李雅普诺夫稳定性分析

内容提要

稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。

随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。

习题与解答

5.1 判断下列函数的正定性

1)

V(x)2x123x22x322x1x22x1x3

2)

V(x)8x122x22x328x1x22x1x32x2x3

3)

V(x)x12x322x1x2x2x3

4)

5)

解

1)

, 因为顺序主子式 20,211350,

V(x)10x214x22x232x1x22x2x34x1x3

V(x)x213x22211x32x1x24x2x32x1x3

210V(x)xTAxxT131x011

21011130011

所以A0，V(x)为正定函数。

2)

841xV(x)xTAxxT421111

, 因为主子式

8,2,10,84420,811170,211110,

841421111644216801

所以A不定，V(x)为不定函数。

3)

1101xV(x)xTAxxT1021120

, 因为顺序主子式

20,111010,

1101001212011104

所以A为不定矩阵，V(x)为不定函数。

4)

1012xV(x)xTAxxT141211

, 因为顺序主子式

100,10114390,

101014101401102901

所以A0，V(x)为正定函数。

5)

111xV(x)xTAxxT1321211

, 因为顺序主子式

10,111320,

111132332231141101211

所以

A0，V(x)为正定□

5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。x21x1x2x1(x21x2)x2x1x2x22(x1x22)

解

解方程组

x21x2x1(x21x2)0x221x2x2(x1x2)0

得三个孤立平衡点（0，0），（1，－1）和（－1，1）。

数。函

12xx11，由于原系统为定常系统，且矩阵在（0，0）处将系统近似线性化，得

1211的特征根12i均具有负实部，于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点（0，

0）附近一致渐近稳定。

3131xx3333在（1，－1）和（－1，1）处将系统近似线性化，得，由于矩阵的特征根330，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）附近不稳定。

31xx33，由于原系统为定常系统，且矩在（－1，1）处将系统近似线性化，得

3133的特征根330，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）和点（－阵1，1）附近不稳定。

该题求解时往往容易忽略平衡点（1，－1）和（－1，1）。 □

5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。

11xx23

解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用第一方法比

1123的特征根为230，所以系统在原点是大范围渐近稳定较合适。经计算知矩阵的。

对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。

5.4 设线性离散时间系统为

001x(k) m>0x(k1)0010m20试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。

解 令QI,由方程GTPGPQ得

000P11P12P13P1210mPP010PP2P12220011123P22010P13P23P12330m20P13P23解此方程得

010P8m204m2012004m2

若要P0应有0m2。

P13P123P0330 001001 □

5.5 试用李雅普诺夫方法求系统

a11a12xxaa2122

在平衡状态x0为大范围渐近稳定的条件。

解 用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程

IAa11a21a122(a11a22)a11a22a12a210a22

由韦达定理，两个特征值同时具有负实部的充要条件为a11a220，a11a22a12a21。□

5.6 系统的状态方程为

10xx11

1x(0)222xx(0.1)02点出发，到达1试计算相轨迹从区域内所需要的时间。

22xxx(A)1,(A)1122解 由于1，该系统发散，单调增加。注意到2x12(0)x2(0)10.1，所以此题无解。 □

5.7 给定线性时变系统

01x

x1t110， t0 判定其原点xe0是否是大范围渐近稳定。

解 取V(x,t)1(x21(t1)222)，则

V(x,t)x11x12x22(t1)x2x2

x11x22x2(t1)x12(t1x110x2)

