四川省棠湖中学2018-2019学年高二上学期第三次月考数学(文)试卷 Word版含解析

2018-2019学年四川省棠湖中学 高二上学期第三次月考数学（文）试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。

位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。

密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

号一、单选题

不场考1．不等式𝑥(𝑥−2)<0的解集是

A．(0,2) B．(−∞,0)∪(2,+∞) C．(−∞,0) D．(2,+∞) 1

2．“𝑎> 2”是 “ln(2𝑎−1)>0”的

订 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为𝐹，抛物线上一点𝑀(2,𝑚)满足|𝑀𝐹|=6，则抛物线𝐶 装的方程为

号证A．𝑦2=2𝑥 B．𝑦2=4𝑥 C．𝑦2=8𝑥 D．𝑦2=16𝑥 考准4．命题“∀𝑥∈𝑅,均有𝑥2+sin𝑥+1<0”的否定为

只 A．∀∈𝑅,均有𝑥2

+sin𝑥+1≥0 B．∃𝑥∈𝑅,使得𝑥2

+sin𝑥+1<0 C．∃𝑥∈𝑅,使得𝑥2+sin𝑥+1≥0 D．∀𝑥∈𝑅,均有𝑥2+sin𝑥+1>0 5．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是 卷 A．𝑎>

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏

>

𝑎𝑏

2 B．

𝑏

2>

𝑏

>𝑎 C． 𝑎𝑏

>

𝑏

2>𝑎 D．

𝑎>𝑎>𝑎𝑏

𝑏

2

名6．已知双曲线𝑥2

姓𝑎2−𝑦2=1(𝑎>0)的实轴长为4,则双曲线的渐近线方程为 此 A．𝑦=±2𝑥 B．𝑦=±√2𝑥 C．𝑦=±1

1

4𝑥 D．𝑦=±2𝑥

7．设一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1>0的解集为{𝑥|−1<𝑥<1

3},则ab的值是 A．-6 B．-5 C．6 D．5

级班8．设𝑎∈𝑅,若直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦−8=0与直线𝑙2:𝑥+(𝑎+1)𝑦+4=0平行,则𝑎的值为

A．−1 B．1 C．−2或−1 D．1或−2

9．一动圆与圆𝑂:𝑥2+𝑦2=1外切,与圆𝐶:𝑥2+𝑦2−6𝑥+8=0内切,那么动圆的圆心轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线

10．已知点A,B,C在圆𝑥2+𝑦2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ |的最大值为

A．6 B．7 C．8 D．9 11．设𝐹21,𝐹2分别为双曲线

𝑥𝑦2𝑎2

−

𝑏2

=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点𝑃使得

(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)2=𝑏2−3𝑎𝑏,则该双曲线的离心率为

A．√2 B．√15 C．4 D．√17

二、填空题 12．以双曲线

𝑥2𝑦24

−

12=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．

13．已知𝑃是椭圆𝑥2

𝑦2

若𝑃到椭圆右准线的距离是17

100+36=1上的一点,2,则点𝑃到左焦点的距离是__________.

14．已知点𝐴(2,−3),𝐵(−3,−2),直线𝑙过点𝑃(1,1) ,且与线段𝐴𝐵相交,则直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是__________.

15．已知点P为抛物线C： y24x上一点，记P到此抛物线准线l的距离为d1，点P到圆

x22y444上点的距离为d2，则d1d2的最小值为__________．

三、解答题

16．已知命题𝑝:(𝑎−2)(6−𝑎)>0;命题𝑞:函数𝑓(𝑥)=(4−𝑎)𝑥在R上是增函数;若命题“𝑝或𝑞”为真,命题“𝑝且𝑞”为假,求实数𝑎的取值范围.

17．已知函数𝑓(𝑥)=𝑚𝑥2−𝑚𝑥−12.

（Ⅰ）当𝑚=1时,解不等式𝑓(𝑥)>0;

（Ⅱ）若不等式𝑓(𝑥)<0的解集为𝑅,求实数𝑚的取值范围.

