有限群的s-正规子群与群的结构

第７卷第１期　２００８年２月　江南大学学报（自然科学版）　ｏｕｒｎＪａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　．．．．．．．．．．．．．——ＶｏＩ．７　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．　２００８　文章编号：１６７１—７１４７（２００８）Ｏ１—０１１５—０３　有限群的　一正规子群与群的结构　殷　霞　（苏州大学数学科学学院，江苏苏州２１５００６）　摘要：群Ｇ的一个子群　称为在Ｇ中ｓ．正规，如果存在Ｇ的一个次正规子群　，使得Ｇ＝胀且　ｎ　Ｋ≤　ｃ，其中Ｈｓｃ是包含在Ｈ中的Ｇ的最大次正规子群．利用Ｓｙｌｏｗ．子群的正规化子的ｓ．正　规性研究了群的结构．　关键词：Ｓｙｌｏｗ一子群的正规化子；ｓ－正规子群；ｐ．幂零　中图分类号：０　１５２．１　文献标识码：Ａ　ｓ－Ｎｏｒｍａｌ　Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐｓ　ＹＩＮ　Ｘｉａ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｕｚｈｏｕ　２１５００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ　ｓ－ｎｏｒｍａｌ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ａ　ｓｕｂｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｋ　ｏｆ　Ｇ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｇ＝ＨＫ　ａｎｄ　ｎ　≤Ｈｓｃ，ｗｈｅｒｅ　Ｈｓｃ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅｓｔ　ｓｕｂｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　Ｇ　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．ｔｈｅ　ａｕｔｈｏｒ　ＵＳｅＳ　ｔｈｅ　ｓ－ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｙｌｏｗ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｒ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｇｒｏｕｐｓ・　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｓｙｌｏｗ　ｎｏｒｍａｌｉｚｅｒ；５一ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ；ｐ－ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ　ｇｒｏｕｐ　１　问题的提出　１９９６年王燕鸣教授提出了Ｃ．