微积分试卷

微积分B期终试卷(A卷)

一、选择题（每小题3分，共15分）：

dx2f(t)dt（ ） 1、设f(x)在(,)内连续,则0dx A） f(x2) B）f(x2)2x C）f(x2)2x D）f(x2) 2、设积分区域D是连接三点（1，1），（4，1），（4，2）的线段围成的三角形， 则4d （ ）

D A）4 B）6 C）8 D）12

3、下列级数中条件收敛的是（ ） A) n1nsin10n B) 2n1 n2n1(1)n1 D)  2nnn1 C) (1)n1n1（x0,y0）4、二元函数f(x,y)在点处两偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点（x0,y0）处可微的（ ）

A）充分非必要条件 B）必要非充分条件

C）充要条件 D）即非必要条件也非充分条件

(x1)n5、幂级数的收敛区间为（ ） n2n0A、(1,3) B、(1,1) C、(2,2) D、(0,1) 二、填空题（每题3分，共15分）：

1、设f(x,y)=2xy2exytan[(x1)(y1)],则fx(1,1)= 。 2、交换积分次序dy01yy2f(x,y)dx 。

 3、2(x51)cos4xdx= 。

2 4、e1dx= 。 3xlnx 5、差分方程2yt1ytt的特解形式是（不需要解出） 。 三、计算题(每题6分，共30分)

1、设zz(x,y)是由方程z33xyz0所确定的隐函数，试求dz 2、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

zz, xy 3、计算Dydxdy，其中D为曲线xy1及直线x2，yx所围成的闭区域。 2x 4、cosx2y2dxdy，D：2x2y242。

D(1x2)y2xy15、求微分方程初值问题的解.

y|x01四、级数（20分）

1、求幂级数(1)n1nxn1的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数

n1(1)n1n1n2n1的和.（12分）

2、将函数f(x)11x2x2展开成关于

x的幂级数,并指出收敛区间。（8分）

五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

x求由曲线yx和直线y所围成的图形的：

2（1）面积； （2）绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

2、某公司的甲,乙两厂生产同一种产品,月产量分别为x和y(千件),甲厂的月生产成本

是:c1x22x5(千元),乙厂的生产成本是:c2y24y4(千元).现欲使总成本最小,试求:若要求产品的月产量为10(千件),问每个厂的最优月产量是多少. (10分)

浙江工业大学之江学院08/09学年第二学期

一、1、 C 2、 B 3 、D 4、 B 5、 A 二、 1、 2ln2。 2、dx01xx31f(x,y)dy 3、 4、 5、AtB

82三、1、设zz(x,y)是由方程z33xyz0所确定的隐函数，试求dz 解：F(x,y,z)z33xyz 1’

则Fx'3y,Fy'3x,Fz'3z21 2’

zxF'xF', z 3y3z21 1’ 3x3z21 1’

∴dz3y3x3z21dx3z21dy 1’

2、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

zzx,y 解：

3、计算yx2dxdy，其中D为曲线xy1及直线x2，yx所围成的闭区域。D由y1x 得交点(1,1) 则 D:11x2yx 2yxxy2dxdy2xyDx1dx12dy 2’ xx2 12(x1173x3) 2’

148 4、cosx2y2dxdy，：2x2y242。

 如图示,D:02r2 2’



cosx2y2dxdy22D0dcosrrdr 2’

22rcosrdr2(rsinr22sinrdr)4 2’

5、求微分方程初值问题的解(1-x2)y2xy1y|.

x01解：原方程化为y2x1x2y11x2P(x)2x11x2,Q(x)1x2. 2’

2x由公式得: ye1x2dx1e2x1x2dxdxC1x211x2xC 2’’

2’ 将yx01代入上式解出C1 ∴y1 2’ 1xan(1)n1n四、1、解: 收敛半径Rlimlim1，收敛区间(-1,1) 3’

nan(1)n(n1)n1设和函数S(x)(1)n1nxn1 x1 1’

n1光对S(x)在(-1,1)内从0到x逐项积分,得:

x0S(x)dxx0(1)n1n1nxdx(1)n1xnn1n1x 3’ 1x再对上式两边对x求导,得 S(x)1 x1 2’ 2(1x) (1)n1n1n114S() 3’ n1122(1)292 2、解：因为

f(x)11112() 21x2x(1x)(12x)31x12x1nx且 x1 2’ 1xn01n12n1nn)x 2’ 所以f(x)(x2(2x))(3n03n0n011收敛区间为(,) 2’

