基于Allan方差的MEMS陀螺仪随机误差辨识与抑制

传感器与微系统（TransducerandMicrosystemTechnologies）2019年第38卷第6期

DOI：10．13873/J．1000—9787（2019）06—0062—04

*

基于Allan方差的MEMS陀螺仪随机误差辨识与抑制

马

1

群，王

1

庆，阳

1

媛，盛

浩

2

（1．东南大学仪器科学与工程学院，江苏南京210096；2．北京航空航天大学计算机学院，北京100191）摘要：为了提高某型微机电系统（MEMS）陀螺仪输出精度，静态采集该型MEMS陀螺仪原始数据，通过Allan方差分析法，对陀螺仪随机误差成分进行辨识；以z轴输出为例，利用时间序列分析法，建立其随机误差的自回归滑动平均（AＲMA）模型。根据拟合后的模型参数设计卡尔曼滤波器，对原始数据进行滤波处

再对预滤波后的数据进行Allan方差分析。结果表明：滤波后的量化噪声、角度随机游走、零偏不稳定理，

19．8%和8．1%。卡尔曼滤波器能够有效抑制MEMS陀螺仪的随机误差，性误差系数分别减小了2．8%，提高输出精度。

关键词：微机电系统（MEMS）陀螺仪；随机误差；Allan方差；自回归滑动平均模型；卡尔曼滤波中图分类号：TP212；V241．5

文献标识码：A

文章编号：1000—9787（2019）06—0062—04

ＲandomerroridentificationandsuppressionofMEMSgyroscopebasedonAllanvariance*

MAQun1，WANGQing1，YANGYuan1，SHENGHao2

（1．SchoolofInstrumentScienceandEngineering，SoutheastUniversity，Nanjing210096，China；2．SchoolofComputerScienceandEngineering，BeihangUniversity，Beijing100191，China）Abstract：Toimprovetheoutputprecisionofacertaintypeofmicro-electro-mechanicalsystem（MEMS）gyroscope，therawdataoftheMEMSgyroscopeareacquiredinstaticstate．TheAllanvarianceanalysismethodisappliedtoidentifythecomponentsofrandomerrorsofthegyroscope．Anauto-regressiveandmovingaverage（AＲMA）modelofzaxisoutputisbuiltbytimeseriesanalysismethod．Kalmanfilterisdesignedbasedonfittedafterwhich，theAllanvarianceanalysisisperformedonthepre-filteredmodelparameterstoprocesstherawdata，

data．Theresultshowsthattheerrorcoefficientsofquantizationnoise（QN），angularrandomwalk（AＲW）andbiasinstability（BI）decreaseby2．8%，19．8%and8．1%respectively，KalmanfiltercanrestrainrandomerrorsofMEMSgyroscopeandimproveitsprecisioneffectively．

Keywords：micro-electro-mechanicalsystem（MEMS）gyroscope；randomerror；Allanvariance；auto-regressiveandmovingaverage（AＲMA）model；Kalmanfiltering

0

引

言

得到有效衰减。1

Allan方差分析法

electro-mechanicalsystem，MEMS）陀微机电系统（micro-成本低、高可靠性等优点，非常适合应用螺仪具有体积小、

车辆、小型无人机的姿态测量和导航中于机器人、

［1］

1．1Allan方差计算过程

通过静态实验对陀螺仪连续采集一段时间的原始数

。在

不同MEMS陀螺仪往往受到制作工艺、环境实际应用中，

精度难以达到理想要求。针对这一问题，目前有因素制约，

效的解决方法是通过算法提高陀螺仪输出精度。本文针对运用Allan方差法一MEMS陀螺仪静态采集的原始数据，

建立随机误差的自回归滑动平辨识其随机误差成分，

regressiveandmovingaverage，AＲMA）（1，1）模型，均（auto-并基于该拟合模型参数设计卡尔曼（Kalman）滤波器，对原始数据进行预处理，处理后数据中包含的随机误差成分均

