4×4表格的每格中填入l,2，3，4中的一个，使得每行，每列，每条对角线的四个数各
不相同，且满足图中三个不等的关系．
家庭作业
【作业1】 右边算式中，A表示同一个数字，在各个
的差(大数减小数)是
A中填入适当的数字，使算式完整．那么两个乘数
1AA1
【作业2】 华杯赛网址是wwwhuabeisai..cn，将其中的字母组成如下算式：
wwwhuabeisaicn2008，如果每个字母分别代表0～9这十个数字中的一个，相同的
字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且w8、h6、a9、c7，则三位数bei的最小值是 ．
【作业3】 “美妙的数学花园”这7个字各代表1~7中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果
学比美大，美比园大，那么，园表示 。
【作业4】 “九宫图”是一个9×9的方阵，它是由九个3×3的“九宫格”（图中黑实线围住的方阵）组成。
2486117279238195351584181769245
请你在上图中将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入空格内，使得每行、每列及9个“九宫图”中数字1~9均恰好出现一次。当填写完后，位于第4行第4列的数字式______。 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【作业5】 如图是一个未完成的“数独”，给出数字A、B、C、D所在方格内应填的数字。A 、
B 、 C 、D 。注：所谓“数独”即在99 的方格中填入1~9中的数字，使得每个粗线33的方格中数字及99的方格中每行每列数字均不重复。
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