学科教师辅导讲义
年 级： 科 目：数学 课时数：3 课 题 实数的概念与数的开方 1、理解有理数、无理数、实数的概念， 教学目的 2、理解互为相反数的意义、绝对值的意 义、倒数的意义； 3、掌握平方根与开平方的相关概念 教学内容 第一部分 实数的概念 一、知识要点： 1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数；无理数可分为正无理数和负无理数 2、实数的定义：有理数和无理数统称为实数； 3、实数的分类： 正整数 整数 零 正无理数 有理数 负整数 有限小数或无限循环小数 实数 正分数 分数 实数 负分数 无理数 无限不循环小数 零 负有理数 负实数 负无理数 正有理数 正实数 二、例题讲解： 例1：把下列各数填入相应的集合内，41623，-9，3.1415，10，0.6，0，3125， ，，0.01001000100001… 3349（1）有理数集合：{ …} （2）无理数集合：{ …} （3）整数集合： { …} （4）正实数集合：{ …} 【答案】：（1）4162，3.1415，0.6，0，3125，， 349
（2）-39，10，，0.01001000100001… 3 （3）4162，3.1415，10，0.6， ，，0.01001000100001… 3349巩固练习： 1、在下列实数中，是无理数的为（ C ） A．0； B．3.5； C．2； D．9 ． 2、在223，0.618，，8，8中，无理数的个数是（ B ） 7A．1； B．2； C． 3； D．4． 3、无理数是（ D ） A．无限循环小数； B．开方开不尽的数； C．除有限小数以外的所有实数； D．除有理数以外的所有实数． 4、实数中,12,中，分数的个数是（ B ） 346A．0个； B．1个 ； C．2个 ； D．3个 5、把下列各数分别填在相应的括号内：5，3，0，34，0.3，22，1.732，25，316，31，27，7π，329，0.101 001 000 12 整数 ；分数 ； 正数 ；负数 ； 有理数 ；无理数 ； 例2：判断题： （1）无限小数是无理数 （ ） （2）无理数都是无限小数 （ ） （3）有理数都是实数 （ ） （4）实数可分为正实数和负实数 （ ） （5）带根号的数都是无理数 （ ） （6）无理数比有理数少 （ ） 错、对、对、错、错、错 巩固练习： 选择题 （1）下列语句错误的是（ C ） A、正整数、0、负整数统称为整数 B、整数与分数统称为有理数 C、开方开不尽的数和统称为无理数 D、有理数、无理数统称为实数 （2）下列说法正确的是（ C ）．
A、无理数是开方不尽的数 B、无限小数不能化成分数 C、无限不循环小数是无理数 D、一个负数的平方是无理数 （3）下列说法错误的是（ D ） A、相反数与本身相等的数只有0 B、倒数与本身相等的数只有1和-1 C、平方与本身相等的数只有0和1 D、立方与本身相等的数只有0和1 （4）下列命题正确的是（ D ） A、无理数与无理数的和仍是无理数 B、无理数与无理数的积仍是无理数 C、有理数与无理数的积仍是无理数 D、有理数与无理数的和仍是无理数 （5）大家知道5是一个无理数，那么5-1在哪两个整数之间（ A ） A、1与2 B、2与3 C、3与4 D、4与5 例4：填空题 （1）7-3的相反数是__37______，绝对值是___73_____. （2）一个数的绝对值等于3，则这个数是____3_____. （3）绝对值最小的实数是___0___，绝对值小于5的整数有 2、1、0 例5：已知a,b都是无理数，且它们的和为2，试写出两对符合要求的无理数a,b。 第二部分 平方根与开平方 一、知识要点： 要点1：平方根的定义： 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根） 2即：如果xa，那么x就叫做a的平方根 要点2：平方根的性质与表示： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根 （2）正数a的两个平方根可以用“a”表示，其中a表示a的正平方根，也叫做a的算术平方根；
a 表示a的负平方根 要点3：开平方的定义： 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方 要点4：平方根与开平方的关系： 平方与开平方互为逆运算 要点5：平方根与算术平方根的区别与联系： 定义 平方根 如果一个数的平方根等于a，这个数就叫做a的平方根 表示 区别 联系 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根 aa0 正数的平方根是一对相反数 （1）aa0 正数的算术平方根是一个正数 （1）a中a的取值范围为非负数 （2）正数a的算术平方根就是a的一个 平方根（正的平方根） （3）0的算术平方根是0 a中a的取值范围为非负数 （2）正数a的正的平方根就是a的算术平方根 正数a的负的平方根是a的算术平方根的相反数 （3）0的平方根是0 要点6：用计算器计算平方根： （1）用计算器先求出一个非负数的正的平方根，再根据题意写出这个数的平方根或负平方根 （2）用计算器开平方，如果开方结果不是有限小数时，看题目的要求写出结果 要点7：求a的整数部分一般有两种方法： 2（1）找到与被开方数a最接近且比它大的一个完全平方数n2，那么一定有“nan1”， 22从而“nan1”，可以确定a的整数部分为n1； 2（2）用计算器求出其近似值，然后取整数部分，需要注意的是：此时取整数部分不要四舍五入，把小数部分全部舍去. 要点8：小数点的移位与平方根变化： 如果正数的小数点向右或向左每移动两位，它的正的平方根的小数点就相应的向右或向左移动一位 二、例题讲解：
