2021年全国统一高考数学试卷(含答案)(理科)(甲卷)

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1（．5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝（ ） A．{x|0＜x≤}

D．{x|0＜x≤5}

B．{x|≤x＜4} C．{x|4≤x＜5}

2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（ ）

第1页（共23页）

A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i

4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（A．1.5

≈1.259） B．1.2

C．0.8

D．0.6

5．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

6．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件

第2页（共23页）

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（ ）（

≈1.732）

A．346

B．373

C．446 D．473

9．（5分）若α∈（0，A．

B．

），tan2α＝

C．

，则tanα＝（ ）

D．

10．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

11．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ） A．

B．

C．

D．

12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）

第3页（共23页）

为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y＝为 ．

14．（5分）已知向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k．若⊥，则k＝ ． 15．（5分）已知F1，F2为椭圆C：

+

＝1的两个焦点，P，Q为

在点（﹣1，﹣3）处的切线方程

C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ．

16．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣正整数x为 ．

））（f（x）﹣f（

））＞0的最小

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生

第4页（共23页）

产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

甲机床 乙机床 合计

一级品 150 120 270

二级品 50 80 130

合计 200 200 400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：K2＝P（K2≥k）

k

0.050 3.841

．

0.010 6.635

0.001 10.828

18．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{

}是等差数列；③a2＝3a1．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1． （1）证明：BF⊥DE；

（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

第5页（共23页）

20．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．

（1）求C，⊙M的方程；

（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；

（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足＝

（x＞0）．

cosθ．

，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有

第6页（共23页）

公共点．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|． （1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像； （2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．

第7页（共23页）

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 参：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝{x|≤x＜4}， 故选：B．

点拨：本题考查了交集及其运算，是基础题．

2． 参：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；

对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；

对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.＞0.5，

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确． 故选：C．

点拨：本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础

第8页（共23页）

题．

3． 参：因为（1﹣i）2z＝3+2i， 所以故选：B．

点拨：本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题． 4． 参：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1， 解得V＝10﹣0.1＝

＝

＝

≈0.8，

．

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8． 故选：C．

点拨：本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

5． 参：F1，F2为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，|PF1|＝3|PF2|，

设|PF1|＝3m，|PF2|＝m，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，

所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因为∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c， 所以4c2＝9a2+a2﹣2×3a×a×cos60°，整理得4c2＝7a2， 所以e＝＝故选：A．

点拨：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思

第9页（共23页）

．

想与运算求解能力，属于中档题．

6． 参：由题意，作出正方体，截去三棱锥A﹣EFG，根据正视图，

可得A﹣EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是D图形， 故选：D．

点拨：本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．

7． 参：若a1＝﹣1，q＝1，则Sn＝na1＝﹣n，则{Sn}是递减数列，不满足充分性； ∵Sn＝则Sn+1＝

（1﹣qn）， （1﹣qn+1），

（qn﹣qn+1）＝a1qn，

∴Sn+1﹣Sn＝

若{Sn}是递增数列， ∴Sn+1﹣Sn＝a1qn＞0， 则a1＞0，q＞0， ∴满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

第10页（共23页）

故选：B．

点拨：本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题．

8． 参：过C作CH⊥BB′于H，过B作BM⊥AA′于M， 则∠BCH＝15°，BH＝100，∠ABM＝45°，CH＝C′B′，A′B′＝BM＝AM，BB′＝MA′，∠C′A′B′＝75°

∴tan∠BCH＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝

，sin75°＝sin（45°+30°）＝

则在Rt△BCH中，CH＝（2+

）

＝100（2+

），∴C′B′＝100

在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′＝

＝100（

∴AA′﹣CC′＝AM+BH＝100（故选：B．

+1），∴AM＝100（+1）+100≈373，

+1），

点拨：理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．

9． 参：由tan2α＝即

，

第11页（共23页）

，得，

∵α∈（0，），∴cosα≠0，

则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝， 则cosα＝∴tanα＝故选：A．

点拨：本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．

10． 参：4个1和2个0随机排成一行，共有

种，

＝

， ．

2个0不相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有

种，

故2个0不相邻的概率为故选：C．

点拨：本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题． 11． 参：因为AC⊥BC，AC＝BC＝1， 所以底面ABC为等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点， 所以OO1⊥平面ABC， 在Rt△ABC中，AB＝在Rt△AOO1中，

，则，

，

．

第12页（共23页）

故三棱锥O﹣ABC的体积为故选：A．

．

点拨：本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定△ABC所在圆的圆心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．

12． 参：∵f（x+1）为奇函数，∴f（1）＝0，且f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），

∵f（x+2）偶函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），

∴f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），

∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x）． 令t＝﹣x，则f（t+2）＝﹣f（t），

∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）． 当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．

f（0）＝f（﹣1+1）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b， f（3）＝f（1+2）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b， 又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，解得a＝﹣2，

第13页（共23页）

∵f（1）＝a+b＝0，∴b＝﹣a＝2， ∴当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣2x2+2，

