圆锥曲线与重心问题专题复习

三角形的重心：三角形三条中线的交点。 知识储备:

（1）G是ABC的重心GAGBGC0；重心坐标G(xAxBxCyAyByC,)；

33（2）G为ABC的重心，P为平面上任意点，则PG(PAPB+PC)；

（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；

13（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题

例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线C:y4x的焦点为F，点P、Q、R在C上，且PQR的重心为F，则PFQF的取值范围为（ ）

2A．3,99999,,,53,4 B C．．4, 22222D．3,5

,0，F21,0，M是第一象限内的点，且满足MF1MF24，例2．（2020·浙江高三月考）已知F11若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则（ ） A．S1S2

B．S1S2

C．S1S2 D．S1与S2大小不确定

x2y2例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知F1、F2为椭圆221ab0的左、右焦点，P的椭

ab圆上一点（左右顶点除外），G为△PF1F2为重心.若F1GF2是（ ） A．0,

32恒成立，则椭圆的离心率的取值范围31B．0,

21C．,

3211D．,1

12y2例4．（2020·全国高二单元测试）已知A、B分别是双曲线C:x1的左、右顶点，P为C上一点，

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且P在第一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（ ） A．(1,1)

B．1,4 3C．4,1 3D．44, 33x2y2例5．已知椭圆C:上顶点为B，则B的坐标为_____________，直线MN1的右焦点为F1,0，

4m与椭圆C交于M，N两点，且△BMN的重心恰为点F，则直线MN斜率为_____________.

x2y2例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线L交椭圆 1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交

2016于点B，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点F上，则直线L的方程是__________．

例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C：y8x的焦点为F，P，P，1x1,y12x2,y22其中x1x2x3且y20，若F为△PP记△PPP12P3的重心，12P3三3x3,y3为抛物线C上的三个动点，

边P1P2，P1P3，P2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为d1，d2，d3，且满足d1d32d2，则P1P3所在直线的斜率为（ ） A．1

B．

3 2C．2 D．3

x2y2例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C：221(a0,b0)的右支上存在点A，使得点

abA与双曲线的左、右焦点F1，F2形成的三角形的内切圆P的半径为a，若AF1F2的重心G满足

PG//F1F2，则双曲线C的离心率为（ ）

A．2

B．3

C．2

D．5 x2y21上一点，F1、F2为双曲线例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P为双曲线C：412C的左、右焦点，M、I分别为△PF1F2的重心、内心，若MIx轴，则△PF1F2内切圆的半径

为 。

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x2y2例10、（2020年湖北省统一联考16题）已知椭圆C：221（ab0）的左、右焦点分别为F1，

abF2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

例11、（2018年北京师大附中高三月考11题）已知椭圆

x2y21a＞b＞0的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，△F1PF2a2b2的重心、内心分别为G、I，若IG1,0,0，则椭圆的离心率e等于 A.

211 B. C. D.

22451 2x2y21的左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的例12、在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2直线l与椭圆C交于A，B两点， 若ABF2的重心为G，且|OG|2，则直线l的方程为 ． 6

同步练习

21、（2020年成都市外国语学校12题）设F为抛物线y4x的焦点，A,B,C为抛物线上不同的三点，点

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F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则

2S12S2S32（ ）

A．9 B．6 C．3 D．2

2、已知F为抛物线C:y24x的焦点，A，B，C为抛物线C上三点，当FAFBFC0时， 称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A．0个

B．1个

C．3个

D．无数个

x2y21相交于，两点，为3．（2020·湖南高三月考（理））设直线l:x2ym0与椭圆C:4椭圆C的左顶点，若的重心在y轴右侧，则m的取值范围是 ．

x2y24．(2020年吉林省三模12题)设点P为椭圆C:1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，

2516且PF1F2的重心为点G，如果|PF1|:|PF2|2:3，那么GPF1的面积为（ ）

A．

42 3B．22

C．

82 3D．32

2B、C在抛物线上,O为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△OFA、5．已知抛物线y8x的焦点是F,点A、222△OFB、△OFC面积分别记为S1、S2、S3，则S1S2S3的值为（ ）

A．16 B．48 C．96 D．192

x2y2F1，F2分别是椭圆的左右焦点，6．设点P为椭圆：且PF1PF2，G为PF1F2的重心，1上一点，

4924那么GPF2的面积为___________．

x2y2B2为椭圆C短轴的两个端点，B1，7.设A，F分别为椭圆C:221ab0的右顶点和右焦点，

ab若点F恰为AB1B2的重心，则椭圆C的离心率的值为__________.

