椭圆的第二定义及简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质

一、知识要点

椭圆的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

e=c(0可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．

∴|MF|=e dx2y2a2 准线方程：对于椭圆2+2=1，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x=．根据对

caba2y2x2称性，相应于焦点F′(c,0)的准线方程是x=-．对于椭圆2+2=1的准线方程是caba2y=±．

c 焦半径公式：

由椭圆的第二定义可得：

a2|=a-ex； 右焦半径公式为|MF右|=ed=e|x-ca2左焦半径公式为|MF左|=ed=e|x-(-)|=a+ex

c

二、典型例题

x2y2+=1的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 例1、求椭圆

2516

练习：椭圆9x+y=81的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，

第 1 页

22

离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.

x2y2例2、已知椭圆方程+=1，P是其上一点，F1,F2分别为左、右焦点，若PF1=8，

10036求P到右准线的距离.

x2y2例3、已知点M为椭圆+=1的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；且A(1,2)求

25165|MA|+|MF1|的最小值.

3

x2y2+=1内有一点3 \\* MERGEFORMAT P(1,-1)，3 变式、若椭圆：3 \\* MERGEFORMAT 43\\* MERGEFORMAT F为右焦点，椭圆上有一点3 \\* MERGEFORMAT M，使3 \\* MERGEFORMAT

MP+2MF值最小，求：点3 \\* MERGEFORMAT M的坐标。

第 2 页

x2y2例4、已知3 \\* MERGEFORMAT F1为椭圆221的焦点，过3 \\* MERGEFORMAT F1的

ab直线与椭圆交于3 \\* MERGEFORMAT A、3 \\* MERGEFORMAT B两点，求证：

11等于常数。 |AF1||BF1|

x2y2例5、已知椭圆221的焦点为3 \\* MERGEFORMAT F1、3 \\* MERGEFORMAT F2，

ab点3 \\* MERGEFORMAT P为其上的一点，3 \\* MERGEFORMAT ∠F1PF2=α，求3 \\* MERGEFORMAT ΔF1PF2的面积。

x2y21的焦点为3 \\* MERGEFORMAT F1、3 \\* MERGEFORMAT F2，点变式1、椭圆943 \\* MERGEFORMAT P为其上的动点.当3 \\* MERGEFORMAT ∠F1PF2为钝角时，点3 \\* MERGEFORMAT P横坐标的取值范围是___________.

x2y21上有一点M，椭圆的两个焦点为3 \\* 变式2、椭圆MERGEFORMAT F1、3 \\* 4924MERGEFORMAT F2，若3 \\* MERGEFORMAT MF1⊥MF2，则3 \\* MERGEFORMAT ΔF1MF2的面积是___________.

第 3 页

x2y91上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，例6、椭圆0的距离2595成等差数列．

（1）求证x1x28；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2x2y1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到变式： 已知椭圆

43左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

三、课后练习

x2y21、已知椭圆3 \\* MERGEFORMAT 2+2=1(a,b>0)长半轴的长等于焦距，且3 \\*

abMERGEFORMAT x=4为它的右准线，椭圆的标准方程：______________________________.

x2y2+=1上的一点，2、已知3 \\* MERGEFORMAT P是椭圆3 \\* MERGEFORMAT 若3 \\* 10036MERGEFORMAT P到椭圆右准线的距离是3 \\* MERGEFORMAT

17，则点3 \\* MERGEFORMAT 2P到左焦点的距离是 （ ）

3 \\* MERGEFORMAT A.1666 3 \\* MERGEFORMAT B. 3 \\* 55 第 4 页

MERGEFORMAT C.7577 3 \\* MERGEFORMAT D. 88x2y23、在椭圆3 \\* MERGEFORMAT 2+2=1(a,b>0)上取三点，其横坐标满足3 \\*

abMERGEFORMAT x1+x3=2x2，三点与某一焦点的连线段长分别为3 \\* MERGEFORMAT

r1,r2,r3，则3 \\* MERGEFORMAT r1,r2,r3满足 （ ）

3 \\* MERGEFORMAT A.3 \\* MERGEFORMAT r1,r2,r3成等差数列 3 \\* MERGEFORMAT B.3 \\* MERGEFORMAT

112+= r1r2r3 3 \\* MERGEFORMAT C.3 \\* MERGEFORMAT r1,r2,r3成等比数列 3 \\* MERGEFORMAT D.以上结论全不对