18．如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用𝑥 (单位:万元)和利润𝑦 (单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:

𝑥 2 3 4 5 6 8 9 11 𝑦 1 2 3 3 4 5 6 8

请回答:

（Ⅰ）请用相关系数r说明𝑦与𝑥之间是否存在线性相关关系(当|𝑟|>0.81时,说明𝑦与𝑥之间具有线性相关关系);

（Ⅱ）根据1的判断结果,建立𝑦与𝑥之间的回归方程,并预测当𝑥=24时,对应的利润𝑦̂为多少̂,𝑎(𝑏̂,𝑦̂精确到0.1).

̅𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦

̂𝑥+𝑎̂和𝑎̂=∑𝑖=1̂𝑥̅, 附参考公式:回归方程中𝑦̂=𝑏̂中𝑏̂最小二乘估计分别为𝑏,𝑎̂=𝑦̅−𝑏𝑛22

∑𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥̅

𝑛

相关系数𝑟=

∑𝑛̅𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦√∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)2∑𝑛̅)2𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦

8

𝑛. 2882参考数据: ∑8̅)2=6. 𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖=241,∑𝑖=1𝑥𝑖=356,√∑𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)≈8.25,√∑𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦

x2y2219．已知椭圆C： 221 (a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)

2ab与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为10时，求k的值． 320．已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心M在x+y-2=0上． （1）求圆M的方程；

（2）设点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A,B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

21．已知点𝐶为圆(𝑥+1)2+𝑦2=8的圆心，𝑃是圆上的动点，点𝑄在圆的半径𝐶𝑃上，且有点𝐴(1,0)⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =0,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 和𝐴𝑃上的点𝑀，满足𝑀𝑄

(Ⅰ)当点𝑃在圆上运动时，判断𝑄点的轨迹是什么？并求出其方程；

(Ⅱ)若斜率为𝑘的直线𝑙与圆𝑥2+𝑦2=1相切，与(Ⅰ)中所求点𝑄的轨迹交于不同的两点𝐹,𝐻，且⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤4（其中𝑂是坐标原点）求𝑘的取值范围. ≤𝑂𝐹45

3

2018-2019学年四川省棠湖中学 高二上学期第三次月考数学（文）试题

数学 答 案

参 1．A 【解析】 【分析】

不等式的解集为：0不等式𝑥(𝑥−2)<0的解集为0这个题目考查了一元二次不等式的解法问题，结合二次函数的特点即可得到结果. 2．B 【解析】 【分析】

不等式ln(2𝑎−1)>0等价于2𝑎−1>1,𝑎>1，故𝑎>1

2是𝑎>1的必要不充分条件. 【详解】

不等式ln(2𝑎−1)>0等价于2𝑎−1>1,𝑎>1.由于{𝑎>1}⊂{𝑎>1

1

2}，属于𝑎>2是𝑎>1的必要不充分条件.故选B.

【点睛】

本小题考查对数不等式的解法，考查充分必要条件的判断.充分必要条件的判断主要依据是小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.也即小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.如果两个范围相等，则为充分必要条件.

3．D 【解析】

设抛物线的准线为𝑙，作𝑀𝑀′⊥直线𝑙于点𝑀′，交𝑦轴于𝑀′′

由抛物线的定义可得：𝑀𝑀′=𝑀𝐹=6，结合𝑥𝑀=2可知：𝑀′𝑀′′=6−2=4， 即𝑝

2=4,∴2𝑝=16，据此可知抛物线的方程为：𝑦2=16𝑥.

本题选择D选项.

点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

4．C 【解析】

因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀𝑥∈𝑅，均有𝑥2+sin𝑥+1<0”的否定为：∃𝑥∈𝑅，使得𝑥2+sin𝑥+1≥0，故选C.

5．C 【解析】 【分析】

由已知可得𝑎

𝑎

𝑎

𝑏>0，𝑏2<0，然后根据𝑏2＞1比较𝑎与𝑏2的大小． 【详解】

因为𝑎＜0，𝑏＜−1，所以𝑎

>𝑎𝑏0，

𝑏2<0，

又因为𝑏2＞1，所以𝑎<𝑎

𝑏

2,

故选：C． 【点睛】

本题考查了不等式的大小比较，考查了代数式的意义和性质，是基础题． 6．D 【解析】 【分析】

由双曲线的实轴长可求得a，再结合方程可得渐近线方程. 【详解】

由双曲线𝑥2

2𝑎2−𝑦=1(𝑎>0)的实轴长为4，可得2𝑎=4，即𝑎=2. 双曲线为𝑥24−𝑦2=1，可知渐近线为：𝑦=±1

2

𝑥.

