届中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明

届中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明

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（2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD∽△CBE； （2）求半圆O的半径r的长

：

试题解析： （1）∵CD切半圆O于点D， ∴CD⊥OD， ∴∠CDO=90°， ∵BE⊥CD， ∴∠E=90°=∠CDO， 又∵∠C=∠C， ∴△COD∽△CBE．

（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9， ∴BC=CE2BE2=15， ∵△COD∽△CBE． ∴

r15rODOC，即，

915BEBC45． 8解得：r=

考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.

2.（2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.

（1）求证：DE是圆O的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.

(1)如图所示，连接OE，CE

∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点

1∴ED＝BC＝DC

2∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4

∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°

∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.

考点：圆切线判定定理及相似三角形

3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C． （1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标； （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）， ∴AN=4，

∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8，

∴由勾股定理可知：NB=AB2AN243， ∴B（43，2）．

（2）连接MC，NC ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，

在Rt△NCB中，D为NB的中点，

∴CD=12NB=ND，

∴∠CND=∠NCD， ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC， ∵∠MNC+∠CND=90°， ∴∠MCN+∠NCD=90°， 即MC⊥CD．

∴直线CD是⊙M的切线．

考点：切线的判定；坐标与图形性质．

4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，PAD的外接圆.

（1）求证：AB是O的切线； （2）若AC8,tanBAC22,求O的半径. 【答案】(1)证明见解析；（2）

3． （1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图， ∵PA=PD， ∴弧AP=弧DP， ∴OP⊥AD，AE=DE，

O是

∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DB与AC互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC=2， 22DF=， AF2∴AF=4，tan∠DAC=∴DF=22，

∴AD=AF2DF2=26， ∴AE=6，

在Rt△PAE中，tan∠1=∴PE=3，

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣3，OA=R， 在Rt△OAE中，∵OA=OE+AE， ∴R2=（R﹣6）2+（3）2， ∴R=

36， 436． 42

2

2

2PE=， AE2即⊙O的半径为

考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．

5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣（1）证明：连接OC，如图，

4π． 3

∵CE为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°， ∵OD⊥BC， ∴CD=BD，

即OD垂中平分BC，

∴EC=EB， 在△OCE和△OBE中

OCOBOEOE， ECEB∴△OCE≌△OBE， ∴∠OBE=∠OCE=90°， ∴OB⊥BE， ∴BE与⊙O相切；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，

在Rt△OBD中，BD=CD=12BC=3，

∴（r﹣1）2+（3）2=r2，解得r=2， ∵tan∠BOD=

BDOD=3， ∴∠BOD=60°，

∴∠BOC=2∠BOD=120°， 在Rt△OBE中，BE=3OB=23， ∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC =2S△OBE﹣S扇形BOC

=2×1120222×2×23﹣360

=43﹣

43π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．

6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC内接于O，ABAC,CO的延长线交AB于点D．

（1）求证AO平分BAC； （2）若BC6,sinBAC3，求AC和CD的长． 590. 13【答案】（1）证明见解析；（2）310；

（2）过点C作CE⊥AB于E

3∵sin∠BAC=,设AC=5m，则CE=3m

5∴AE=4m，BE=m

在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36 ∴m=310， 5∴AC=310 延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3， 过点O作OF⊥AH交AB于点F，

∵∠HOC=∠BAC ∴OH=4，OC=5

∴AH=9

1∴tan∠BAH=

315∴OF=AO=

33∵OF∥BC

5OFDODC-5∴，即3= BCDC6DC∴DC=

90. 13考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.

7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且ABAD，ACCD. (1)求证：△ACD∽△BAD； (2)求证：AD是⊙O的切线.

试题解析：（1）∵AB=AD， ∴∠B=∠D， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠D， ∴∠CAD=∠B， ∵∠D=∠D， ∴△ACD∽△BAD； （2）连接OA，

∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB， ∴∠OAB=∠CAD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∴OA⊥AD， ∴AD是⊙O的切线．

考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．

11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径； （3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

5【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.

2

试题解析：（1）连接EF，

∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线； （2）连接FD， 设⊙F的半径为r， 则r2=（r-1）2+22，

55解得，r=，即⊙F的半径为；

22（3）AG=AD+2CD． 证明：作FR⊥AD于R，

则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°， ∴四边形RCEF是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∵FR⊥AD， ∴AR=RD，

1∴EF=RD+CD=AD+CD，

2∴AG=2FE=AD+2CD．. 考点：圆的综合题．

13.（2017甘肃兰州第27题）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC∠AOD，∠D∠BAF. (1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为5，CE2，求EF的长.