例1：填空题 （1）41624的平方是 ，的平方根是 , 998132（2）22的平方根是 ，2的平方根是 2,2 2（3）81的平方根是 ，81的算术平方根是 3,9 2（4）若m1(n2)0,则m=_______,n=________. 1,2 （5）16表示16的 ，5表示5的 平方根，算术平方根 （6）若（x3）与（2x15）是一个数的平方根，则这个数是_______．4 （b2)2-(a2)2的值是 . （7）设7，5的小数部分分别是a，b，则例2：判断题 （1）-0.01是0.1的平方根 （ ） 错 （2）11的平方根是 （ ） 对 648（3）5的平方根5 （ ） 错 （4）5是5的一个平方根 （ ）对 （5）-7的平方等于49 （ ）对 例3：选择题 （1）下列计算正确的是（ D ） A、1.961.6 B、222 C、1624 D、525 （2）0.01表示0.01的（ B ） A、平方根 B、正的平方根 C、负的平方根 D、开平方 （3）已知21.414，下列各式正确的是（ C ） A、0.20.1414 B、2014.14 C、20014.14 D、2000141.4 （4）有下列命题，其中正确的个数是（ A ） ①0.40.2 ②174 ③9327133的算术平方根是-3 ④是1的平方根 636
A、1 B、2 C、3 D、4 例4：求值 （1） （4）1 （7）256的绝对值的倒数的平方根 （8） 答案：1、49的平方根 （2）2500 （3）1600 1447 （5）0.0036的平方根 （6）952 2的相反数的平方的平方根 54172 2、-50 3、40 4、 5、0.06 6、-5 7、 8、 163125例5：计算下列各式中字母的值 （1）x2160 （2）4x2490 （3）3(x1)108 答案：1、x4 2、x27 3、x16 2例6：x为何值时，下列各式有意义 2（1）2x （2）x （3）x 答案：1、x0 2、x0 3、x取任意实数
例7：说出下列各数的整数部分和小数部分 1151423 答案：3、11-3；1,、52；0、234 例8：已知5.2172.284,52.177.223 4（1）求0.005217,5217的值；（2）若x0.2284，求x的值；（3）若a1072.23，求a的值 答案：1、0.2284 ，72.23；2、 例9：解答题 （1）已知a,b是一个正数的两个平方根，则a2b2 （2）已知x3y50，求xy的平方根 22 （3）一个数的平方根是3a1与a9，求这个数的值 （4）已知7 7的整数部分为a，小数部分为b，求a,b的值
（5）已知实数a,b,c满足 （6）物体从某一高度自由落下，物体下落的高度s与下落的时间t•之间的关系可用公式s=米/秒，若物体下落的高度是180米，•那么下落的时间是多少秒？ （7）已知等腰直角三角形的面积是58cm，求腰长（保留根号） 2211ab2bc(c)20，求a(bc)的值． 2212gt表示，其中g=102五、巩固与提高 一．选择题： 1．下列说法中正确的是（ ）． （A）4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4 （C）6是6的平方根 （D）a没有平方根 2．下列各式中错误的是（ ）． （A）0.360.6 （B）0.360.6 （C）1.441.2 （D）1.441.2 23．若x0.7，则x（ ）．（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.49 2
4．36的平方根是（ ）．（A）6 （B）±6 （C）6 （D）6 5．下列说法中正确的是 （ ） （A）一个正数的平方根和立方根都只有一个 （B）零的平方根和立方根是零 （C）1的平方根与立方根都等于它本身 （D）一个数的立方根与其自身相等的数只有－1 23、3.14中无理数的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4 77、有理数中，算术平方根最小的是（ ） A 、1 B 、0 C、0.1 D、不存在 6．在实数0、3、6、2.236、π、8、如图，以数轴的单位长为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画孤，交数轴于点A，则点A表示的数是 ( ) A．1 B．1．4 C．3 D．2 9、下列各式正确的是（ ） A、819 B、3.143.14 C、2793 D、532 10、下列正确的是（ ）； A、任何数都有平方根 B、－9的立方根是－3 C、0的算术平方根是0 D、8的立方根是±3 11．下列说法错误的是（ ） A、(1)21 B、311 C、2的平方根是32 D、(3)232 12．下列说法中正确的有（ ） ①带根号的数都是无理数； ②无理数一定是无限不循环小数； ③不带根号的数都是有理数；④无限小数不一定是无理数； A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 134、下列说法中：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数可以用数轴上的点来表示．共有（ ）个是正确的． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 、23、32、0从小到大排列（ ）． 2（A）-1.6＜-＜0＜23＜32 （B）-1.6＜-＜0＜32＜23 22（C）-＜-1.6＜0＜32＜23 （D）-＜-1.6＜0＜23＜32 2214．把-1.6、-二．填空题： 1．9的算术平方根是__________，81的平方根是___________． 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．2的相反数是 ，1的倒数是 ，31的相反数是 ； 3