(10t192)x220

因为

limxV(x)，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 5.8 考虑四阶线性自治系统

0100xAxb4010x1x20b301x300b2b1x4

□

，bi0，i1,2,3,4

应用李雅普诺夫的稳定判据，试以bi，i1,2,3,4表示这个系统的平衡点x0渐近稳定的充要条件。

解 在李雅普诺夫矩阵方程式

AVVAW

中，令W为

00W00000000000002b12

显然，W是半正定矩阵。求矩阵方程式的解V，V是对称矩阵。

v11vV21v31v41v12v22v32v42v13v23v33v43v14v24v34v44

将方程左边的i行j列元素记成(i,j)元素，可求得下面的一系列等式：

(1,1)元素2b4v120

(1,2)元素v11b3v13b4v220

(1,3)元素v12b2v14b4v230

(1,4)元素v13b1v14b4v240

(2,2)元素2v122b2v230

(2,3)元素

v13v22b2v24b3v330

(2,4)元素

v14v23b1v24b3v340

(3,3)元素2v232b2v340

(3,4)元素

v24v33b1v34b2v440

(4,4)元素

2v342b1v442b12

由对于(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和bi0，i1,2,3,4有

v120，v230，v340，v44b1

由对于(1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式，有

v140，v240，v130

由(1,2)、(2,3)、(3,4)元素，有

v11b4v22，v22b3v33，v33b2v44

因此

v11b4b3b2b1，v22b3b2b1

v33b2b1，v44b1

即，

000b4b3b2b10bbb00321V00b2b10000b1

为对角线矩阵。

T因为W为半正定阵，所以要检查xWx0在原点x0以外的x是否满足系统状态方程。

T由于满足xWx0的x同时满足x40，而x40时，状态方程的解为x3x2x1x40，所以

T满足xWx0的状态方程的解只有x0。

由李雅普诺夫的稳定判据， x0是渐近稳定的充要条件是对角矩阵V为正定阵。因此

b10，b20，b30，b40是求的充要条件。 □

5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式

dx1ax1x1x2dtdx2x2x1x2dt

式中，x1、x2分别是生物个体数，、、、是不为零的实数。关于这个系统，1) 试求平衡点；2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。

解

dx2dx1001) 由dt，dt，得

x1x1x2x1(x2)0x2x1x2x2(x1)0

同时满足这二式的x1、x2有两组：x10、x20和x1/、x2/。即，系统的平衡点为：

平衡点(a) x10、x20

平衡点(b) x1/、x2/

2) 分两种情况讨论。

① 平衡点(a)

线性化的微分方程为

0x1dx10dtx2x2 其特征方程式是

(s)(s)0

0、0时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。

② 平衡点(b)

x/xx/x1122令，，得

dx1(x2dtx2)x(x11/)x2x/1x2

dx2(x1dt)x2(x2x/1x2)x1/x1

因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是

0dx1dtx2//x10x2

其特征方程式为

s20

0时，0时，特征根是，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。特征根是j，

为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。 □

5.10 对于下面的非线性微分方程式试求平衡点；在各平衡点进行线性化，试判别平衡点是否稳定。

x1x2x2sinx1x2

解 由x20，sinx1x20，知系统的平衡点是x10,,2,，x20。 1) 在x10,2,4,，x20处，将系统近似线性化得

01x1dx111dtx2x2 2其特征多项式是ss1。这是胡尔维茨多项式，因此这些平衡点渐近稳定。

2）在x1,3,，x20

dx101x111dtx2x2 2特征多项式是ss1，这不是胡尔维茨多项式。因此这些平衡点不稳定。 □

5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：

11x23

解 令矩阵

pP11p12p12p22

T则由APPAI

得

12p1113p12p12p11p22p12p121110p222301

解上述矩阵方程，有

p11742p114p121p114p122p220 p22382p6p12212p1258

即得

p11Pp127p124p22585838

因为

p117P0 det11p4127p124det5p22858170388

可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为

1V(x)xTPx(14x1210x1x26x22)08V(x)xTQxxTx(x12x22)0

又因为

limV(x)x，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 □

5.12 给定连续时间的定常系统

x1x2x2x1(1x2)2x2

试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。

解 易知（

x10, x20）为其唯一的平衡状态。现取

2V(x)x12x2，且有：

2(i) V(x)x12x2为正定

V(x)(ii) V(x)x1V(x)x1xx22x22x12x22x1(1x2)x222x2(1x2)2

容易看出，除了两种情况

（a）x1任意，x20

（b）x1任意，x21

时V(x)0以外，均有V(x)0。所以，V(x)为负半定。

（iii）检查V((t;x0,0))是否恒等于零。考虑到使得V(x)0的可能性只有上述两种情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。先考察情况（a）：

