与一次函数有关的动态几何问题

1. (2011 江苏省盐城市) 如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y点A，且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒. ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 4 x的图象交于3

yx7，x3，答案：解 ：（1）根据题意，得解得∴A(3，4) ． 4yx，y4，3令yx7=0，得x=7． ∴B（7，0）．

（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4． 由S△APRS梯形COBAS△ACPS△PORS△ARB8，得

1111(37)43(4t)t(7-t)t48． 2222整理，得t8t120，解之得t1=2，t2=6（舍）． 当P在CA上运动，4≤t＜7． 由S△APR21(7t)48，得t =3（舍）． 2∴当t =2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8． ②

当P在OC上运动时，0≤t＜4．

∴AP=(4t)3，AQ=2t，PQ=7-t． 当AP =AQ时，（4-t）+3=2(4-t)， 整理得，t-8t +7= 0． ∴t=1， t=7（舍）．

当AP=PQ时，（4-t）+3=（7-t）， 整理得，6t =24． ∴t=4（舍去）． 当AQ=PQ时，2(4t)2

2

2

2

2

2

2

2

yCPlABORxyCPAlQBORx22232(7t)2．

整理得，t-2t-17=0，∴t=1±32 （舍）． 当P在CA上运动时，4≤t＜7．

yClPEQAFBORDx

过A作AD⊥OB于D，则AD=BD=4．

设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t． 由cos∠OAC= AEAC5

= ，得AQ = （t-4）． AQAO3

1

当AP=AQ时，7-t = （t-4），解得t = ．

381

当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP．

21

得t-4= （7-t），解得t =5．

2当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F，

12

12

53

AF= AQ = ×（t-4）．

在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ AF33

＝ ，得AF＝ AP． AP55

153226

即 ×（t-4）= ×（7-t），解得t = ．

233∴综上所述，t =1或

41226

或5或 时，△APQ是等腰三角形. 843

2. (2011 黑龙江省鸡西市) 已知直线y=3x＋43与x轴，y轴分别交于A、B两点， ∠ABC=60°，BC与x轴交于点C. （1）试确定直线BC的解析式.

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合) ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

A

答案：解：( 1 )由已知得A点坐标(－4﹐0)，B点坐标(0﹐43﹚ ∵OA＝4 OB＝43

∴∠BAO＝60º ∵∠ABC＝60º

∴△ABC是等边三角形 ∵OC＝OA＝4

∴C点坐标﹙4，0﹚ 设直线BC解析式为y＝kx﹢b

b43b0 ∴k3 4kb43∴直线BC的解析式为y=－3x43 ﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴。 ∵

QHCQOBCB ∴

QH432t8 ∴QH=3t ∴S1△APQ=

2AP·QH=12t·3t=32t²（0＜t≤4） 同理可得S=

1△APQ2t·﹙833t﹚=－322t43t﹙4≤t＜8﹚（3）存在，（4，0），（－4，8）（－4，－8）（－4，

833） Q

P

H

Q

3. (2011 云南省曲靖市) 如图：直线y=kx+3与x轴、 y轴分别交于A、B两点，tan∠OAB=3，

4点C(x,y)是直线y=kx+3上与A、B不重合的动点. (1) 求直线y=kx+3的解析式；

(2) 当点C运动到什么位置时△AOC的面积是6； (3) 过点C的另一直线CD与y轴相交于D点， 是否存在点C使△BCD 与△AOB全等？若存在， 请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：解： （1）∵OB=3 tan∠OAB=3

4 ∴

OB3 ∴ OA=4 OA4 即A的坐标为（4,0） 把x=4,y=0代入y=kx+3得 k=-3

4 ∴y= -3x+3

4

(2) 设△AOC的面积为S ∵S=OA｜y｜= ∴y=±3

∵C(x,y)在直线y= -3x+3 上

4121×4｜y｜=6 2

∴当y=3时,x=0,点(0,3)与B重合，舍去. 当y=-3时，x=8

即当点C运动到(8,3)时，△AOC的面积为6 （3） ①当△BCD≌△BAO时， BD=BO=3，CD=AO=4 ∴DO=6 ∴C1(4,6), C2(4,0)

C2(4,0)与A重合，舍去.

②当△BCD≌△BOA时 BC=BO=3，CD=AO=4,BD=BA=5 过C作CE⊥y轴 D C E B

O A ∵

SBCD12BCCD12BDCE ∴CE=

125 ∵C(x,y)在直线y= -34x+3 上

当x=

125时，y=65,C1263(5,5)

当x=-

125时,y=245,C12244(5,5)

∴满足题意的点有三个，它们分别是：C、C121(4,6)3(5,65)、C124(5,245).

xCE125∴