故选D. 【点睛】

本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题. 7．C 【解析】

【分析】

由一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1>0的解集为{𝑥|−1<𝑥<1

}, 可得𝑎<0且−1和1

是𝑎𝑥23

3

+

𝑏𝑥+1=0的两根，从而利用根与系数的关系求解即可.

【详解】

由一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1>0的解集为{𝑥|−1<𝑥<1

3},

可得：𝑎<0且−1和1

3是𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1=0的两根， 𝑎<0所以：{−1+13=−𝑏

𝑎 ，从而得：𝑎=−3，b=−2.

(−1)×11

3

=

𝑎

所以𝑎𝑏=6. 故选C.. 【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的求解及二次方程根与系数的关系，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】

由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出． 【详解】

由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1． 经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去． ∴a=1． 故选：B． 【点睛】

本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．C 【解析】 试题分析：由，可得

，设动圆圆心为，半径

为

，∵圆

与圆

外切，∴

，∵圆

与圆

内切，∴

,从而

,根据双曲线的定义，动圆圆心的轨迹是是以

为焦点的双曲线（靠近点

的一支）.

考点：1、圆与圆的位置关系；2、双曲线的定义. 10．B 【解析】

由题意，AC为直径，所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ |=|2𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4+|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4+3=7,当且仅当点B为（-1，0）时，|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗𝑃𝐶

⃗⃗⃗⃗ |取得最大值7，故选B. 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

11．D 【解析】

因为(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)2=𝑏2−3𝑎𝑏，所以双曲线的定义可得(2𝑎)2=𝑏2−3𝑎𝑏，所以 4𝑎2+3𝑎𝑏−𝑏2=0，所以𝑏

𝑐𝑏

𝑎=4，所以𝑒=

𝑎

=√1+(𝑎

)2=√17，故选D．

点晴：本题考查的是双曲线的定义和双曲线的离心率.求双曲线的离心率的方法就是建立量𝑎,𝑏,𝑐之间的关系，对圆锥曲线的考查当然也离不开定义的应用.本题中(|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|)2=𝑏2−3𝑎𝑏结合||𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2||=2𝑎可得到(2𝑎)2=𝑏2−3𝑎𝑏，解得𝑏

𝑎=4，再由离心率的求解公式代入求值即可.

12．𝑥2

𝑦2

16+12=1 【解析】

双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：𝑥2

𝑦2

16+12=1 13．665 【解析】

【分析】

设椭圆的两焦点为𝐹1,𝐹2，由椭圆的第二定义可得|𝑃𝐹1|，再利用第一定义即可得解. 【详解】 𝑃是椭圆

𝑥2100

+

𝑦236

=1上的一点,设椭圆的两焦点为𝐹1,𝐹2.

若𝑃到椭圆右准线的距离是17,则|𝑃𝐹1|

4

2

17=𝑒=

𝑐100−362

𝑎

=

√10

=5

.

解得|𝑃𝐹1|=

345

. 由椭圆的定义可得：|𝑃𝐹2|=2𝑎−|𝑃𝐹1|=20−345

=

665

.

故答案为：66

5. 【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题. 14．(−∞,−4]∪[3

4,+∞)

【解析】 【分析】

利用斜率计算公式及其意义即可得出． 【详解】 kPA=

−3−12−1

=﹣4，kPB=

−2−1=3−3−14

．

∵直线l过点P（1，1）且与线段AB相交， 则直线l的斜率k的取值范围是k≥3

4或k≤﹣4． 故答案为：(−∞,−4]∪[3

4,+∞). 【点睛】

本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．3

【解析】易知圆x22y444的圆心为M2,4，半径为2，设抛物线C:y24xF1,0，连接PF，由抛物线的定义，得d1d2PFd2，

要求PFd2的最小值，需F,P,M三点共线，且最小值为

FM212204223。

点睛：本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型，往往利用抛物线的定义进行合理转化，而本题中，要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径.