收稿日期：2018—03—21

据，得到总数为的数据样本，然后将平均角速率样本划分为分组方法如图1所示。包含不同数量采样点的样本组，

图1Allan方差样本分组示意

*基金项目：国家重点研发计划资助项目（2016YFB0502103）；国家自然科学基金资助项目（61601123）；江苏省自然科学基金资助项目（BK20160696）

第6期马群，等：基于Allan方差的MEMS陀螺仪随机误差辨识与抑制

63

设第一组平均角速率样本序列为珚Ω1（τ0），珚Ω2（τ0），珚Ω3（τ0），…，珚ΩN（τ0）（1）

式中

τ0为原始数据采样间隔。计算第一组数据的Allan方差N－1

σ^2A（τ0）=

1

2（N－1）

∑［珚Ω

k+1

（τ0）－珚Ω2

k（τ0）］

（2）

k=1扩大采样间隔，使τ1=2τ0，在相继奇偶序号角速率之间取算数平均，

即珚Ω珚Ω2k－1（τ0）+珚Ω2k（τ0）k（τ1）=2，k=1，2，3…，N1（3）

此时样本数N1=［N/2］（取整），组成新的平均角速率

序列

珚Ω1（τ1），珚Ω2（τ1），珚Ω3（τ1），…，珚ΩN1（τ1）（4）

计算其Allan方差，即^（τ1N1－1σ

2

A

1）=2（N1－1）

∑［珚Ω

2

k+1

（τ1）－珚Ωk（τ1）］

（5）

k=1

再次扩大采样间隔，计算采样时间为τ2=3τ0时的Allan方差。如此反复直至最终序列的长度不小于2，至此获得一系列的点对τi～σ^2A（τi），i=1，2，3，…，L（L为分组数），并将结果绘制成双对数曲线图

