三角函数的图像与性质练习题

三角函数的图像与性质练习题

正弦函数、余弦函数的图象

A组

1.下列函数图象相同的是( ) A.y=sin x与y=sin(x+π) B.y=cos x与y=sin -

C.y=sin x与y=sin(-x) D.y=-sin(2π+x)与y=sin x

解析:由诱导公式易知y=sin - =cos x,故选B. 答案:B

2.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.

答案:B

3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )

解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B. 答案:B

4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于( ) A. 或C. 或

B. 或

D. 或

解析:如图:

.

.

由图象可知,x=答案:A

或

.

5.当x∈[0,2π]时,满足sin - ≥-的x的取值范围是( )

A.

B. C.

D.

解析:由sin - ≥-,得cos x≥-.

画出y=cos x,x∈[0,2π],y=- 的图象,如图所示.

∵cos =cos =- ,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥- ,可得x∈

答案:C

6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有 个.

.

解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.

答案:3

7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是 .

解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为

答案:

8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y= ;⑤y= - .其中与函数y=sin x图象形状完全相同的是 .(填序号)

.

.

解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y= =|cos x|的图象和⑤y= - =|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同. 答案:①③

9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积. 解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.

因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π. 10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题. (1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:

①y>0;②y<0.

(2)直线y=与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点?

解:列表:

x sin x -π - 0 π 0 -1 0 1 0 -sin 0 1 0 -1 0 x

描点作图:

(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);

②当y<0时,x∈(0,π).

(2)在简图上作出直线y= ,由图可知有两个交点.

B组

1.函数f(x)= -cos x在[0,+∞)内( ) A.没有零点

B.有且仅有一个零点

D.有无穷多个零点

C.有且仅有两个零点

解析:数形结合法,令f(x)= -cos x=0,则 =cos x.

.

.

设函数y= 和y=cos x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)= -cos x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.

答案:B

2.已知f(x)=sin ,g(x)=cos - ,则f(x)的图象( )

A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位,得g(x)的图象 D.向右平移个单位,得g(x)的图象

解析:∵f(x)=sin =cos x,g(x)=cos - =sin x,

∴f(x)的图象向右平移 个单位,得g(x)的图象.

由y=sin x和y=cos x的图象知,A,B,C都错,D正确. 答案:D

3.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是( ) A. C.

B. D.

解析:如图所示(阴影部分)时满足sin x>cos x.

答案:C

4.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是 . 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的草图如下:

因为sin

,

.

.

所以sin =- ,sin - =- .即在[0,2π]内,满足sin x=- 的是x= 或x= .可知不等式sin x<- 的解集是 答案:

.

5.(2016·河南南阳一中期末)函数y= - 的定义域是 . ∈

解析:由题意,得 ∴ - ∈

∴2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y= - 的定义域为 ,k∈Z.

答案: ,k∈Z

6利用正弦曲线,写出函数y=2sin x

的值域是 .

解析:y=2sin x的部分图象如图.

当x=时,ymax=2, 当x=时,ymin=1,

故y∈[1,2]. 答案:[1,2]

7.画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出: (1)y≥时x的集合;

(2)- ≤y≤ 时x的集合.

解:(1)画出y=sin x的图象,如图,直线y= 在[0,2π]上与正弦曲线交于 两点,在[0,2π]区间内,y≥时x的集合为

.当x∈R时,若y≥,则x的集合为

∈ .

.

.

(2)过 -

两点分别作

x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点

(k∈Z),

- (k∈Z),

- (k∈Z)和点

(k∈Z),那么曲线上夹在

对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当- ≤y≤ 时x的集合为 -

∈ ∈ .

8.作出函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图象,写出y的取值范围; (2)若函数图象与y=解:列表:

x 0 π 2π -

在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.

sin x 0 1 0 -1 0 2+sin 2 3 2 1 2 x

描点、连线,如图.