正规子群的概　念，利用子群的Ｃ．正规性研究群的结构，得到了一　系列有意义的结果…．２００３年，张新建等将Ｃ．正规　子群的概念中的正规子群削弱为次正规子群，引进　了ｓ－正规子群的概念　Ｊ．他们举例说明了子群ｓ．正　规不能推出Ｃ－正规，并利用Ｓｙｌｏｗ．子群、极大子群　的ｓ．正规性研究了群的有关性质和结构．由Ｓｙｌｏｗ．　文中所有的群都是有限群．设Ｇ是一个群，　Ｇ，用　ｑｑＧ表示日是Ｇ的次正规子群，　Ｓｏｃ（Ｇ）表示Ｇ的基柱，用　表示　在Ｇ中的正规　闭包，订（Ｇ）表示Ｇ的阶的素因子集合．设ｎ是正整　数，用ｎ。表示能整除ｎ的Ｐ的最大方幂．文中其他记　号是标准的　．　定义１．１　群Ｇ的一个子群　称为在Ｇ中ｓ－正规，　如果存在Ｇ的一个次正规子群　，使得Ｇ＝ＨＫ且　ｎ　Ｋ≤Ｈｓ　，其中　ｃ是包含在　中的Ｇ的最大次　正规子群　．　子群的正规化子（简称Ｓｙｌｏｗ．正规化子）的性质研　究群的结构是有限群论中局部分析理论的一个重　要方面，文中将利用Ｓｙｌｏｗ－正规化子的ｓ．正规性来　研究群的结构．　定义１．１等价于定义１．２．　定义１．２　群Ｇ的一个子群　称为在Ｇ中ｓ－正规，　如果存在Ｇ的一个次正规子群　，使得Ｇ＝ＨＫ且　收稿日期：２００６—０８—３０；修订日期：２００６—１０—１３．　作者简介：殷霞（１９７５一），女，江苏无锡人，讲师．主要从事有限群方面研究．Ｅｍａｉｌ：ｙｉｎｘｉａ１９７５＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com ｌｌ６　江南大学学报（自然科学版）　第７卷　ｎ　ｑＧｌ　．　如果一个群Ｇ没有非平凡的ｓ．正规子群，则称　群Ｇ为ｓ一单群．　引理１．１　设Ｇ为有限群，则有以下结论¨５　Ｊ：　１）如果　在Ｇ中正规（ｃ．正规），则Ｈ在Ｇ中　ｓ．正规，反之未必；　２）Ｇ为ｓ．单群当且仅当Ｇ为单群；　３）如果Ｋ＜Ｇ，且　≤　，则Ｈ在Ｇ中ｓ一正规当　且仅当Ｈ／Ｋ在Ｇ／Ｋ中Ｓ．正规．　引理１．２　若　ｑｑＧ，则Ｓｏｃ（Ｇ）≤Ｎ　（　）　．　引理１．３　设　为Ｇ的Ｈａｌｌ子群，如果　ｑｑＧ，则　ＨｑＧ［７１．　２主要结果　定理２．１设Ｇ是有限群，若对每个Ｐ∈Ｓｙｌ　（Ｇ）有　（Ｐ）在Ｇ中ｓ一正规，则Ｇ可解．　证　假设定理不成立，设Ｇ是极小阶反例．　１）Ｇ非单　如果Ｇ是单群，则由引理１知Ｇ是　ｓ．单群．因为Ｎ　（Ｐ）在Ｇ中ｓ．正规，Ｎ　（Ｐ）＝１或　（Ｐ）＝Ｇ，于是Ｐ＜Ｇ．考虑商群Ｇ／Ｐ，由于定理条　件商群闭，所以Ｇ／Ｐ可解，从而Ｇ可解，与Ｇ是极小　阶反例矛盾．　２）Ｇ有惟一极小正规子群Ⅳ使得Ｇ／Ｎ可解，且　Ｎ＝Ｓｏｃ（Ｇ）　设Ⅳ是Ｇ的极小正规子群．由１），Ｎ是　Ｇ的平凡正规子群．易证定理条件商群闭，所以Ｇ／Ｎ　可解．若另有极小正规子群Ⅳ　使得Ｇ／Ｎ。可解，于是　有Ｇ／Ｎ　ｎ　Ｎ　兰Ｇ可解，与Ｇ是极小阶反例矛盾．　３）Ｎ可解　若Ⅳ不可解，设Ｐ．