《数值计算方法》试题集及答案

一、填空题：

1、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得

13f(x)dx_________,用三点式求得f(1) 。

答案：2.367，0.25

22、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，

拉格朗日插值多项式为 。

L2(x)11(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)22

答案：-1，

3、近似值x*0.231关于真值x0.229有( 2 )位有效数字； 4、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn1xnxnf(xn)1f(xn)

答案

35、对f(x)xx1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )；

6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

7、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

ban1( 2 )；

8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为

( 0.15 )；

f(x)dx011、 两点式高斯型求积公式≈(0度为( 5 )；

y101113131f(x)dx[f()f()]22323 )，代数精

12、 为了使计算

346x1(x1)2(x1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表

1x1 ，为了减少舍入误差，应将表达式

达式改写为

y10(3(46t)t)t,t220011999改写为 20011999 。

313、 用二分法求方程f(x)xx10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区

间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、 计算积分0.51xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，

用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。

15、 设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x) l1(x)x(x2) ，f(x)的二次牛顿

插值多项式为 N2(x)16x7x(x1) 。

16、 求积公式

Akf(xk)af(x)dxk0bn的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具

有( 2n1 )次代数精度。

17、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求15f(x)dx≈( 12 )。

18、 设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f(1)( 2.5 )。

319、如果用二分法求方程xx40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x3220、已知是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

21、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

lk0nk0nk(x)(

4k1 )，

xlk0nkj(xk)(

xj )，当

n2时

42( xx3 )。

22、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到_____2_____阶的连续导

(x2xk3)lk(x)数。

1)的形式，使计算结果较精确 23、改变函数f(x)x1x (x1fxx1x 。

24、若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对

分 10 次。

2x3,0x1Sx32xaxbxc,1x2是3次样条函数，则 25、设

a= 3 , b= -3 , c= 1 。

626、若用复化梯形公式计算0，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。

4f(x)3x2x1，则差商f[2,4,8,16,32] 3 。 27、若

1exdx2f(x)dx[f(1)8f(0)f(1)]1928、数值积分公式的代数精度为

2 。 选择题

11、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A． 2 B．5 C． 3 D． 4 2、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 4、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。 A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入

x3 5、用1+3近似表示1x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

7、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 8、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 9、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.00239×103 (B) 23.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.×10－1 10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的

根是( B )。

(A) y=(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=(x)的交点

11、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)n1(x)(n1)!(D)

12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列

{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

(A)f(x0)f(x)0(B)f(x0)f(x)0(C)f(x0)f(x)0(D)f(x0)f(x)0

13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并

建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x2(A)

1,迭代公式:xk1x11xk1

x1(B)(C)

11,迭代公式:x1k12x2xk

21/3x31x2,迭代公式:xk1(1xk)

(D)

x1x,迭代公式:xk1322xk12xkxk1

14、在牛顿-柯特斯求积公式：

公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1）n8， （2）n7， （3）n10， （4）n6， 23、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

i0baf(x)dx(ba)Ci(n)f(xi)n(n)Ci中，当系数是负值时，

4x(31)31.73215、取计算，下列方法中哪种最好？（ ）

1616224(A)28163； (B)(423)； (C) (423)； (D) (31)。

x30x2S(x)32(x1)a(x2)b2x4是三次样条函数，则a,b的值为26、已知

( )

(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ） xi １ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5 f(xi) -1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。

17、形如baf(x)dxA1f(x1)A2f(x2)A3f(x3)的高斯（Gauss）型求积公式的代数精

度为（ ）

(A)9； (B)7； (C) 5； (D) 3。

18、计算3的Newton迭代格式为( )

xxxx3323xk1kxk1kxk1kxk1k2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。 (A)

131032219、用二分法求方程x4x100在区间[1,2]内的实根，要求误差限为，

则对分次数至少为( )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

il(x)xk(k0,1,L,9)k0ik20、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( ) (A)x； （B）k； （C）i； （D）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A)5； (B)4； (C)6； (D)3。

x30x2S(x)32(x1)a(x2)b2x4是三次样条函数，则a,b的值为( ) 21、已知

(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。

335、已知方程x2x50在x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是

kl(k)9( )

352xk5xk12xk13232x5xxxxx53xk2。 kk1kkk(A)； (B)； (C)k1； (D)

22、由下列数据 0 1 2 3 4 x 1 2 4 3 -5 f(x) 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8； (B)9； (C)10； (D)11。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

1，2，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，1、已知观察值(xi，yi)(i0，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

x22、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

(xx0)(xx2)3、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 (  )