22yx五、1、由（0，0） 2’ x得交点(4，2) ，

y2x(1) dA(x)dx 3’

2x2(2) dV(x)dx 3’

4 2、由题意得:总成本C(x,y)C1C2x2y22x4y9 约束条件:xy10

故设函数L(x,y,)x2y22x4y9(xy10) 2’

L'x2x201 由条件得:L'y2y402

L'xy103 1-2得: xy10 代入3得: 2y110

1195.5,x4.5 4’ 22 因仅得唯一驻点,且在实际问题中存在着使总成本最小的每个厂的最优月产量,即甲厂

的月产量为4.5千件,乙厂的月产量为5.5千件时,可使总成本最小. 1’

y浙江工业大学之江学院09/10学年第二学期

微积分B期终试卷(A卷)

一、选择题（每小题3分，共9分）：

（x0,y0）1、 考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：f(x,y)在点处

（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用 “PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）

A）(3) （4）（1） B）(3) （2）（1） C）（2） (3) （1） D）(3) （1）（4）

n12、4．级数(1)n11n23，则级数（ ）

A）发散 B）条件收敛 C）绝对收敛 D）收敛性不能确定 3、设f(x)连续，且f(0)1,则

limx0x0f(t)dt2x（ ）

A） B）0 C）二、填空题（每题3分，共18分）： 1、

1 D）2 2x2y24dxdy＝

5(sinx1)cosxdx22、

2 。

3yxy 3、设f(x,y)x2esin[(y1)(x1)],则fy(1,1)＝ 。

4、limun0是级数

n0un1n收敛的 条件。

5、

0exdx 。

t6、 差分方程2yt1ytt2的特解形式是（不需要解出） 。

三、计算题(每题7分，共35分)

1、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

z,xz,dz， yzz, xy2、设zz(x,y)是由方程zsinxyln(xz)所确定的隐函数，试求

11x3、改变积分次序 计算

dx0ey2dy

4、计算

Dsin(x2y2)x2y2d,D:1x2y24

5、解微分方程xy'ysinx,yx1 四、级数（18分） 1、求幂级数

n1n1的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数(1)nxn1(1)n1n1n3n1的和.（10分）

2、将函数y1展成x的幂级数，并写出收敛区间.（8分） 2xx2五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

由曲线ye与直线

xye,x0所围的平面图形,

试求: (1)面积; (2)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.

2、某公司电台和报纸两种方式作销售某种商品的广告，据统计资料， 销售收入R（万元）

与电台广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）三者之间的关系有经验公式

R1521x45y8xy2x210y2（10分）

（1）、在广告费用不限定的条件下，求最优广告策略； （2）、若提供的广告费用为3万元，求相应的最优广告策略。

答案：

一、1、C 2 、B 3、 C

二、1、4 2、16/15 3、 2ln2 4、必要 5、 1 6、 (b0b1t)2

t三、1、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

' dzzxdxz'ydy---------------7’

2、设zz(x,y)是由方程z=sinxy+lnxz所确定的隐函数，试求

cosxy11z1x

zz, xy'解：zxycosxy11''zx 3’zxxzz'yxcosxy1'xcosxy 7’ zy 6’z'y1z1z1123、改变积分次序 计算dxeydy

0x4、计算sin(x2y2)x2y2d,:1x2y24

解:草图---------1’

5、解微分方程xy'ysinx,yx1

1sinx解：原方程化为yyxx1 yexdx1sinxxdx(edxC)x13

x时，y1得C1 yx1(1cosx)7'

四、1、求幂级数(1)n1nxn1的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数

n1(1)n1n1n3n1的和.（10分）

x解：设S(x)(1)n1n1nxn1,0(1)n1n1nxdx(x)nn1n1x 3’ 1x2、将函数y解：原式=

11展成x的幂级数，并写出收敛区间.（8分）

x2x210五、1、A=(eex)dx(exex)0122x21 4’

101VX(ee)dx(exe2x)02e2 4’ 22 2、解:(1)设利润函数L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+20x+44y-8xy-2x210y2 2’

(x>0,y>0) 3’

z208y4x0x3x 则令解出为唯一驻点. 5’

zy1448x20y0y 所以实际问题是电台广告费用为3万元.报纸广告费用为1万元时为最优广告策略. 6’