（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；

（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

（2）连接BF，

∴∠FAC=∠AOD， ∴△ACE∽△DCA，

∴

ACAECE， OCOAACAC5∴

AE52AC，

∴AC=AE=10， ∵∠CAE=∠CBF， ∴△ACE∽△BFE， ∴

AEBE， CEEF108， 2EF810． 5∴

∴EF=

考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

（1）求证：PT2=PAPB；

（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．

（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线， ∴PT⊥OT， ∴∠PTO=90°， ∴∠PTA+∠OTA=90°， ∵AB是直径，

∴∠ATB=90°， ∴∠TAB+∠B=90°， ∵OT=OA， ∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P， ∴△PTA∽△PBT， ∴

PTPA， PBPT∴PT2=PAPB． （2）∵TP=TB=3， ∴∠P=∠B=∠PTA， ∵∠TAB=∠P+∠PTA， ∴∠TAB=2∠B， ∵∠TAB+∠B=90°， ∴∠TAB=60°，∠B=30°， ∴tanB=

AT3 TB3∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°， ∴△AOT是等边三角形，

601233∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=. 123604考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．

16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G． （1）求证：DF∥AO；

（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2. （1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点， ∴AC=AD，∵OC=OD， ∴OA⊥CD， ∴CD⊥OA， ∵CF是直径， ∴∠CDF=90°， ∴DF⊥CD， ∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M， ∵AC=6，AB=10， ∴BC=AB2AC2=8， ∴AD=AC=6， ∴BD=AB-AD=4， ∵BD2=BFBC， ∴BF=2，

1∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，

2∴OA=AC2OC2=35， ∵OC2=OEOA， ∴OE=

35， 5∵EM∥AC， ∴

EMOMOE1， ACOCOA53618∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，

555∴

EMFM3.63， CGFC655∴CG=EM=2．

3考点：切线的性质．

17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E． （1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．

（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC， ∴∠1=∠3， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠2， ∴OD∥AE， ∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE， ∴CE是⊙O的切线； （2）∵∠CDO=∠ADB=90°， ∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD， ∴

CDCBBD， CACDAD∴CD2=CBCA， ∴（32）2=3CA， ∴CA=6， ∴AB=CA﹣BC=3，

BD322,设BD=2K，AD=2K， AD62在Rt△ADB中，2k2+4k2=5， ∴k=

30， 630． 3∴AD=

考点：切线的判定与性质．

18.（2017建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．

333【答案】（1）证明见解析；（2）-．

22（1）如图所示，连接BO，

∵∠ACB=30°， ∴∠OBC=∠OCB=30°，

∵DE⊥AC，CB=BD，

1∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，

2∴∠BEC=∠BCE=30°，

∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°， ∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°， ∴BE是⊙O的切线； （2）当BE=3时，BC=3， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， 又∵∠ACB=30°， ∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，

1111∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣×3×22223333=-．

22考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．

1. (2017北京第24题)如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D.

（1）求证：DBDE；

（2）若AB12,BD5，求O的半径.

（1）证明：∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线，∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中, ∠4=∠5，∴DE=DB.

1BE=3，在 RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴2DF4AE4DF=52324∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中，sin∠AOE= ,

DE5AO515∵AE=6, ∴AO=.

2(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=

考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数

2. (2017天津第21题)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，ABT500，BT交⊙O于点

C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. （1）如图①，求T和CDB的大小； （2）如图②，当BEBC时，求CDO的大小.

：(1)如图，连接AC,21世纪教育网 ∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线， ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°. ∵ABT500， ∴∠T=90°-∠ABT=40°

由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;

（2）如图，连接AD,

在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65° ∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.

3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，点P在CA的延长线上，CAD45．

（Ⅰ）若AB4，求弧CD的长；

（Ⅱ）若弧BC弧AD，ADAP，求证：PD是O的切线．

（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=

1 AB=2，∴2CD的长=

902 =π； 180180COD（Ⅱ）∵BC=AD，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴

2180AOD∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠

2APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.

1 ∠CAD=°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又2

4. (2017河南第18题)如图，在ABC中， ABAC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点

C作CF//AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.

（1）求证：BDBF；

（2）若AB10，CD4，求BC的长.

(1)∵ABAC ∴∠ABC=∠ACB ∵CF//AB ∴∠ABC=∠FCB

∴∠ACB=∠FCB，即CB平分∠DCF ∵AB为⊙O直径

∴∠ADB=90°，即BDAC ∵BF为⊙O的切线 ∴BFAB ∵CF//AB ∴BFCF ∴BD=BF

考点：圆的综合题.

6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB与⊙O相切于C，OA,OB分别交⊙O于点D,E，

CDCE．

（1）求证：OAOB；

（2）已知AB43，OA4，求阴影部分的面积．

2【答案】（1）证明见解析（2）S阴影=23

3

试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB ∵CDCE ∴∠AOC=∠BOC 在△AOC和△BOC中，

AOCBOC OCOCOCAOCB90∴△AOC≌△BOC（ASA） ∴AO=BO

（2）由（1）可得AC=BC=∴在Rt△AOC中，OC=2 ∴∠AOC=∠BOC=60°

1AB=23 211∴S△BOC=BCOC=232=23

2260222S扇形BOC==

36032∴S阴影=S△BOCS扇形BOC=23

3考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积

7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，ABC的平分线交

AD于点E.

（1）求证：DEDB；

（2）若BAC90，BD4，求ABC外接圆的半径.