(1)由图知,y∈[1,3]. (2)由图知,当2≤

-

<3时,函数图象与y=

-

在[0,π]上有两个交点,即-5故a的取值范围是(-5,-3].

正弦函数、余弦函数的性质(一)

A组

1.函数f(x)=-2sin 的最小正周期为( )

A.6

解析:T= =2.

B.2π C.π D.2

.

.

答案:D

2.下列函数中,周期为 的是( ) A.y=sin C.y=cos

B.y=sin 2x D.y=cos(-4x)

解析:对D,y=cos(-4x)=cos 4x,

∴T= ,故选D.

答案:D

3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin - ,x∈R,则f(x)是( )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

解析:因为f(x)=sin - =-cos 2x,所以f(-x)=-cos 2(-x)=-cos 2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数. 答案:B

4.已知函数f(x)=sin ,g(x)=sin 的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=( ) A.-

B.-

C.

D.

=sin =-sin =- .

解析:由已知T1= ,T2= ,∴sin(T1+T2)=sin 答案:B

5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有

f(x)= 则f - =( )

- A. C.0

B.- D.1

解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f -又因为0≤≤π,所以f -

=f -

=f .

=f =sin

.

答案:A

6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.

解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点

.

.

7.函数y=sin (ω>0)的最小正周期为π,则ω= .

解析:∵y=sin 的最小正周期为T=,

∴

答案:3

,∴ω=3.

8.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)= . 解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.

∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.

答案:0

9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.

解:因为f(x)=cos(2π-x)-xsinx=cos x-x3sinx的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sinx=f(x),

3

所以f(x)为偶函数.

10.若函数f(x)是以 为周期的偶函数,且f =1,求f -解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,

的值.

∴f -

=f - =f - =f .而f =f - =f - =f =1,∴f -B组

=1.

1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )

解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数. 答案:D

2.函数y=cos (k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( ) A.10 解析:∵T=答案:D

3.将函数y=sin x的图象向左平移 个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( ) A.y=f(x)是奇函数

B.11

C.12 D.13

≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.

.

.

B.y=f(x)的周期为π

C.y=f(x)的图象关于直线x= 对称 D.y=f(x)的图象关于点 - 对称

解析:y=sin x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin =cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正

确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点 (k∈Z)对称,当k=-1时,点为 - ,故D正确.综上可知选D. 答案:D

4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈ - 时,f(x)=cos x,则f -A.

=( )

B.

C.-

D.-

解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f -答案:C

=f - =f .又f(x)是奇函数,∴f =-f - =-cos - =- .

5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:

①f 解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,

∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2, ∴f(x)在[0,1]上是减函数.

∵1>sin >cos >0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos >sin >0,∴f 1),f >f . 答案:②③

6.已知函数y=sin x+|sin x|.

(1)画出这个函数的简图;

(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期. 解:(1)y= sin x+ |sin x| =

∈ ∈

∈ - ∈ 函数图象如图所示.

.

.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.

7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈ 时,f(x)=sin x. (1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图; (3)求当f(x)≥ 时x的取值范围.

解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈ 时,f(x)=sin x,∴当x∈ - 时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x. 又当x∈ - - 时,x+π∈ ,f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.

(2)如图.

(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=或

,

∴在[0,π]内,f(x)≥ 时,x∈

.

又f(x)的周期为π,∴当f(x)≥ 时,x∈

,k∈Z.

正弦函数、余弦函数的性质(二)

A组

1.函数y=|sin x|的一个单调增区间是( )

A. - C.

B.

D.

解析:画出y=|sin x|的图象即可求解.

故选C. 答案:C

2.(2016·福建三明一中月考)y=cos - (-π≤x≤π)的值域为( )

.

.

A. -

B.[-1,1] C. -

D. -

解析:因为-π≤x≤π,所以- .所以-≤cos - ≤1,y=cos - (-π≤x≤π)的值域为 - .

答案:C

3.函数f(x)=3sin

在下列区间内递减的是( )

A. -

B.[-π,0]

C. -

D.