16．(－∞,2]∪[3,6)。 【解析】 【分析】

由于“𝑝或𝑞”真，“𝑝且𝑞”假，所以𝑝,𝑞一真一假.求出𝑝所对应𝑎的取值范围，还有𝑞对应𝑎的取值范围，然后根据𝑝真𝑞假或者𝑝假𝑞真两种情况来求得𝑎的取值范围.

【详解】

p真时，(a－2)(6－a)>0，解得21，解得a<3.

由命题“p或q”为真，“p且q”为假，可知命题p，q中一真一假． 当p真，q假时，得3≤a<6. 当p假，q真时，得a≤2.

因此实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3,6)． 【点睛】

本小题主要考查含有逻辑连接词命题的真假性的判断，以及求参数的取值范围. 由于“𝑝或𝑞”真，

“𝑝且𝑞”假，所以𝑝,𝑞一真一假.本题属于中档题.

17．（I）{𝑥| 𝑥<−3或𝑥>4}；（II）−48<𝑚≤0. 【解析】 【分析】

（Ⅰ） 当𝑚=1时,不等式为𝑥2−𝑥−12>0,结合二次函数的特点解出不等式即可；（Ⅱ）分两种情况求解，当𝑚=0时, −12<0恒成立,适合题意；②当𝑚≠0时,应满足{𝑚<0𝛥<0

求解即可.

【详解】

的焦点为

（Ⅰ）当𝑚=1时,不等式为𝑥2−𝑥−12>0,(𝑥+3)(𝑥−4)>0,∴解集为{𝑥| 𝑥<−3或𝑥>4} （Ⅱ）若不等式 𝑓(𝑥)<0的解集为𝑅,则①当𝑚=0时, −12<0恒成立,适合题意; ②当𝑚≠0时,应满足{𝑚<0𝛥<0 ,即{𝑚<0𝑚2+48𝑚<0 解得−48<𝑚<0由上可知, −48<𝑚≤0 【点睛】

这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在R上恒成立的应用，在整个实数集上恒成立，即满足判别式小于0，开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题.

18．（I）详见解析；（II）𝑦̂=0.7𝑥−0.2，16.6万元. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据公式得到相应的数据即可；（II）结合第一问可求求解出回归方程，代入24可得到

估计值.

【详解】

（Ⅰ）由题意得𝑥̅=6,𝑦̅=4.

又∑88

𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖=241,∑2√∑8𝑖=1(𝑥𝑖−𝑥̅)≈8.25,√∑8𝑖=1𝑥𝑖=356,2𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦

̅)2=6, 所以𝑟=

∑8𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−8𝑥𝑦=

241−8×6×4√∑

88.25×6

≈0.99>0.81,

𝑖=1

(𝑥𝑖−𝑥)2∑8

𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦)2

所以𝑦与𝑥之间具有线性相关关系.

（II）𝑏̂=∑𝑖=18

𝑥𝑖𝑦𝑖−8𝑥𝑦=241−8×6×4

∑

8𝑥2𝑖−8𝑥2356−5×62

≈0.7 𝑖=1

（II）因为𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥≈4−0.7×6=−0.2, 所以回归直线方程为𝑦̂=0.7𝑥−0.2,

当𝑥=24时, 𝑦̂=0.7𝑥−0.2=0.7×24−0.2=16.6,即利润约为16.6万元. 【点睛】

本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

19．（1）x2y2421 （2）1或－1.