x2y24、曲线3 \\* MERGEFORMAT +=1的离心率3 \\* MERGEFORMAT e满足方程3 \\*

4mMERGEFORMAT 2x-5x+2=0，则3 \\* MERGEFORMAT m的所有可能值的积为（ ） 3 \\* MERGEFORMAT A.36 3 \\* MERGEFORMAT B.-36 3 \\* MERGEFORMAT C.-192 3 \\* MERGEFORMAT D.-198

2x2y25、椭圆3 \\* MERGEFORMAT 2+2=1(a,b>0)，过右焦点3 \\* MERGEFORMAT F作弦

ab3 \\* MERGEFORMAT AB，则以3 \\* MERGEFORMAT AB为直径的圆与椭圆右准线3 \\*

MERGEFORMAT l的位置关系（ ）

3 \\* MERGEFORMAT A.相交 3 \\* MERGEFORMAT B.相离 3 \\* MERGEFORMAT C.相切 3 \\* MERGEFORMAT D.不确定

x2y2+=1的焦点为3 \\* 6、（2000年全国高考题）椭圆3 \\* MERGEFORMAT 94MERGEFORMAT F1、3 \\* MERGEFORMAT F2，点3 \\* MERGEFORMAT P为其上的动点，当3 \\* MERGEFORMAT ∠F1PF2为钝角时，点3 \\* MERGEFORMAT P横坐标的取值范围是___________________.

7、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴3 \\* MERGEFORMAT AB分成8等分，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P3 \\* MERGEFORMAT F是1,P2P7七个点，椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|++|P7F|=_______________.

第 5 页

://img.jyeoo.net/quiz/

images/201107/38/d88f3769.png\"

x2y28、在椭圆1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。

259

y2x29、椭圆221(ab0)的两焦点为F1(0，c)，F2(0，c)(c0)，离心率

abe

10、已知椭圆的焦点是3 \\* MERGEFORMAT F1(0,-1),F(0,1)，是直线3 \\* MERGEFORMAT

3，焦点到椭圆上点的最短距离为23，求椭圆的方程。 2y=4是椭圆的一条准线，

①求椭圆的方程；

②设点3 \\* MERGEFORMAT P在椭圆上，且3 \\* MERGEFORMAT PF1-PF2=1，求3 \\* MERGEFORMAT ∠F1PF2

11、已知椭圆的焦点是3 \\* MERGEFORMAT F1(-1,0),F2(1,0)，3 \\* MERGEFORMAT P为椭圆上一点，且3 \\* MERGEFORMAT F1F2是3 \\* MERGEFORMAT PF1和3 \\* MERGEFORMAT

PF2的等差中项，

①求椭圆的方程；

②若点3 \\* MERGEFORMAT P在第三象限，且3 \\* MERGEFORMAT ∠PF1F2=120°，求3 \\* MERGEFORMAT tanF1PF2.

12、如图，已知曲线4x9y36(x0，y0)，点3 \\* MERGEFORMAT A在曲线上

22 第 6 页

移动，点3 \\* MERGEFORMAT A(6,4)，以3 \\* MERGEFORMAT AC为对角线作矩形3 \\* MERGEFORMAT ABCD，使3 \\* MERGEFORMAT ABx轴，3 \\* MERGEFORMAT ADy轴，求矩形3 \\* MERGEFORMAT ABCD的面积最小时点3 \\* MERGEFORMAT A坐标。

x2y2思考题、在椭圆MERGEFORMAT A(2,1)，过点3 \\* MERGEFORMAT 1内有一点3 \\*

8tMERGEFORMAT l的斜率为－1，且与椭圆交于3 \\* MERGEFORMAT B、3 \\* A的直线3 \\*

MERGEFORMAT C两点，线段3 \\* MERGEFORMAT BC的中点恰好是3 \\* MERGEFORMAT A，试求椭圆方程。

第 7 页