余弦定理练习题含答案

余弦定理练习题

11．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于()

3

A．6B．26C．36D．46

2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，那么c等于()

A.3 B.2C.5 D．2

3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，那么∠A等于()

A．60° B．45°C．120° D．150°

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，假设(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，那么∠B的值为()

πππ5ππ2πA.B.C.或D.或 636633

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，那么acosB＋bcosA等于()

A．aB．bC．cD．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，那么a为()

A.3B．23C.3或23D．2

9．△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________． 10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．

11．a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，假设a＝4，b＝5，S＝53，那么边c的值为________． 12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos A∶cos B∶cos C＝________.

1

13．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，那么b＝________.

3

a2＋b2－c2

15．△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，那么角C＝________.

4

16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，那么最小角的余弦值为________．

17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

1

18．△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)假设△ABC的面积为sin C，求角C的度数．

6

π

19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．

4

20．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．

余弦定理答案

1

1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(A)A．6 B．26C．36 D．46

3

2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，那么c等于(B)A.3 B.2C.5 D．2 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，那么∠A等于(D)A．60° B．45°C．120° D．150°

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，假设(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，那么∠B的值为(D) πππ5ππ2πA. B.C.或 D.或 636633

解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得

a2＋c2－b2313cosBπ3π2πcosB＝＝·＝·.显然∠B≠，∴sinB＝.∴∠B＝或.

2ac2tanB2sinB2233

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，那么acosB＋bcosA等于(C) A．a B．BC．c D．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为() A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定

解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，那么c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m， 又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形． 8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，那么a为() A.3 B．23C.3或23 D．2

解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a，∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23.

9．△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________．

π

解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.

3

1

在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×＝3.答案：3

2

10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．

解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，

a2＋b2－c21

∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝＝－，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.

2ab2

11．a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，假设a＝4，b＝5，S＝53，那么边c的值为________．

131

解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

222

∴c2＝21或61，∴c＝21或61.答案：21或61

12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos A∶cos B∶cos C＝________. 解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，

a2＋c2－b22k2＋4k2－3k211

设a＝2k(k＞0)，那么b＝3k，c＝4k，cos B＝＝＝，

2ac2×2k×4k16

71

同理可得：cos A＝，cos C＝－，∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)

84

1

13．在△ABC中，a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，那么b＝________.

3

1221122

解析：∵cos C＝，∴sin C＝.又S△ABC＝absinC＝43，即·b·32·＝43，∴b＝23.答案：23

33223

a2＋b2－c2

15．△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，那么角C＝________.

4

a2＋b2－c2a2＋b2－c2ab11

解析：absinC＝S＝＝·＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°

242ab22

16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，那么最小角的余弦值为________．

k2＋k－12－k＋12＜0

解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，那么⇒2＜k＜4，

k＋k－1＞k＋1

32＋42－2277

∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为＝.答案：

2×3×488

17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

11

解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.

22

又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.

1

∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－)＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB＝10.

2

18．△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.

1

(1)求边AB的长；(2)假设△ABC的面积为sin C，求角C的度数．

6

解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.

111

(2)由△ABC的面积BC·AC·sin C＝sin C，得BC·AC＝，

263AC2＋BC2－AB2AC＋BC2－2AC·BC－AB21

由余弦定理得cos C＝＝＝，所以C＝60°.

2AC·BC2AC·BC2

19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.

π

(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．

4

ABBCsinC

解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得AB＝BC＝2BC＝25.

sin Csin AsinA

AB2＋AC2－BC2255

(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝＝，于是sin A＝1－cos2A＝.

2AB·AC55

43

从而sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝cos2A－sin2A＝. 55

πππ2

所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝. 44410

20．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．

sin CcsinCc

解：由正弦定理，得＝.由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝. sin Bb2sin B2b

b2＋c2－a2cb2＋c2－a2

又根据余弦定理，得cos A＝，所以＝，

2bc2b2bc

即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.

又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2， 所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．