【解析】试题分析：（I）由已知条件可得和的值，利用可得的值，进而可

得椭圆的方程；（II）先设

、

的坐标，再联立直线的方程和椭圆的方程，消去，化简得关

于的一元二次方程，由韦达定理可得k1，的值，由弦长公式求|MN|，由点到直线的距离

公式求△AMN的高，再根据三角形的面积求．

试题解析：（1）由题意得解得．所以椭圆C的方程为．

（2）由得．

设点M，

N的坐标分别为，，则，，，

．

所以|MN|===．

由因为点A（2,0）到直线

的距离

，

所以△AMN的面积为． 由，解得，

经检验

，所以

．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．解题时要注意运用弦长公式和点到直线的距离公式，最后注意验证

．

20．（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（2）2．

【解析】

试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；

（2）四边形PAMB的面积为S＝2√|𝑃𝑀|2−4，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

试题解析：

(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， (1+(−=𝑟2

根据题意得{(−+(1=𝑟2

𝑎+𝑏−2=0解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|. 又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|， 所以S＝2|PA′|.

而|PA′|＝√|𝑃𝑀|2−|𝐴′𝑀|2=√|𝑃𝑀|2−4. 即S＝2√|𝑃𝑀|2−4. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，

所以|PM|min＝|3×1+4×1+8|√32+42=3，

所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2√|𝑃𝑀|2−4＝2√32−4＝2.

21．（1）𝑥2

2+𝑦2=1；（2）−√22

≤𝑘≤−

√33

或√33≤𝑘≤

√22

【解析】

试题分析：（1）𝑀𝑄中线段𝐴𝑃的垂直平分线，所以|𝐶𝑃|=|𝑄𝐶|+|𝑄𝑃|=|𝑄𝐶|+|𝑄𝐴|=2√2>|𝐶𝐴|=2，所以点𝑄的轨迹是以点𝐶,𝐴为焦点，焦距为2，长轴为2√2的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑏,𝐹(𝑥1,𝑦1),𝐻(𝑥2,𝑦2)，直线𝑙与圆𝑥2+𝑦2=1相切，可得𝑏2=𝑘2+1直线方程与椭圆方程联立可得：(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑏𝑥+2𝑏2−2=0,𝛥>0，可得𝑘≠0，再利用数量积运算性质、

根与系数的关系及其3

4≤⃗⃗⃗𝑂𝐹⃗⃗ ⋅𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤45

即可解出𝑘的范围. 试题解析：（1）由题意知𝑀𝑄中线段𝐴𝑃的垂直平分线，所以|𝐶𝑃|=|𝑄𝐶|+|𝑄𝑃|=|𝑄𝐶|+|𝑄𝐴|=2√2>|𝐶𝐴|=2

所以点𝑄的轨迹是以点𝐶,𝐴为焦点，焦距为2，长轴为2√2的椭圆，

∴𝑎=√2,𝑐=1,𝑏=√𝑎2−𝑐2=1

故点𝑄的轨迹方程式𝑥2

2+𝑦2=1

（2）设直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑏,𝐹(𝑥1,𝑦1),𝐻(𝑥2,𝑦2) 直线𝑙与圆𝑥2+𝑦2=1相切⇒

|𝑏|2√𝑘2+1=1⇒𝑏=𝑘2+1

𝑥2

联立{𝑦2+𝑦2=1

=𝑘𝑥+𝑏

⇒（1+2𝑘2）𝑥2+4𝑘𝑏𝑥+2𝑏2−2=0

𝛥=16𝑘2𝑏2−4(1+2𝑘2)2(𝑏2−1)=8(2𝑘2−𝑏2+1)=8𝑘2>0⇒𝑘≠0

𝑥𝑥4𝑘𝑏2𝑏2−2

1+2=−1+2𝑘2,𝑥1𝑥2=1+2𝑘2

⃗⃗⃗𝑂𝐹

⃗⃗ ⋅𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=(1+𝑘2)𝑥1𝑥2+𝑘𝑏(𝑥1+𝑥2)+𝑏2 =(1+𝑘2)(2𝑏2−2)(−4𝑘𝑏)(1+𝑘2)2𝑘24𝑘2(𝑘2+1)𝑘21+2𝑘2+𝑘𝑏1+2𝑘2+𝑏2=1+2𝑘2−1+2𝑘2+𝑘2

+1=+11+2𝑘2 所以3

𝑘2+1

4

1

24≤1+2𝑘2≤5⇔3≤𝑘≤1

√32⇒3

≤|𝑘|≤

√2√32

⇒

3

≤𝑘≤

√22或−√22

≤𝑘≤−

√33

为所求.