【

试题解析：（1）

AD平分BAC，BE平分ABC，BADCAD,ABECBE，又

BEDABEBAD，DBEDBCCBE，DBCDAC,BEDDBE.DEDB.

（2）解：连接CD，BAC90，BC是圆的直径.BDC90，

BDC90.BADCAD，BDCD，BDCD，BCD是等腰直角三角

形.BD4，BC42.ABC的外接圆的半径为22.

考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理 8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O与RtABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C,D;与边

BC相交于点F,OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.

（1）求证：DFAOAC6,AB10,CG （1）证明：AB与⊙O相切与点D

BCDBDF （弦切角定理） 又AC与⊙O相切与点C

由切线长定理得：ACAD,CAODAO;

CDAO

BCDCAODAO;

DAOBDF,即：

DFEEMOCMAC6,AB8BCAB2AC28ADAC6,BDABAD4BD2BFBCBF2;FCBCBF6,OC1FC3;OAAC2OC2352EMOMOE1;ACOCOA53618OM,EM;FMOFOM;35555OC2OEOA,解之得：OE(2017山东滨州第23题)

EMFM3.635;CGFC655CGEM23（本小题满分10分）

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）求证：DE2＝DF·DA．

【答案】详见解析. 试题解析：

证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；

∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．21世纪教育网 ∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，21世纪教育网

∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°． ∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；

（2）如图2，连接BE． ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD． ∴∠EBD＝∠BED，

∴DB＝DE．

∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴BD2＝DF·DA． ∴DE2＝DF·DA．

10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做

EFAB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且ABG2C.

（1）求证：EF是O的切线；

（2）若sinEGC，O的半径是3，求AF的长. 【答案】（1）详见解析；（2）

试题解析： (1)连接OE， 则EOG2C, ∵ABG2C ∴ABGEOG ∴AB//OE ∵EFAB ∴AFE900 ∴GEOAFE900 ∴OEEG

24. 535又∵OE是O的半径 ∴EF是O的切线；

（2）∵ABG2C，∵ABGCA ∴CA ∴BA=BC

又O的半径为3， ∴OE=OB=OC ∴BA=BC=2×3=6

在Rt△OEG中，sin∠EGC=OEOG，即353OG ∴OG=5

在Rt△FGB中，sin∠EGC=

BFGB，即35FB2 ∴BF=65

∴AF=AB-BF=6-6245=5.

考点：圆的综合题.

13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB是⊙O的直径，点C.连接BC.

（1）求证：BACCBP； （2）求证：PB2PCPA；

（3）当AC6,CP3时，求sinPAB的值. 【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3.

PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于【解析】

试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得

BACCBP；（2）先证△PB∽C△ABP，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用

PB2PCPA，得PB33，从而求sinPAB=3

试题解析： 【解】

（1）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠A+∠ABC=90° ∵PB与⊙O相切于点B ∴∠CBP+∠ABC=90° ∴BACCBP

(2)∵BACCBP，∠P=∠P ∴△PB∽C△ABP ∴

PBPCAPBP ∴PB2PCPA （3）∵AC6,CP3 ∴AP=9

∵PB2PCPA ∴PB33 ∴sinPAB=

PBAP9333 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，ADCD于点D,E是AB延长线上的一点，CE交O于点F，连接OC,AC．

(1)求证：AC平分DAO． (2)若DAO105，E30．

CD是O的切线，

①求OCE的度数．

②若O的半径为22，求线段EF的长．

【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②23-2. （1）解：∵直线与⊙O相切， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD,

∴AD（2）解：①∵AD②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=22,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2;

∵在RT△OGE中，∠E=30°， ∴GE=23, ∴EF=GE-FG=23-2.

15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）

如图，为RtC的直角边C上一点，以C为半径的与斜边相切于点D，交于点

．已知C3，C3． （1）求D的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）3（2）

 6（1）在Rt△ABC中，AB=AC2BC2=32(3)2=23

∵BC⊥OC ∴BC是⊙O的切线 ∵AB是⊙O的切线 ∴BD=BC=3 ∴AD=AB-BD=3

（2）在Rt△ABC中，sinA=∴∠A=30° ∵AB切⊙O于点D ∴OD⊥AB

∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵∴ODtanA=tan30 ADBC31 AB232OD3 =33∴OD=1

6012= ∴S阴影=3606考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积

16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与

B,C重合），PE是ABP的外接圆⊙O的直径.

（1）求证：APE是等腰直角三角形； （2）若⊙O的直径为2，求PC2PB2的值. 【答案】（1）证明见解析（2）4 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径，

∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB, 同理AP=AE,

又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE,

在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP+PB=PE=4.

考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形

14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．

2

2

2

【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】

试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；

（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．

试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．

考点：切线的判定与性质．

15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D． （1）求证：直线AE是⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=

310，CF=，求BF的长． 43

【答案】（1）证明见解析；（2）

521． 9（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=8242=43，Rt△ADB中，cos∠BAD=

3AD3AD=，∴=，∴AD=6，∴BD=8262 4AB48BF27BFBD，∴，∴10FCAC433=27，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴

BF=

521． 9

考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．