解析:令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+

,k∈Z可得2kπ+ ≤x≤2kπ+

,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为

,k∈Z.从而可判断

,∴在x∈

时,f(x)单调递减.

答案:D

4.函数f(x)=2sin -

(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为( ) A. -

∈ B.

∈

C. -

∈

D.

∈

解析:∵T=

=4π,∴ω= .∴f(x)=2sin - .由 x- =2kπ- (k∈Z),得x=4kπ- (k∈Z). 答案:A

5.已知函数f(x)=sin -

,x∈R,下列结论错误的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间 上是增函数

C.函数f(x)的图象关于y轴对称 D.函数f(x)是奇函数

解析:f(x)=sin -

- =-sin - =-cos x,

∴周期T=2π,∴选项A正确;

.

( )

.

f(x)在 上是增函数,∴选项B正确; 定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),

∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称, ∴选项C正确,选项D错误.

答案:D

6.函数y=sin |x|+sin x的值域是 . 解析:∵y=sin |x|+sin x= ∴-2≤y≤2.

答案:[-2,2]

7.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是 . 解析:∵y=cos x在[-π,0]上为增函数,

又在[-π,a]上递增,∴[-π,a] [-π,0].

∴a≤0.又∵a>-π,∴-π答案:(-π,0]

8.若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,则ω= . 解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,

∴答案:

=2kπ+,ω=6k+,k∈Z.

又0<ω<2,∴ω=.

9.已知函数f(x)=sin (x∈R,ω>0)的最小正周期为π. (1)求f(x)在 上的值域,并求出取最小值时的x值;

(2)求f(x)的单调递增区间.

解:由已知得 =π,ω=1,∴f(x)=sin .

(1)当x∈ 时, ≤2x+

.

.

∴- ≤sin ≤1.∴f(x)值域为 -当2x+

时,f(x)取最小值-,

∴x= 时,f(x)取最小值.

(2)令2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 得kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).

∴f(x)的递增区间为 -

(k∈Z).

.

.

10.已知函数f(x)=2asin +a+b的定义域是 ,值域是[-5,1],求a,b的值.

解:∵0≤x≤

,∴ ≤2x+

.

∴-

≤sin ≤1. ∴a>0时, -

解得 - a<0时,

- 解得 - 因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.

B组

1.若0<α<β<

,a= sin

,b= sin ,则 A.ab C.ab<1

D.ab>

解析:∵0<α<β< ,∴ <α+ <β+

.

而正弦函数y=sin x在x∈

上是增函数,

∴sin

∴ sin

sin ,即a答案:A

2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asin x的最大值为( A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1

D.a2

解析:令sin x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.

∵a>1,∴当t=1时,ymax=12+2a×1=2a+1,故选A.

答案:A

3.函数y=cos

- 的单调递增区间是( ) A.

,k∈Z

B. -

,k∈Z

C.

,k∈Z

D. -

,k∈Z

.

) ( )

.

解析:函数y=cos - =cos - ,

令2kπ-π≤2x- ≤2kπ,k∈Z, 得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 故单调递增区间为 -答案:B

4.函数y=2sin - -cos (x∈R)的最小值为 .

,k∈Z.

解析:∵ - ,

∴y=2sin - -cos

=2cos -cos =cos .

∴ymin=-1.

答案:-1

5.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间 - 上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin ωx的周期是 .

解析:令2kπ-≤ωx≤2kπ+可得

≤x≤

,∴k=0时,f(x)在 -

上递增.

又∵f(x)在 - 上递增,

∴ 解得0<ω≤ .

- -

∴ω的最大值为 .∴周期T=

答案:

.

6.对于函数f(x)= 给出下列四个命题:

①该函数是以π为最小正周期的周期函数; ②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1; ③该函数的图象关于直线x= +2kπ(k∈Z)对称; ④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是 . 解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.

.

.

由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最

小值,为-1,故①②错误.

由图象知,函数图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ正确.