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

(  )

311253125具有严格对角占优。 ( ) 5、矩阵A=

四、计算题：

11f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f()f()]1221、求A、B使求积公式的代数精度尽量

1高,并求其代数精度；利用此公式求

2f(x)1,x,x答案：是精确成立，即

I211dxx(保留四位小数)。

2A2B212182ABA,B23 得99

1811f(x)dx[f(1)f(1)][f()f()]19922求积公式为

112当f(x)x时，公式显然精确成立；当f(x)x时，左=5，右=3。所以代

34数精度为3。

1

2、已知

21t2x311111811dxdt[][]1xt39131391/23123970.69286140

xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

答案：

L3(x)2(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)

5

(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)

差商表为

xi yi 一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 1 3 4 5 2 6 5 4 14 1P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4

f(2)P3(2)5.5 5、已知

xi -2 4 -1 2 0 1 1 3 2 5 f(xi) 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f(0)的近似值。 答案：解：

i xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi 0 -2 4 4 -8 16 -8 16 1 2 3 4 -1 0 1 2 0 2 1 3 5 15 1 0 1 4 10 -1 0 1 8 0 1 0 1 16 34 -2 0 3 10 3 2 0 3 20 41 

10311a0,a1,a271014

10311311(x)p2(x)xx2p2x71014107

3(0)f(0)p210 6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 正规方程组为

5a010a21510a1310a34a4120xi 0.8 0.342 0.47943 0.5 0.422 yi 0.71736 如用二次插值求sin0.631的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|M3|3(x)|3!

尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.6310.596274，

且

sin0.6310.5962741(0.6310.5)(0.63190.6)(0.6310.7)3!0.55032104

x7、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，讨论其收敛

4|xx|10n1n性，并将根求出来，。

x答案：解：令 f(x)e10x2,f(0)20,f(1)10e0.

xf(x)e100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程且

f(x)0变形为

x1(2ex)10

则当x(0,1)时

(x)故迭代格式

1(2ex)10，

xn1exe|(x)|11010

1(2exn)10

收敛。取x00.5，计算结果列表如下：

n xn 0 0.5 4 1 2 3 0.035 127 872 0.096 424 785 0.0 877 325 5 6 7 n xn 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 6*|xx|0.000000951076且满足 .所以x0.090525008.

10、已知下列实验数据

xi f(xi) 1.36 16.844 1.95 17.378 2.16 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

xedxxf(x)e解：当01 要求近似值有5位有效数字，只须误差

(n)R1(f)11042.

由

(n)R1((ba)3f)f()212n，只要

(n)R1(ex)ee110422212n12n

即可，解得

ne10267.308776

所以 n68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

xx0,x0.5,x1f(x)e01212、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式

P2(x),并估计误差。

P2(x)e0(x0.5)(x1)0.5(x0)(x1)e(00.5)(01)(0.50)(0.51)

e1(x0)(x0.5)(10)(10.5)解：

2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)

又

f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1x[0,1]

故截断误差

|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|3!。

xf(x)(x1)e10 14、给定方程

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

x(x1)e10 （1） 解：1）将方程

改写为

x1e （2）

*xxf(x)ef(x)x121 作函数，的图形（略）知（2）有唯一根(1,2)。

x2) 将方程（2）改写为 x1e

xxk11exk构造迭代格式 x01.5 (k0,1,2,)

计算结果列表如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784xk 3 x1 9 x9

2 6 4 7 6 3) (x)1e，(x)e当x[1,2]时，(x)[(2),(1)][1,2]，且

|(x)|e11

所以迭代格式 xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x0[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

2f(x)x30的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为 3解：是

xn12x3xn3xn1nxn22xn2xn， 即

(n0,1,2,)

取x0=1.7, 列表如下：

n xn 1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：

L2(x)2(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(11)(12)(21)(21)

234(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)323 1f(1.5)L2(1.5)0.0416724

1xe017、n=3,用复合梯形公式求

dx的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

解：

01xedxT3100[e2(e13e23)e1]1.734223

f(x)ex,f(x)ex，0x1时，|f(x)|e

|R||exT3|至少有两位有效数字。

ee0.0250.052108123

2yabx20、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据： xi yi 19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 2解：span{1,x}

1111TA2222T19253138 y19.032.349.073.3

TTAACAy 解方程组

33914173.6TATAAy179980.733913529603 其中 0.9255577C0.0501025 所以 a0.9255577， b0.0501025 解得：