［2］

。

1．2Allan方差与随机误差组成关系

Allan方差与MEMS陀螺仪随机误差的功率谱密

度（powerspectraldensity，

PSD）有唯一的确定关系2

4

στ）A（τ）=4

∫

∞

S0

Ω（f）

sin（πf（πfτ）2

df

（6）式中

SΩ（f）为随机误差的功率谱密度函数，sin4（πfτ）/

（πfτ）2为误差的Allan方差带通滤波器。当τ发生变化时，不同频率的信号可以在不同时间上依次通过滤波器

［3］

。假设MEMS陀螺仪的随机噪声包含统计的量

化噪声、

角度随机游走、零偏不稳定性、角速率随机游走和速率斜坡，

则Allan方差可表示为σ2

3Q2N24B2K2τA

（τ）=τ

2+

τ+9+3+Ｒ2τ2

22

=

7）

k∑Ak

k

τ

（=－2

式中Q为量化噪声系数，N为角度随机游走系数，B为零偏不稳定系数，

K为角速率随机游走系数，Ｒ为速率斜坡系数

［4］

。将式两边同取对数，近似得

2lgσ1A（τ）≈k∑（

（8）

=－2

2

lgAk

k+2lgτ）

与幂律谱的f－S双对数曲线类似，也可近似将Allan标准差的τ～σA（τ）双对数曲线看作是由多段不同斜率线段首尾连接而成

［5］

。图2为曲线斜率与误差成分关系。

用最小二乘法对每一段数据进行拟合。设双对数曲线

分段拟合函数为y2=a2k

kx（k=－2，－1，

0，1，2），代入（τi，σA（τi））可得拟合误差平方和为

图2

曲线斜率与误差成分关系

E=

∑［σ2

（τ）

－a2k］

2

i

kτi（9）

i

选择合适的a2使得上式的误差最小，对a2

kk求导且令

导数为零，

解得a2k

2

2kk=

∑τi

σ（τi

）/∑τ

i（10）

i

i

利用此方法可得每一段函数的系数a［6］

k。随机误差

系数及其与ak转换关系如表1所示。

表1随机误差系数与ak对应关系［7］

随机误差系数与ak转换关系（当τ=1时）

量化噪声Q/s

a－2/槡3角度随机游走N/（（°）·h－1/2）a－1零偏不稳定性B/（（°）·h－1）3a0/2角速率随机游走K/（（°）·h－3/2）

槡3a1速率斜坡Ｒ/（（°）·h－2）

槡2a21．3数据采集与误差辨识实验

本文的实验对象是国产MEMS-IMU—LPMS-USBAL2，该

IMU包含3轴陀螺仪、3轴加速度计、3轴磁力计。将其固定在3轴捷联惯导测试转台上，在25°C恒温条件下，以100Hz采样频率静态采集2h以上。

应用Allan方差分析法对陀螺仪的随机误差成分进行辨识，

计算100种采样间隔的Allan方差，并绘制τi～σ

^A（τi）双对数曲线。可以大致判别：陀螺仪x，y，z轴的量化噪声均体现在0．2～200s时间段上，

角度随机游走体现在0．01～0．2s时间段上。特别地，

x轴的零偏不稳定性表现在1000s左右，

角速率随机游走表现在1000～2000s时间段上；而y，z轴的零偏不稳定性表现在600s左右，且均

未表现出角速率随机游走。同样，

3轴均没有表现出速率斜坡影响，

原因可能是其方差太小而被其他较大误差淹没了。综上分析，

可认为此陀螺仪的随机误差成分主要有量化噪声、

角度随机游走和零偏不稳定性。根据前述分段最小二乘法拟合Allan方差曲线，得出的误差项系数值如表2所示，

将表中参数与该型IMU用户手册上的参数对照，

两者差别不大，表明辨识结果准确。表2

误差成分系数拟合结果

噪声类别x轴y轴z轴量化噪声Q/s

0．002

0．002040．00250角度随机游走N/（（°）·h－1/2）24．22351519．193398

22．240073

零偏不稳定性B/（（°）·h－1）

0．070555

0．1598461330．1607531182

传感器与微系统第38卷

2

MEMS陀螺仪随机误差建模

经过异常值剔除，分离趋势项后，陀螺仪输出是一组零均值、平稳、正态的时间序列［8］

，可以通过建立AＲMA模型

来拟合陀螺仪数据的随机误差特性。陀螺仪输出的时域递

推形式为

p

q

x（n）=

∑ak

x（n－k）

+

k

－k）

（11）

k=1

∑bw（nk=0

式（11）为AＲMA（p，q）模型，其中，w（n）为时刻高斯白噪声，

x（n）为n时刻观测到的陀螺仪输出。当p=0时，有x（n）=w（n）+b1w（n－1）+b2w（n－2）+…+

bqw（n－q）

（12）

此为MA（q）模型，表示x（n）为由w（n）与其既往连续

q个时移序列加权平均而得。

而当q=0时，有

x（n）=a1x（n－1）+a2x（n－2）+…+apx（n－p）+

w（n）

（13）

此为AＲ（p）模型，表示x（n）是序列自身前p个观测值

的线性回归再加上时刻白噪声w（n）的结果［9］

。

2．1模型形式

平稳时间序列的自相关函数、偏自相关函数特性与