答案:③④

7.已知函数y=sin - . (1)求函数的周期;

(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间. 解:y=sin - 可化为y=-sin - .

(1)周期T=

=π.

(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以x∈R时,y=sin - 的单调递减区间为 - ,k∈Z. 从而x∈[-π,0]时,y=sin - 的单调递减区间为 - - - .

8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 其中ω>0,|φ|< ,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的

距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.

(1)求ω的值;

(2)求y=f(x)的单调递增区间; (3)若x∈ - ,求y=f(x)的值域.

解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω= =2.

(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z. 又|φ|< ,所以φ= .

所以函数的解析式是y=sin . 令2x+ - ,k∈Z,

.

.

解得x∈ - ,k∈Z.

所以函数的单调递增区间为 - ,k∈Z. (3)因为x∈ - ,所以2x+ - 所以sin - ,

即函数的值域为 - .

正切函数的性质与图象

A组

1.当x∈ - 时,函数y=tan |x|的图象( )

.

A.关于原点对称 C.关于x轴对称

B.关于y轴对称 D.没有对称轴

解析:∵x∈ - ,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称. 答案:B

2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tan - 的单调递减区间为( ) A. -

,k∈Z

B. -

,k∈Z

C. - ,k∈Z D.(kπ,(k+1)π),k∈Z

解析:因为f(x)=tan - =-tan - ,

所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan - 的单调递增区间.

故kπ- ≤x- ≤kπ+ ,k∈Z,kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是 - ∈Z. 答案:B

,k

.

.

3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为( ) A. 答案:A 4.函数f(x)=

-

B.

C.π

D.1

解析:由已知得f(x)的周期为2,∴ =2.∴a= .

的奇偶性是( )

A.是奇函数 B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

解析:f(x)的定义域为 ∈ ,

-

-

∴f(-x)= - - - =-f(x). ∴f(x)是奇函数.

答案:A

5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈ -到d对应的函数关系式应是( )

内的大致图象,那么由a

A.①②③④ C.③②④①

B.①③④② D.①②④③

解析:y=tan(-x)=-tan x在 - 上是减函数,只有图象d符合,即d对应③. 答案:D

6.已知函数y=3tan 的最小正周期是 ,则ω= . 解析:由题意知,T= ,∴ω=±2. 答案:±2

.

.

7.函数y=3tan 的对称中心的坐标是 .

解析:由x+

,k∈Z,得x=

,k∈Z,

即对称中心坐标是 - (k∈Z).

答案:

- (k∈Z)

8.满足tan ≥- 的x的集合是 .

解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-≤x+Z.故满足tan ≥- 的x的集合是 -答案: -

∈

∈ .

9.求函数y=tan - 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 解:由4x- ≠kπ+ ,得x≠ ,

∴所求定义域为

又f 没有意义,

∈ ,值域为R,周期T= .

f - =tan - - =0,

∴f(x)是非奇非偶函数.

令-+kπ<4x- +kπ,k∈Z,

解得 ∴f(x)的单调递增区间是 -

(k∈Z),不存在单调递减区间.

10.已知函数f(x)=2tan (ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.

解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,

则 =2π,由于ω>0,故ω= . 所以f(x)=2tan .

.

.

再由kπ- x+即函数f(x)的单调递增区间为 -

,k∈Z.

11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈ -

的值域. 解:∵-

≤x≤ ,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. ∴当t=-1,即x=-

时,ymin=-4,

当t=1,即x= 时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

B组

1.函数y=

的定义域为( )

A. ∈

∈

B. ∈

∈ C. ∈

∈ D. ∈ -

∈

解析:由题意知

有意义

有意义 且

即

∈

且 ∈

得 ∈

故x≠ (k∈Z).

且 ∈

答案:A

2.函数f(x)=tan -

与函数g(x)=sin - 的最小正周期相同,则ω=(A.±1

B.1

C.±2 D.2

解析:∵函数g(x)的周期为

=π,

∴

=π,∴ω=±1.