（x,y,）1520x44y8xy2x210y2(xy3) 8’ (2)设L

lx208y4x03xl2 9’ 令448x20y0解出yy3l2xy30 即当电台广告费用与报纸广告费用相等时.为最优广告策略。 10’

浙江工业大学之江学院09/10学年第二学期

微积分B期终试卷(A卷)

一、选择题（每小题3分，共9分）：

（x0,y0）1、 考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质：f(x,y)在点处

（1）连续，（2）两偏导数连续，(3) 可微，（4）两偏导数存在。若用 “PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）

A）(3) （4）（1） B）(3) （2）（1） C）（2） (3) （1） D）(3) （1）（4）

n12、4．级数(1)n11n23，则级数（ ）

A）发散 B）条件收敛 C）绝对收敛 D）收敛性不能确定 3、设f(x)连续，且f(0)1,则

limx0x0f(t)dt2x（ ）

A） B）0 C）二、填空题（每题3分，共18分）： 1、

1 D）2 2x2y24dxdy＝

5(sinx1)cosxdx22、

2 。

3yxy 3、设f(x,y)x2esin[(y1)(x1)],则fy(1,1)＝ 。

4、limun0是级数

n0un1n收敛的 条件。

5、

0exdx 。

t6、 差分方程2yt1ytt2的特解形式是（不需要解出） 。

三、计算题(每题7分，共35分)

1、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

z,xz,dz， yzz, xy2、设zz(x,y)是由方程zsinxyln(xz)所确定的隐函数，试求

1013、改变积分次序 计算

dxeydy

x24、计算

Dsin(x2y2)x2y2d,D:1x2y24

5、解微分方程xy'ysinx,yx1 四、级数（18分） 1、求幂级数

(1)n1nxn1的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数

n1(1)n1n1n3n1的和.（10分）

2、将函数y1展成x的幂级数，并写出收敛区间.（8分）

x2x2五、应用题（20分）

1、定积分在几何上的应用(10分)

由曲线ye与直线

xye,x0所围的平面图形,

试求: (1)面积; (2)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.

2、某公司电台和报纸两种方式作销售某种商品的广告，据统计资料， 销售收入R（万元）

与电台广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）三者之间的关系有经验公式

R1521x45y8xy2x210y2（10分）

（1）、在广告费用不限定的条件下，求最优广告策略； （2）、若提供的广告费用为3万元，求相应的最优广告策略。

答案：

一、1、C 2 、B 3、 C

二、1、4 2、16/15 3、 2ln2 4、必要 5、 1 6、 (b0b1t)2 三、1、设zf(x2y,xy3),且f(u,v)具有一阶连续偏导数.求

' dzzxdxz'ydy---------------7’

t2、设zz(x,y)是由方程z=sinxy+lnxz所确定的隐函数，试求

cosxy11z1x

zz, xy'解：zxycosxy11''zx 3’zxxzz'yxcosxy1'xcosxy 7’ zy 6’z'y1z1z1123、改变积分次序 计算dxeydy

0x4、计算sin(x2y2)x2y2d,:1x2y24

解:草图---------1’

5、解微分方程xy'ysinx,yx1

1sinx解：原方程化为yyxx1 yexdx1sinxxdx(edxC)x13

x时，y1得C1 yx1(1cosx)7'

四、1、求幂级数(1)n1nxn1的和函数，写出收敛区间，并利用上结论求数项级数

n1(1)n1n1n3n1的和.（10分）

x解：设S(x)(1)n1n1nxn1,0(1)n1n1nxdx(x)nn1n1x 3’ 1x2、将函数y解：原式=

11展成x的幂级数，并写出收敛区间.（8分）

x2x210五、1、A=(eex)dx(exex)01 4’

1VX(ee)dx(exe2x)02122x210e2 4’ 22 2、解:(1)设利润函数L(x,y)=R(x,y)-(x+y)=15+20x+44y-8xy-2x210y2 2’ (x>0,y>0) 3’

z208y4x0x3x 则令解出为唯一驻点. 5’

zy1448x20y0y 所以实际问题是电台广告费用为3万元.报纸广告费用为1万元时为最优广告策略. 6’

（x,y,）1520x44y8xy2x210y2(xy3) 8’ (2)设L

lx208y4x03xl2 9’ 令448x20y0解出yy3l2xy30 即当电台广告费用与报纸广告费用相等时.为最优广告策略。 10’