(t;x0,0)x1(t),0T，则由于x2(t)0可导出x2(t)0，将此代入系统的方程可得：

x1(t)x2(t)00x2(t)(1x2(t))2x2(t)x1(t)x1(t)

这表明，除了点（察情况（b）： 得：

x10, x20T）外，

(t;x0,0)x1(t),0T不是系统的受扰运动解。再考

(t;x0,0)x1(t),1，则由x2(t)1可导出x2(t)0，将此代入系统的方程可

x1(t)x2(t)10x2(t)(1x2(t))2x2(t)x1(t)x1(t)

显然这是一个矛盾的结果，表明(t;x0,0)x1(t),1T也不是系统的受扰运动解。综上分

析可知， V((t;x0,0))0。

（iv）当

xx21x22时，显然有

V(x)x2。

于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 5.13 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。x13x1x2 x32x1x2x2

解 显然x0是系统的一个平衡点。

F(x)31113x2

F(x)FT(x)F(x)62226x2

由60和

62226x21236x22402

□

知F(x)0。由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为

32limfT(x)f(x)lim[(3x12x2)2(x1x2x2)]xx

近稳定的

所以□

原系统在原点处是大范围渐。

5.14 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。

2x12x1x1x223x3x2x12x23x33x33x23x3

解 显然x0是系统的一个平衡点。

2F(x)2x1x202x1x22x236x3329x3

4F(x)FT(x)F(x)06x3022x206x30218x3

由60,

4028x20202x2，

4026x3022x2026x30218x32272x2x30

，知F(x)0。由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为

2232limfT(x)f(x)lim[(3x12x1x23x3)(x12x23x3)2(3x23x3)]xx 定

的

所以□

原系统在原点处是大范围渐近稳。

5.15 试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统

x1ax1x2x2x1x2bx25

的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。

解

F(x)a1115bx4

F(x)FT(x)F(x)2a1115bx4

因为系统在原点渐近稳定，所以当x0，应有F(x)0， 又x0时， F(x)0的充要

4条件为2a0, a5abx40。于是a应满足a1。又因为系统大范围渐近稳定，所以当

x时，应有F(x)0。注意 x， a1时， F(x)0的充要条件为b0；xa1时，F(x)0的充要条件为b0。综上，a,b的取值范围为：a1,b0，或a1,b0。 □

5.16 试用变量—梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

x31x12x1x2x2x2

解 设V的梯度为

Va11x1a12x2a21x12 于是V的导数为

V(V)Tx(a11x1a12x2)x1(a21x12x2)x2

试取a111,a12a210,则

Vx22x221(11x2)2x2

x1当12x2时，VV0。注意到

V1V21x202x满足旋度方程 2x2x1，所以可知x1x2Vx1dx12x2dx21002x2x212

由这个李亚普诺夫函数可看出，在

12x21x20范围内，系统是渐近稳定的。 5.17 用变量—梯度法求解下列系统的稳定性条件。

□

x1x2x2a1(t)x1a2(t)x2

解 设V的梯度为

axV111a21x1

于是V的导数为

V(V)Txa11x1x12x2x2

2(c11c22a1(t))x1x2c22x2

x10x21(cca(t))1122121(c11c22a1(t))x12x2c22a2(t)

c11x1Vc22x2c22a2(t)0c11c22a1(t)0满足旋度方程 V0显然，当，时，。注意到

V1V20x2x1，于是可知

12Vc11x1dx1c22x2dx2(c11x12c22x2)0200x1x2

，c110,c220

由上式可看出，对于给定的c11，当a1(t)0时，不难确定c22使得c11c22a1(t)0。从而可得系统是渐近稳定的充分条件是a1(t)0，a2(t)0。 □