答案:A

.

) .

3.设a=lo °

tan 70°,b=lo sin 25°,c=

,则有( )

A.aD.a解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lo tan 70°<0.

又∵0, ∴b=lo sin 25°>lo

=1.

而c= °

∈(0,1),∴b>c>a.

答案:D

4.已知函数y=tan ωx在 -

内是减函数,则ω的取值范围为 . 解析:由题意可知ω<0,又

-

- .

故-1≤ω<0. 答案:-1≤ω<0

5.已知y=2tan(ωx+φ)

的部分图象如图所示,则ω= ,φ= .解析:由题图可知,当x=

时,y=2,

即2tan

=2,tan =1, 即

ω+φ=kπ+

(k∈Z).

又直线x=

为它的一条渐近线,

∴

ω+φ=kπ+ (k∈Z),

而ω>0,|φ|<

,由①②可得

-

答案:2 -

6.方程

-tan x=0在x∈ -

内的根的个数为 .

解析:分别画出y=

与y=tan x在x∈ -

内的图象,如图.

.

①②.

易知y= 与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根. 答案:2

7.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是 ,其中0<φ<,试求函数f(x)的单调区间.

解:由于函数y=tan x的对称中心为 ,其中k∈Z,

则+φ=,即φ=

.

由于0<φ<,所以当k=2时,φ=. 故函数解析式为f(x)=tan .

由于正切函数y=tan x在区间 - (k∈Z)上为增函数,则令kπ- <3x+ (1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集; (3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图. 解:(1)由 +kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,

,k∈Z.

∴f(x)的定义域是 ∈ ∵ω= ,∴周期T= =2π.

∈ .

由- +kπ< +kπ(k∈Z), 得- +2kπ∴函数f(x)的单调递增区间是

-

(k∈Z).

.

.

(2)由-1≤tan - , 得- +kπ≤ +kπ(k∈Z), 解得 +2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z).

∴不等式-1≤f(x)≤ 的解集是

(3)令 =0,则x= . 令 ,则x= . 令 =- ,则x=- .

∈ .

∴函数y=tan - 的图象与x轴的一个交点坐标是 ,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐

近线方程分别是x=- ,x= .从而得函数y=f(x)在区间 -

内的简图(如图所示).

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

A组

1.把函数y=cos x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为( )

A.y=sin 2x C.y=cos

B.y=-sin 2x D.y=cos

解析:y=cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos 2x的图象;

再把y=cos 2x的图象沿x轴负方向平移 个单位长度,就得到y=cos 2 =cos 的图象. 即y=-sin 2x的图象. 答案:B

2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:

ωx+φ 0 x y π 2π

0 2 0 -2 0

.

.

则有( ) A.A=0,ω= ,φ=0 C.A=2,ω=3,φ=-

B.A=2,ω=3,φ=

D.A=1,ω=2,φ=-

解析:由表格得A=2,

,

∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.

当x= 时,3x+φ= +φ=0,∴φ=- . 答案:C

3.将函数f(x)=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点

,则ω的最小值是

( ) A.

B.1

C.

D.2

解析:把f(x)=sin ωx的图象向右平移 个单位长度得y=sin - 的图象.

又所得图象过点 ,

∴sin - =0. ∴sin

答案:D

4.把函数y=sin - 的图象向左平移 个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为( ) A.最大值为的偶函数

=0,∴

=kπ(k∈Z).

∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.

B.周期为π的偶函数

C.周期为2π,且最大值为2的函数 D.最大值为2的奇函数 解析:y=sin -

y=sin - =sin 2x

答案:D

5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos 2x的图象,只需把函数y=3sin 的图象上所有的点( ) A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度

y=2sin 2x,即g(x)=2sin 2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D.

.

.