4．若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是 ；2是 的平方根,是 的立方根。 5．计算：2171______，1452242 ，30.125-3+3(1)2 ；． 84166．364的值是_______，64的的值是________，数轴上表示5的点到原点的距离是________； 7．若一个正数的平方根是2a1和a2，则a____，这个正数是 ； 28．已知2a1(b3)0，则32ab ； 329、如果(a+2)＋|b－1|＋3－c＝0，则a＋b＋c＝ 10．请你观察、思考下列计算过程：12111，12321111，12343211111，…由此猜想12345678987654321=_________________． 11．比较大小，填＞或＜号：119 11; 32 23． 12．若x2y30，则xy的值为_____________。 13．已知m,n为实数，且m3n20，求mn的值。 14．已知|a-4|+√3-b =0,且a,b为等腰三角形ABC的两条边， 求三角形ABC的周长
15.已知a,b为实数，且a2b22a8b17，求 ab的值。 ba16、化简(－2)2的结果是 （ ） A．－2 B．±2 C．2 D．4 17、的算术平方根是（ ）． A．2 B．－2 C．±2 D．2 18、已知方程xy16，写出两对满足此方程的x与y的值 ． 19、4的算术平方根是 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 20、16的平方根是（ ） A、4 B、±4 C、-4 D、±8 21、在如图6的数轴上，用点A大致表示40； -3-2-1O12图 63456722、大家知道5是一个无理数，那么5－1在哪两个整数之间（ ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 23、如图，数轴上表示数3的点是 ． 24、7的相反数为 ． 三.求下列各式中的x 23A B 第2题 C 2 1 0 1 2 3 4 1．9x336 2．(2x1)8 3.(x-2) =-27. 3
四．已知：实数a、b满足条件a1(ab2)20试求：1111的值． ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2004)(b2004) 六、课后练习： 1、用“是”、“不是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义： （1）2 分数. （2）0 有理数. （3）无限不循环小数 无理数. （4）实数 有理数和无理数. （5）正整数、0和负整数 整数. （6）有理数 有限小数或无限循环小数. 2、填空： （1）144的负的平方根是 ；平方得25的数是 ； （2）7是数 的平方根； 的平方根等于它本身. （3）数a (a≥0)平方根是 ，算术平方根是 ; （4）a的相反数的平方根 （填“存在”或“不存在”） （5）-3的平方的平方根表示为 ＝ （6）平方等于10的数是 3、判断题 6（5）5（ ） （1）有理数都是有限小数，无限小数都是无理数 （ ） （9）（5）5（ ） （2）一个有理数，不是正数就是负数 （ ） （10）22
（5）5（ ） （3）一个无理数，不是正数就是负数 （ ） （11）（5）5（ ） （4）3和9都是无理数 （ ） （12）（5）最小的实数是零，最大的实数不存在 （ ） （13）819（ ） （6）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （14）5025（ ） （7）任何实数的平方都是正数 （ ） （15）5是25的平方根（ ） （8）无理数一定是无限不循环小数 （ ） （16）25的平方根是5（ ） 4、选择题 （1）在实数范围内，有一个数不是正实数，这个数一定是（ ） A、负实数 B、负有理数 C、非正实数 D、非负实数 （2）下列说法中正确的是（ ） A、有理数都是有限小数 B、无理数都是无限小数 C、0.25的平方根是0.5 D、-25没有立方根 （3）下列说法不正确的是（ ） A、没有最大的有理数 B、没有最小的有理数 C、有最小的正有理数 D、有绝对值最小的有理数 （4）a为正的有理数，则a是（ ）． A、正有理数 B、有理数 C、无理数 D、实数 5、求下列各式的值 （1）64的平方根 （2）0.0016 （3） 6、求下列各式中字母的值 2（1）x25 （2）x229 （4）0.01 （5）102的平方根 252120 （3）(x2)230 7、将下列各数填入适当的括号内：
0、-3、2、6、3.14159、22、5、π、0.3737737773…. 7有理数：﹛ ﹜；正实数：﹛ ﹜；非负数：﹛ ﹜； 无理数：﹛ ﹜；负实数：﹛ ﹜；整 数：﹛ ﹜. 8、已知62.449，求平方等于600的数 9、已知913的整数部分为a，小数部分为b，求2ab的值
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