∴f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣（﹣2×+2）＝． 故选：D．

点拨：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． 参：因为y＝所以y′＝所以y′|x＝﹣1＝5， 则曲线y＝

在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为：

＝

，（﹣1，﹣3）在曲线上，

，

y﹣（﹣3）＝5[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+2＝0． 故答案为：5x﹣y+2＝0．

点拨：本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．

14． 参：因为向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k， 由⊥，则＝0， 解得k＝故答案为：

． ．

＝32+12+k（•3×1+1×0）＝10+3k

点拨：本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础

第14页（共23页）

题．

15． 参：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，

所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||＝m+n＝2a＝8， 所以m2+2mn+n2＝，

因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48， 即m2+n2＝48， 所以mn＝8，

所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8． 故答案为：8．

点拨：本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题． 16． 参：由图像可得∵∴

观察图像可知当

，

∵2∈（

），且

，

，

， ，

，即周期为π， ，T＝π，

∴x＝2时最小，且满足题意， 故答案为：2．

第15页（共23页）

点拨：该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17． 参：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件， 因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为（2）根据2×2列联表，可得K2＝＝

≈10.256＞6.635．

； ；

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．

点拨：本题考查了统计与概率中的性检验，属于基础题． 18． 参：选择①③为条件，②结论． 证明过程如下：

由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1， 数列的前n项和：故

据此可得数列

（n≥2），

是等差数列．

，

选择①②为条件，③结论： 设数列{an}的公差为d，则：

第16页（共23页）

， 数列即：＝3a1．

选择③②为条件，①结论： 由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴则数列

的公差为

，

，

，

，

为等差数列，则：

，

，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d

通项公式为：

据此可得，当n≥2时，

当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：an＝（2n−1）a1， 由an+1−an＝[2（n+1）−1]a1−（2n−1）a1＝2a1，可知数列{an}是等差数列．

点拨：本题主要考查等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式等知识，属于中等题． 19．【解答】（1）证明：连接AF，

∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2， ∴CF＝1，BF＝

，

∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1， ∴BF⊥AB ∴AF＝

＝

＝3，AC＝

＝

＝

，

∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，

第17页（共23页）

故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），

设B1D＝m，则D（m，0，2），

∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2）， ∴•＝0，即BF⊥DE．

（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），

由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1）， 设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则

，即

，

令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m）， ∴cos＜，＞＝

，

∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，

故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．

＝

＝

＝

第18页（共23页）

点拨：本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题． 20． 参：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0）， 令x＝1，则

，

根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故

，

因为OP⊥OQ，故

抛物线C的方程为：y2＝x，

因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1． （2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．

当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时）， 设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得

＝1，解得k＝

，

，

联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3， 此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，

第19页（共23页）

当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x−（y1+y2）y+y1y2＝0， 此时有，

同理，由对称性可得，所以y2，y3是方程

，即

， 的两根，

，

依题意有，直线A2A3的方程为x−（y2+y3）y+y2y3＝0，

令M到直线A2A3的距离为d，则有，

此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切， 综上，直线A2A3与⊙M相切．

点拨：本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．

21． 参：（1）a＝2时，f（x）＝

，

f′（x）＝当x∈（0，＜0，

故f（x）在（0，

＝＝，

，+∞）时，f′（x）

）时，f′（x）＞0，当x∈（

）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．

（2）由题知f（x）＝1在（0，+∞）有两个不等实根，

第20页（共23页）

f（x）＝1⇔xa＝ax⇔alnx＝xlna⇔令g（x）＝

，g′（x）＝

＝，

，g（x）在（0，e）上单调递

增，在（e，+∞）上单调递减， 又

g（x）＝﹣∞，g（e）＝，g（1）＝0，

g（x）＝0，

作出g（x）的图象，如图所示： 由图象可得0＜

＜，解得a＞1且a≠e，

即a的取值范围是（1，e）∪（e，+∞）．

点拨：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22． 参：（1）由极坐标方程为ρ＝2化为直角坐标方程是x2+y2＝2即

x，

，0），半径为

的圆．

cosθ，得ρ2＝2

ρcosθ，

+y2＝2，表示圆心为C（

（2）设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0）， 所以＝（x﹣1，y），＝（x1﹣1，y1）， 由＝

，

第21页（共23页）

即，

解得所以M（

，

（x﹣1）+1，+

＝2，

+y2＝4，表示圆心为C（13﹣

，

y），代入C的方程得

化简得点P的轨迹方程是0），半径为2 的圆； 化为参数方程是计算|CC1|＝|（3﹣

）﹣

，θ为参数； |＝3﹣2

＜2﹣

，

所以圆C与圆C1内含，没有公共点．

点拨：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算求解能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]（10分）

23． 参：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝

，

g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|＝．

画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像； （2）由图像可得：f（6）＝4，g（）＝4，

若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，f（x）的图像不在g（x）的下方，

第22页（共23页）

由图像观察可得：a≥2﹣+4＝∴a的取值范围为[

，+∞）．

点拨：本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

第23页（共23页）