＝Ｐ　ｎ　Ｎ，则　Ｐｌ∈Ｓｙｌ　（Ｎ），且Ｐｌ＜Ｎ，Ｐｌ　Ｇ．由Ｆ　ｒａｔｔｉｎｉ论断　Ｇ＝ⅣⅣ。（Ｐ　），同时Ⅳ。（Ｐ）≤Ｎ。（Ｐ，）．由条件　（Ｐ）在Ｇ中Ｓ一正规，存在　ｑｑＧ使得Ｇ＝　７Ｙｖ。（Ｐ）且　ｎⅣ。（Ｐ）≤（Ｎ。（Ｐ））　．　假设　（Ⅳ。（Ｐ））　。≠１．设　为包含于（Ⅳ。（Ｐ））　。中的Ｇ的　极小次正规子群，则　单．假设Ａ延Ⅳ，则　ｎ　Ｎ＝１，　由引理１．２得Ⅳ≤Ⅳ　（Ａ），从而ＮＡ＝Ｎ×Ａ，Ａ≤　Ｃ　（Ⅳ）．于是Ｃ。（Ⅳ）是Ｇ的不等于１的正规子群，由　Ⅳ的惟一性，Ⅳ≤Ｃ　（Ｎ）．这与Ⅳ非可解矛盾，所以　≤Ⅳ．又Ⅳ是同构单群的直积，即Ｎ＝Ａ．×Ａ，×　…×Ａ　，Ａｌ＝Ａ２一…一Ａ　．令Ａ＝Ａ１．因为　ｌ≤　ⅣＧ（Ｐ１），所以Ｎ≤　：　。　ｌ’＝ＡＮＩ　Ｇ￣　ｌ　≤　ⅣＧ（Ｐ１）．又Ｇ＝ⅣⅣＧ（Ｐ１）＝Ｎｃ（Ｐ１），于是Ｐ１　ｑ　Ｇ，　与Ｐ　Ｇ矛盾！所以　ｎⅣｒ’（Ｐ）＝１，从而　　ｌｌ＝ｌ　Ｇ：Ｎ　（Ｐ）ｆ，由此得ｐ不能整除　的阶．　另一方面，设　为包含于　中的Ｇ的极小次正　规子群，则　单．用前面的证明方法，可设Ｎ＝Ａ－×　Ａ，×…Ｘ　Ａ　，Ａ　＝Ａ兰Ａ　，ｌⅣｊ＝ｊ　Ａ　　ｊ，所以Ｐ能够　整除　的阶，从而Ｐ能够整除　的阶，矛盾１　４）由Ｇ／Ｎ与Ⅳ可解得Ｇ可解，与Ｇ是极小反例　矛盾．　因此定理结论成立．　定理２．２　设Ｇ是有限群，Ｐ∈Ｓｙｌ：（Ｇ）．若Ｎ。（Ｐ）　在Ｇ中ｓ．正规，则Ｇ可解．　证　假设定理不成立，设Ｇ是极小阶反例．　１）若Ｐ＝ｌ，则由Ｆｅｌｔ．Ｔｈｏｍｐｓｏｎ定理知Ｇ可解．　２）Ｇ非单　如果Ｇ是单群，则由引理１．１知Ｇ　是ｓ．单群，从而　（Ｐ）＝Ｇ，于是Ｐ＜Ｇ．因为Ｇ／Ｐ　是奇阶群，所以Ｇ／Ｐ可解，从而Ｇ可解，与Ｇ是极小　反例矛盾．　３）Ｇ有惟一极小正规子群Ⅳ使得Ｇ／Ｎ可解，且　Ｎ＝Ｓｏｃ（Ｇ）　设Ⅳ是Ｇ的极小正规子群由２），Ｎ是　Ｇ的非平凡正规子群．易证定理条件商群闭，所以Ｇ／Ｎ　可解．若另有极小正规子群ⅣＪ使得Ｇ／Ｎ。可解，于是有　Ｇ／Ｎ　ｎ　Ｎ．兰Ｇ可解，与Ｇ是极小阶反例矛盾．　４）Ⅳ可解　当１Ⅳ１＝奇数时，Ⅳ可解；当１Ⅳ１＝　偶数时，假设Ⅳ不可解，设Ｐ　＝Ｐ　ｎⅣ，且Ｐ。∈　Ｓｙｌ２（Ⅳ），且Ｐ１＜Ｎ，Ｐｌ　Ｇ．由Ｆｒａｔｔｉｎｉ论断Ｇ＝　ＮＮ。（Ｐ　），同时Ｎ。（Ｐ）≤Ｎ。（Ｐ，）．由条件Ｎ。（Ｐ）　在Ｇ中Ｓ．正规，于是存在　ｑｑＧ使得Ｇ＝ＴＮ　（Ｐ）　且　ｎⅣＧ（Ｐ）≤（ⅣＧ（Ｐ））ｓＧ．假设（ＮＧ（Ｐ））ｓＧ≠１．　设Ａ为包含于（Ⅳ。（Ｐ））　。中的Ｇ的极小次正规子　群，则　单．假设　Ｎ，则Ａ　ｎ　Ｎ＝１，由引理１．２可　得Ⅳ≤　（Ａ），从而有ＮＡ＝Ｎ×Ａ，Ａ≤Ｃ。（Ⅳ），于　是Ｃ　（Ⅳ）是Ｇ的不等于１的正规子群，由Ⅳ的惟一　性，得Ⅳ≤Ｃ　（Ｎ）．这与Ⅳ非可解性相矛盾，所以　≤Ⅳ．又Ⅳ是同构单群的直积，Ｎ＝Ａ　×Ａ　×…　，　Ａｌ＝Ａ２＝…Ａ　．令Ａ＝Ａ１．因为　１≤Ⅳｃ（Ｐ１），所以　Ｎ≤　＝／Ｉ　。　ｌ’＝ＡＮ，ｃ　ｌ’≤ＮＧ（Ｐ）．又Ｇ＝　ⅣⅣ。（Ｐ　）＝Ｎ。（Ｐ　），于是Ｐ　ｑＧ，与Ｐ。　Ｇ矛盾！