AＲMA模型形式、阶次（p，q）之间有着明确的关系［10，11］

，因

此，

可依据图3的流程来判断样本所适用的模型形式。图3AＲMA模型形式判断流程

q图3中k为时滞，ε（k）=

2

N

+2∑ρ

2

x

l=1

螺仪z轴输出为例，截取一段样本长度为槡1^（l）。以陀7000的平稳时间序列，

绘制其自相关函数和偏自相关函数图像成图4。图4z轴样本自相关和偏自相关函数

表示z轴样本数据的自相关、偏自相关函数图像在k

逐渐变大后均未快速衰减至零点，而是在边界±ε（k），±

2

范围内及附近振荡，表现为拖尾性，据此可判断z槡N轴输出适用AＲMA（p，

q）模型拟合。2．2阶次判定

当样本数量过多时，BIC的惩罚项比AIC的多，可有效

防止模型精度过高造成的模型复杂度过高

［12］

。因此本文

选用贝叶斯准则来判定模型阶次。BIC定义为

BIC=kln（n）－lnLθ^k（X）（14）

式中

k为模型参数个数，n为样本数量，kln（n）为对模型

复杂度的惩罚项，

lnLθ^k（X）为拟合模型在样本集上的极大后验似然度，当BIC取得最小值时的拟合模型即为最优模型

［13］

。实际应用中的阶次p，q不超过4阶，当p，

q分别取1～4时，从z轴样本的BIC值中数据可以看出：AＲMA（1，1）模型的BIC值最小（－52524），因此选取该模型拟合陀螺仪Z轴的随机误差特性最优。

2．3参数估计

由于AＲMA（1，1）模型的阶次较小，所以，采用计算量

较小的矩估计方法估计模型参数比较方便［14］

。经计算得

出陀螺仪z轴输出模型参数为

a=0．28，b－0．1869，σ2－5

11=w=3．9573×10

代入式（11）得z轴输出模型为

X（n）=0．28X（n－1）+w（n）－0．1869w（n－1）（15）3

卡尔曼滤波

卡尔曼滤波器是一种基于信号和噪声的时域统计特性进行最优估计的方法，

可以实现最小均方估计误差意义下随机信号的最优线性滤波，

结合建立的陀螺仪数据随机误差模型，

将陀螺仪随机误差作为系统输入，建立离散随机信号的状态空间模型

Xk=ΦXk－1+BWk，Zk=HXk+Vk

（16）

式中

Xk为k时刻系统状态向量，Z为量测向量，Φ为状

态一步转移矩阵，

B为噪声分配矩阵，H为量测矩阵，Vk为量测噪声向量，

Wk为系统噪声向量，Vk，Wk均为零均值的高斯白噪声向量。卡尔曼滤波器递推方程为

X^k，k－1

=ΦX^k－1

，X

^k

=X^k，k－1

+Kk

（Zk

－HX^k，k－1

），Kk=PTT

k，k－1H（HPk，k－1H+Ｒ）

－1

，P=ΦPTT

k，k－1k－1Φ+BQB，

Pk=（I－KkH）Pk，k－1（17）

式中

Kk为滤波增益矩阵，Pk，k－1为一步预测误差方差阵，Pk为估计误差方差阵，Ｒ，Q分别为过程噪声和测量噪声协方差

［15］

。

代入得到的陀螺仪z轴AＲMA模型及其参数，可得滤

波器输入参数：XTk=［xkxk－1］，

W=［wwT

kkk－1］，Φ=［0．280；10］，B=［1－0．1869；0

0］，Ｒ=0．0063。

令初值X=［00］T

，H［1

0］。图5为滤波前后z轴静态

第6期输出对比。

马群，等：基于Allan方差的MEMS陀螺仪随机误差辨识与抑制

65

［6］徐怀明，王建，帅必晖，等．利用分段回归拟合激光陀螺仪零

2007，33（6）：867－869．偏测试的Allan方差［J］．光学技术，

［7］蒋孝勇，张晓峰，李孟委．基于Allan方差的MEMS陀螺仪随

2017，31（3）：190－195．机误差分析方法［J］．测试技术学报，

［8］吴纾婕．MIMU器件参数辨识及误差补偿技术研究［D］．北

2015．京：北京理工大学，

［9］赵伟臣，付梦印，张启鸿，等．微机械IMU数据建模与滤波方

图5

卡尔曼滤波前后对比

2005，13（6）：13－17．法研究［J］．中国惯性技术学报，

［10］夏明波．捷联惯性导航系统误差标定方法研究［D］．哈尔滨：

2015．哈尔滨工业大学，

［11］李雪莲，孙尧，莫宏伟．微惯性传感器零点漂移融合滤波算法

2009，28（6）：50－52．研究［J］．传感器与微系统，

［12］AHOK，DEＲＲYBEＲＲYDW，PETEＲSONT．Modelselection

forecologists：TheworldviewsofAICandBIC［J］．Ecology，2014，95（3）：631－636．

［13］CLEMENTEP．UsingnormalizedBayesianinformationcriterion

（BIC）toimprovebox-Jenkinsmodelbuilding［J］．AmericanJournalofMathematics＆Statistics，2014，4（5）：214－221．［14］安潇潇．AＲMA相关模型及其应用［D］．秦皇岛：燕山大学，