21、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算0时，试用余

项估计其误差。用n8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

ba2111RT[f]hf()2e00.00130212128768解：

7hT(8)[f(a)2f(xk)f(b)]2k1 1[12(0.88249690.77880080.60653066160.53526140.472366550.41686207)0.36787947]

0.6329434

322、（15分）方程xx10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

1exdx11x1n1x1xn；x3x1对应迭代格式xn13xn1；(2)x对应迭代格式（3）

3xx31对应迭代格式xn1xn1。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

1(x)(x1）3（1.5）0.181，故收敛； 3解：（1），

211.5）0.171，故收敛； x，（（2）

22（1.5）31.51，故发散。 (x)3x（3），

选择（1）：x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249， x51.32476，x61.32472

2x21

25、数值积分公式形如 01(x)1xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)4试确定参数A,B,C,D使公式代数精

10度尽量高；（2）设f(x)C[0,1]，推导余项公式

解：将f(x)1,x,x,x分布代入公式得：

23R(x)xf(x)dxS(x)，并估计误差。

A3711,B,B,D20203020

H3(xi)f(xi)H(x)构造Hermite插值多项式3满足H3(xi)f(xi)i0,1其中x00,x11

f(4)()212f(x)H(x)x(x1)xH(x)dxS(x)334!则有：0，

f(4)()3R(x)x[f(x)S(x)]dxx(x1)2dx004!

(4)(4)(4)f()13f()f()2x(x1)dx04!4!601440 27、（10分）已知数值积分公式为：

11

h0hf(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]2，试确定积分公式中的参数，使其代

数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

解：f(x)1显然精确成立；

 f(x)x时，0hh3hh31222xdx[0h]h[02h]2hf(x)x2时，032212；

f(x)x3时，0hhh2hxdx[0h]h2[11]22；

h4h1xdx[0h3]h2[03h2]4212；

34h5h12h3xdx[0h]h[04h]f(x)x4时，052126； 所以，其代数精确度为3。

h28、（8分）已知求a(a0)的迭代公式为：

xk11a(xk)2xkx00k0,1,2

证明：对一切k1,2,,xka，且序列xk是单调递减的， 从而迭代过程收敛。

xk1证明：

1a1a(xk)2xka2xk2xkk0,1,2

故对一切k1,2,,xka。

xk11a1(12)(11)122xk又xk 所以xk1xk，即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。

29、（9分）数值求积公式其代数精度是多少？

解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为

33p(x)dx[f(1)f(2)]02 。其代数精度为1。

p(x)x2x1f(1)f(2)1221

303f(x)dx[f(1)f(2)]2是否为插值型求积公式？为什么？

30、(6分)写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (6分)

xn1xn11cosxn4，n=0,1,2,…

'x

11sinx144 ∴ 对任意的初值x0[0,1],迭代公式都收敛。

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton插值方法：差分表： 100 10 121 11 144 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

3f'''xx28

5Rf'''1151001151211151443!5131002156290.0016368

32、(10分)用复化Simpson公式计算积分

0.5105。

Isinxdx0x的近似值，要求误差限为

111S1f04ff10.9461458862 S21113f04f2f4ff10.9460869312424

1S2S10.39310-515 IS20.94608693

IS2sinxx2x4x6x8fx1x3!5!7!9!或利用余项：

f(4)1x2x41xf(4)x572!94!5

f(4)R5ba2880n410.51028805n，n2，IS2

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875

x2.0000,3.0000,5.0000

Tx14x22x3243x1x25x3342x6xx27231

36、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：

1xfxdxAfA1f1002

1取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：

A0A111111A0A1A0A13，6 2，23

f(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24

∴ 公式的代数精度=2

40、(10分)已知下列函数表：

x 0 1 2 3 f(x) 1 3 9 27 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

(x1)(x2)(x3)(x0)(x2)(x3)(x0)(x1)(x3)(x0)(x1)(x2)L3(x)(01)(02)(03)(10)(12)(13)(20)(21)(23)(30)(31)(32)48x32x2x13 3 0113224296（2）均差表：327 18 6 3 4N3(x)12x2x(x1)x(x1)(x2)3

f(1.5)N3(1.5)5

42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分

1012x2dx的近似值（保留4位小数）。

2112x2 解：5个点对应的函数值xi 0 0.5 1 1.5 2 f(xi) 1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111 ----------------------------------------------------------（2分）

(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：

0.5T4[12(0.6666670.3333330.181818)0.111111]2 0.868687 (2)复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：

f(x)1S2[14(0.6666670.181818)20.3333330.111111]6 0.861953