x2y28.（2020届都江堰一诊模拟12）已知A是双曲线221(a0,b0)的左顶点，左右焦点为F1,F2，

abP为双曲线C上一动点，G是三角形PF1F2的重心，若GAPF1，则双曲线的离心率为（ ）

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A．2 ．3 C．4 D．与的取值有关

29．（2020年重庆市南开中学三诊）已知F是抛物线y4x的焦点，A，B在抛物线上，且ABF的重

FAFB11心坐标为(,)，则

23AB__________．

x2y221(3b0)的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的10．已知△ABC是椭圆

9b重心．求A，B，C三点到F距离之和为 ；

x2y21的左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l11、 在直角坐标系xOy中，已知椭圆2与椭圆C交于A，B两点，设ABF2的重心为G，若|OG|2，则直线l的方程为 ． 6x2y21上的动点，则F1F2P的重心G的轨迹方程为（ ） 12．已知P是以F1,F2为焦点的双曲线1699x29y29x29y2222A．y1y0 B．x1y0 C．y1y0 D．x21y0

1616161613．已知抛物线y24x上有三点A,B,C，AB,BC,CA的斜率分别为3，6，2，则ABC的重心坐标为（ ） A．14,1 9B．14,0 9C．14,0 27D．14,1 27x2y214．（2020·浙江高三模拟）已知椭圆C：221(ab0)，F1,F2为左右焦点，点P(2,3)在椭

ab圆C上，△F1PF2的重心为G，内心为I，且有IGF，则椭圆方程为 （ ） 1F2（为实数）x2y2A．86x2y2x25y2x2y21 B．1 D．1 1 C．1059271x2y215．（2020·河南郑州外国语学校高二期中）设点P为椭圆C:1上一点，F1、F2分别是椭圆C的

2516左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，如果|PF1|:|PF2|2:3，那么GPF1的面积为（ ）

A．

42 32B．22

C．

82 3D．32 16．抛物线C:y2pxp0的焦点为F，A,B是抛物线C上两点，且AFBF10，O为坐标

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原点，若OAB的重心为F，则p（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

217．（2020·福建高三）已知O为坐标原点，F为抛物线C:y8x的焦点，过F作直线l与C交于A,B两

点．若|AB|10，则OAB重心的横坐标为（ ） A．

4 3B．2

8C．

3D．3

218．已知抛物线：y2px（p0），从点M(4,a)（a0）发出，平行于x轴的光线与交于点A，

经反射后过的焦点N，交抛物线于点B，若反射光线的倾斜角为坐标为（ ） A．2,3

2，|AN|2，则ABM的重心3B．3,0 2C．3,3 3D．2,3 3x2y219．（2020·浙江高考模拟）设双曲线C:221a0，b0在左右焦点分别为F1，F2，若在曲线Cab的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG平行于x轴，则双曲线C的离心率为（ ） A．2

B．3

C．2

D．5 220．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知抛物线y2px（p0），F为抛物线的焦点，O为坐标

原点，Ax1,y1，Bx2,y2为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，ABO的重心为F，则p（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

x2y221．（2020·北京市平谷区第五中学高二期中）已知实轴长为22的双曲线C：221(ab0)的

ab左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（ ） A．

1 3B．2 3C．3 3D．

2 322．过抛物线y2x2焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知AB坐标为 ．

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9，O为原点，则OAB重心的纵423．已知抛物线C:y24x上有三个不同的点A,B,C,直线AB,BC,AC的斜率分别为kAB,kBC,kAC.若满足：kABkAC0.且ABC的重心在直线y1上.则kBC（ ） A．2

B．1 2C．-3 2D．2 3x2y224．已知双曲线C：221(a,b0)的左、右焦点为F1，F2，直线l:yx1与双曲线C相交于A，

abB两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若以GH为直径的圆过原点，则

A．2

B．2

C．

11（ ） a2b21 2D．1 2y225．已知点M(2,3)是右焦点为F的双曲线x21(b0)上一点，若双曲线上存在两点P,Q，使

b2得MPQ的重心恰好为右焦点F，则直线PQ方程为（ ）

A．4x2y190 B．4x2y130 C．16x2y670 D．16x2y610

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