C.向左平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度

解析:函数y=3cos 2x=3sin =3sin ,把函数y=3sin 的图象上所有的点向

左平移 个单位长度,可得函数y=3cos 2x的图象. 答案:D

6.把y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 倍,得到 的图象. 解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得y=sin 3x的图象,纵坐标再缩短为原来的

倍得到y= sin 3x的图象.

答案:y= sin 3x

7.已知函数f(x)=sin (ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin 的图象,只需将y=f(x)的图象上 .

解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.

∴ω=2.∴f(x)=sin .

又g(x)=sin =sin ,

∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin 的图象.

答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变

8.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω

的最小值等于 .

解析:将f(x)的图象向右平移 个单位长度得g(x)=f - =cos - =cos - 的图象,

则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).

又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6. 答案:6

9.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y= sin x的图象,试求y=f(x)的解析式.

解:将y= sin x的图象向右平移 个单位得y= sin - 的图象,化简得y=- cos x.再将y=- cos x的图象上的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)得y=- cos 2x的图象,所以f(x)=- cos 2x. 10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f(x)=3sin ,x∈R. (1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;

(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到.

.

.

解:(1)列表:

2x+ 0 x π 2π - f(x) 0 3 0 -3 0

简图如下:

(2)将函数y=sin x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin x的图象,再将得到的图象向左平移 个单位长度得到y=3sin 的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 得到y=3sin 的图象.

B组

1.给出几种变换:

(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变; (2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变; (3)向左平移个单位长度; (4)向右平移个单位长度; (5)向左平移个单位长度; (6)向右平移个单位长度.

则由函数y=sin x的图象得到y=sin 的图象,可以实施的方案是( ) A.(1)→(3) C.(2)→(4)

B.(2)→(3) D.(2)→(5)

解析:由y=sin x的图象到y=sin 的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩

变换再平移变换,即(2)→(5). 答案:D

2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移 个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为( ) A.

B.

C.

D.

.

.

解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin - =sin -

的图象,若

此函数图象关于y轴对称,则- +φ=kπ+ ,k∈Z,所以φ=kπ+ ,k∈Z,当k=-1时,有φ= .故选B. 答案:B

3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移 个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin x,则( ) A.ω=2,φ= C.ω= ,φ=

B.ω=2,φ=- D.ω= ,φ=-

解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin =3sin 的图象, 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin =3sin x的图象,

则

即

-

答案:B

4.函数y=sin x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 . 解析:y=sin x答案:y=3sin -

5.先把函数y=2sin 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是 .

y=3sinx

y=3sin(x-3)=3sin - .

解析:把y=2sin 的图象上的所有点向左平移 个单位长度,得函数y=2sin

=2sin =2cos 2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数

y=2cos 4x的图象. 答案:y=2cos 4x

6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数y=sin 的图象重合,则φ= .

解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos - =cos(2x+φ-π),而函数y=sin =cos - ,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)

.

.

的图象向右平移个单位后与函数y=sin 的图象重合,得2x+φ-π=2x+ ,解得φ=,符合

-π≤φ<π,故答案为 . 答案: 7.已知函数y= cos .求:

(1)函数的周期及单调递减区间;

(2)函数的图象可由y=cos x的图象经过怎样的变换得到? 解:(1)∵ω=2,∴T= =π.

由2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

∴函数的周期为π,单调递减区间为

-

,k∈Z.

(2)将函数y=cos x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为

y=cos ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得y=cos 的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的 倍(横坐标不变),即得y= cos 的图象. 8.设函数f(x)=sin -(1)求ω; (2)若f

(ω>0)的最小正周期为π.

,且α∈ - ,求tan α的值;

(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 列表:

x 0 π 1

描点连线:

y -1

.

.

解:(1)∵函数f(x)=sin -

(ω>0)的最小正周期为π,∴ =π,∴ω=2.

(2)由(1)知,f(x)=sin -由f

.

,得sin α= ,∴cos α=± .

又- <α< ,∴cos α= ,∴tan α= . (3)由y=sin -

知:

π x 0 y - -1 0 1 0 -

故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:

.