所　以　ｎⅣ。（尸）＝１，从而ｌ　ｆ＝ｌ　Ｇ　Ⅳ　（Ｐ）』，由此　得２不能整除　的阶．　另一方面，设　为包含于　中的Ｇ的极小次正　规子群，则Ａ单．类似地，用前面的证明方法可设　Ｎ＝　ｌ×Ａ２×…Ａ　，Ａｌ＝Ａ兰Ａ。，ｌⅣｌ＝Ｊ　ｌ　，因为　２能够整除Ⅳ的阶，所以２能够整除Ａ，的阶，从而２　能够整除　的阶，矛盾１　５）南Ｇ／Ｎ与Ⅳ可解得Ｇ可解，与Ｇ是极小反例　矛盾．　因此定理结论成立．　定理２．３　设Ｇ是有限群，Ｐ∈竹（Ｇ），Ｐ∈Ｓ），Ｚ。（Ｇ）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　殷霞：有限群的ｓ．正规子群与群的结构　１ｌ７　且（１　Ｇ　ｌ，Ｐ　一１）＝１．若存在Ｐ的２　极大子群Ｐ，在　Ｇ中ｓ一正规，且Ｄ　（Ｇ）≤Ｐ】，则Ｇ／Ｏ。（Ｇ）Ｐ．幂零．　证　假设定理不成立，Ｇ是极小阶反例．　Ｐ　一Ｈａｌｌ子群，由引理１．３得　，ｑＧ，故Ｇｐ．幂零，与　Ｇ是极小阶反例矛盾！　因此定理结论成立．　１）Ｄ　（Ｇ）＝１　若Ｄ　（Ｇ）≠１，由０　（Ｇ）≤　Ｐ。，Ｐ。是Ｐ的２一极大子群，考虑商群Ｇ／Ｏ。（Ｇ）：　Ｐ。／０　（Ｇ）是Ｐ／Ｄ　（Ｇ）的２一极大子群，且　Ｐ／Ｏ　（Ｇ）∈Ｓｙｌｐ（Ｇ／Ｏｐ（Ｇ）），定理条件商群闭，所　以（Ｇ／Ｏ　（Ｇ））／Ｏ　（Ｇ／Ｏ　（Ｇ））一Ｇ／Ｏ　（Ｇ）Ｐ一幂　零，与Ｇ是极小反例矛盾１　２）ＧＰ一幂零　由条件Ｐ，在Ｇ中ｓ　正规，存在　ｑ　ｑ　Ｇ使得Ｇ＝Ｐ】Ｔ且Ｐ】ｆ３　Ｔ　ｑ　ｑ　Ｇ，又Ｐ１　ｆ３　Ｔ为　Ｐ一群，所以Ｐ１　ｆ３　Ｔ≤Ｏｐ（Ｇ）＝１，于是Ｐ，ｆ３　Ｔ＝１，　如果Ｐ≠２，那么Ｐ　一１的素数因子小于Ｐ；如果　Ｐ＝２，那么Ｐ　一１的不等于３的素数因子小于Ｐ．因　此，如果Ｇ是奇阶群，Ｐ＝ｒａｉｎ竹（Ｇ），那么自然满足　（１　Ｇ　ｆ，Ｐ　一１）＝１；如果Ｇ是偶阶群，Ｐ＝２且３不能　整除Ｇ的阶，那么也满足（１　Ｇ　ｌ，Ｐ　一１）＝１，于是有　下面两个推论．　推论２．１　设Ｇ是奇阶有限群，Ｐ＝ｍｉ　ｎ竹（Ｇ），　ＰＥ　Ｓｙｌ。（Ｇ），若存在Ｐ的２．极大子群Ｐ。在Ｇ中　ｓ一正规，且０　（Ｇ）≤Ｐ。，则Ｇ／Ｄ　（Ｇ）Ｐ一幂零．　推论２．２设Ｇ是偶阶有限群，且３不能整除Ｇ的阶，　从而ｌ　Ｔｌ。＝Ｐ　．设　Ｅ　ｓｙｚ　（Ｔ），则ｌ　ｌ。＝Ｐ　，且　（　）／ｃ　（　）≤Ａｕｔ（　）．因为Ｐ　阶群为循环群或　初等交换群，所以ｌ　Ａｕｔ（　）ｌ能够整除（ｐ　一Ｐ）（Ｐ　一　１）＝Ｐ（Ｐ一１）　（Ｐ＋１）．由　交换得　≤Ｃｒ（　），所　Ｐ∈Ｓｙｌｐ（Ｇ），若存在Ｐ的２－极大子群Ｐ。在Ｇ中　ｓ．正规，且０。（Ｇ）≤Ｐ１，则Ｇ／Ｏ　（Ｇ）Ｐ・幂零．　因为ｃ．正规子群一定是ｓ．正规子群，因此有下　面的推论３．　以Ｐ不能整除　（　）／ｃ　（　）的阶，又由条件（１　Ｇｌ，　Ｐ　一１）＝１可以知道ｌ　（　）／ｃ　（　）ｌ＝１，从而　（　）＝Ｃ　（　），故而　ｐ－幂零．设　，为　的正规　推论２．３　设Ｇ是有限群，Ｐ　Ｅ竹（Ｇ），Ｐ　Ｅ　Ｓｙｚ。（Ｇ）　且（１　Ｇ　ｌ，Ｐ　一１）＝１．若存在Ｐ的２．极大子群Ｐ。