2008．

［15］王辛望，沈小林，刘新生，等．基于自适应Kalman滤波的

MEMS陀螺随机误差分析［J］．传感技术学报，2017（11）：1666－1670．

4结论

经对滤波后的z轴数据进行Allan方差分析，对比了滤结果表明：滤波后的波前后z轴数据的随机误差项系数值，

其中量化噪声系数减小了2．8%，角噪声系数均有所减小，

零偏不稳定性系数减小了度随机游走系数减小了19．8%，

8．1%。验证了使用卡尔曼滤波器能够有效抑制陀螺仪z轴原始输出的随机误差，尤其是能够减小角度随机游走的影响。参考文献：

［1］贾瑞才．低成本IMU误差辨识与补偿算法［J］．兵器装备工

2014，35（5）：97－101．程学报，

［2］严恭敏，李四海，秦永元．惯性仪器测试与数据分析［M］．北

2015：142－143．京：国防工业出版社，

［3］于丽杰，高宗余．MEMS传感器随机误差分析［J］．传感器与

2012，31（3）：63－65．微系统，

［4］厉宽宽，IMU随机误差的Allan方差陈允芳，程敏，等．MEMS-2016，41（6）：102－106．分析［J］．全球定位系统，［5］

ˇMATEJcEKM，OSTＲONEKM．ComputationandevaluationAllanvarianceresults［C］∥NewTrendsinSignalProcessing，DemanovskaDolina，Slovakia：IEEE，2016：1－9．

作者简介：

马与控制。

王

庆（1962－），男，通讯作者，教授，博士生导师，主要研究群（1993－），男，硕士，研究方向为旋翼无人机自主导航

GNSS/INS组合定位技术，E—mail：wq_领域为GNSS理论与算法、seu@seu．edu．cn。

檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸（上接第61页）

改变悬臂梁截面厚度，设计与环境中低频振动相适应的压可以提高能量收集效率，输出最大电压。本电悬臂梁结构，

文为无线传感节点供电装置提供了设计理论依据。参考文献：

［1］KANJW，WANGSY，WENJM，etal．Performanceofacon-stant-stresspiezoelectricgeneratorforbattery-lessremotecontrol/switch［J］．Int’lJApplElectromagnMech，2011，35（1）：1－13．［2］陈文艺，孟爱华，刘成龙，等．微型振动能量收集器的研究现

2013，50（11）：715－720．状及发展趋势［J］．微纳电子技术，

［3］范兆凯，刘军考，陈维山．宽频压电俘能技术的研究综述［J］．

2014（1）：261－2．机械设计与制造，

［4］ANTOSＲ，SODANOHA．Areviewofpowerharvestingusing

2007，piezoelectricmaterials［J］．SmartmaterialandStructures，16（3）：1－21．

［5］ELINNG，ELINAA．Anexperimentallyvalidatedelectromag-2011，neticenergyharvester［J］．JournalofSoundandVibration，330（10）：2314－2324．

［6］SHEUGJ，YANGSM，LEET．Developmentofalowfrequency

electrostaticcomb-driveenergyharvestercompatibletosocdesignbyCOMSprocess［J］．SensorsandActuatorsA：Physical，2011，167（1）：70－76．

［7］管青春．悬臂梁式压电能量回收装置结构优化［D］．合肥：中

2011．国科学技术大学，

［8］张广明，徐飞，董智利．基于无线传感器网络的压电能量收集

2014，33（4）：44－47．技术［J］．传感器与微系统，

［9］LELANDES，WＲIGHTPK．Ｒesonancetuningofpiezoelectric

vibrationenergyscavenginggeneratorsusingcompressiveaxialpreload［J］．SmartMaterialsandStructures，2006，15（5）：1413－1420．

［10］HAJHOSSEINIM，ＲAFEEYANM．Modelingandanalysisof

piezo-electricbeamwithperiodicallyvariablecross-sectionsforvibrationenergyharvesting［J］．AppliedMathematicsandMechanics，2016，37（8）：1053－1066．

作者简介：

马天兵（1981－），男，博士，教授，主要从事压电材料应用研究工作。