在　Ｇ中ｃ．正规，且Ｄ。（Ｇ）≤Ｐ，，则Ｇ／Ｄ　（Ｇ）Ｐ一幂零．　Ｐ一补，则　，ｃｈａｒ　Ｔ，从而　，３＜＜３Ｇ，又　，为Ｇ的次正规　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：　［１］ＷＡＮＧ　Ｙａｎ－ｍｉｎｇ．ｃ－Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｌｇｅｂｒａ，１９９６，１８０：９５４－９６５．　［２］ＺＨＡＮＧ　Ｘｉｎ－ｊｉａｎ，ＧＵＯ　Ｗｅｎ．ｂｉｎ，Ｓｈｕｍ　Ｋ　Ｐ．ｓ．Ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ａｌｇｅｂｒａ　ａｎｄ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００３，１（２）：９９－１０８．　［３］郭文彬．群类论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９７．　［４］徐明曜．有限群导引（上）［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８７．　［５］张新建．有限群的ｓ－正规子群Ⅱ［Ｊ］．淮阴师范学院学报：自然科学版，２００４，３（２）：８７－８９．　ＺＨＡＮＧ　Ｘｉｎ－ｊｉａｎ．ｓ－Ｎｏｍａｒｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　Ｇｒｏｕｐｓ　１１［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａｉｙｉｎ　Ｔｅａｃｈｅｍ　Ｃｏｌｌｅｇｅ：Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，　２００４，３（２）：８７－８９．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　［６］Ｄｏｅｒｋ　Ｋ。Ｈａｗｋｅｓ　Ｔ．Ｆｉｎｉｔｅ　Ｓｏｌｕｂｌｅ　Ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ／Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｗａｌｔｅｒ　ｄｅｒ　Ｇｒｕｙｔｅｒ，１９９２：４７－５２．　［７］李长稳，何鸣．有限群的正规子群及其性质［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２００４，２２（１）：４－６．　ＬＩ　Ｃｈａｎｇ－ｗｅｎ，ＨＥ　Ｍｉｎｇ．ｓ－Ｎｏｍａｒｌｉｔｙ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００４，２２（１）：４．６．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　（责任编辑：杨勇）