届中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明
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(2017浙江衢州第19题)如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D。连结OD,作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F。已知CE=12,BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] (1)求证:△COD∽△CBE; (2)求半圆O的半径r的长
:
试题解析: (1)∵CD切半圆O于点D, ∴CD⊥OD, ∴∠CDO=90°, ∵BE⊥CD, ∴∠E=90°=∠CDO, 又∵∠C=∠C, ∴△COD∽△CBE.
(2)在Rt△BEC中,CE=12,BE=9, ∴BC=CE2BE2=15, ∵△COD∽△CBE. ∴
r15rODOC,即,
915BEBC45. 8解得:r=
考点:1. 切线的性质;2.相似三角形的判定与性质.
2.(2017山东德州第20题)如图,已知RtΔABC,∠C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.
(1)求证:DE是圆O的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6,求AE的长.
(1)如图所示,连接OE,CE
∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点
1∴ED=BC=DC
2∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.
考点:圆切线判定定理及相似三角形
3.(2017甘肃庆阳第27题)如图,AN是⊙M的直径,NB∥x轴,AB交⊙M于点C. (1)若点A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是⊙M的切线.
(1)∵A的坐标为(0,6),N(0,2), ∴AN=4,
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8,
∴由勾股定理可知:NB=AB2AN243, ∴B(43,2).
(2)连接MC,NC ∵AN是⊙M的直径, ∴∠ACN=90°, ∴∠NCB=90°,
在Rt△NCB中,D为NB的中点,
∴CD=12NB=ND,
∴∠CND=∠NCD, ∵MC=MN, ∴∠MCN=∠MNC, ∵∠MNC+∠CND=90°, ∴∠MCN+∠NCD=90°, 即MC⊥CD.
∴直线CD是⊙M的切线.
考点:切线的判定;坐标与图形性质.
4.(2017广西贵港第24题)如图,在菱形ABCD中,点P在对角线AC上,且PAPD,PAD的外接圆.
(1)求证:AB是O的切线; (2)若AC8,tanBAC22,求O的半径. 【答案】(1)证明见解析;(2)
3. (1)连结OP、OA,OP交AD于E,如图, ∵PA=PD, ∴弧AP=弧DP, ∴OP⊥AD,AE=DE,
O是
∴∠1+∠OPA=90°, ∵OP=OA, ∴∠OAP=∠OPA, ∴∠1+∠OAP=90°, ∵四边形ABCD为菱形, ∴∠1=∠2, ∴∠2+∠OAP=90°, ∴OA⊥AB,
∴直线AB与⊙O相切;
(2)连结BD,交AC于点F,如图, ∵四边形ABCD为菱形, ∴DB与AC互相垂直平分, ∵AC=8,tan∠BAC=2, 22DF=, AF2∴AF=4,tan∠DAC=∴DF=22,
∴AD=AF2DF2=26, ∴AE=6,
在Rt△PAE中,tan∠1=∴PE=3,
设⊙O的半径为R,则OE=R﹣3,OA=R, 在Rt△OAE中,∵OA=OE+AE, ∴R2=(R﹣6)2+(3)2, ∴R=
36, 436. 42
2
2
2PE=, AE2即⊙O的半径为
考点:切线的判定与性质;菱形的性质;解直角三角形.
5.(2017贵州安顺第25题)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE. (1)求证:BE与⊙O相切;
(2)设OE交⊙O于点F,若DF=1,BC=2 3,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)43﹣(1)证明:连接OC,如图,
4π. 3
∵CE为切线, ∴OC⊥CE, ∴∠OCE=90°, ∵OD⊥BC, ∴CD=BD,
即OD垂中平分BC,
∴EC=EB, 在△OCE和△OBE中
OCOBOEOE, ECEB∴△OCE≌△OBE, ∴∠OBE=∠OCE=90°, ∴OB⊥BE, ∴BE与⊙O相切;
(2)解:设⊙O的半径为r,则OD=r﹣1,
在Rt△OBD中,BD=CD=12BC=3,
∴(r﹣1)2+(3)2=r2,解得r=2, ∵tan∠BOD=
BDOD=3, ∴∠BOD=60°,
∴∠BOC=2∠BOD=120°, 在Rt△OBE中,BE=3OB=23, ∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC =2S△OBE﹣S扇形BOC
=2×1120222×2×23﹣360
=43﹣
43π. 考点:切线的判定与性质;扇形面积的计算.
6.(2017湖北武汉第21题)如图,ABC内接于O,ABAC,CO的延长线交AB于点D.
(1)求证AO平分BAC; (2)若BC6,sinBAC3,求AC和CD的长. 590. 13【答案】(1)证明见解析;(2)310;
(2)过点C作CE⊥AB于E
3∵sin∠BAC=,设AC=5m,则CE=3m
5∴AE=4m,BE=m
在RtΔCBE中,m2+(3m)2=36 ∴m=310, 5∴AC=310 延长AO交BC于点H,则AH⊥BC,且BH=CH=3, 过点O作OF⊥AH交AB于点F,
∵∠HOC=∠BAC ∴OH=4,OC=5
∴AH=9
1∴tan∠BAH=
315∴OF=AO=
33∵OF∥BC
5OFDODC-5∴,即3= BCDC6DC∴DC=
90. 13考点:1.全等三角形的判定与性质;2.解直角三角形;3.平行线分线段成比例.
7.(2017湖南怀化第23题)如图,已知BC是⊙O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且ABAD,ACCD. (1)求证:△ACD∽△BAD; (2)求证:AD是⊙O的切线.
试题解析:(1)∵AB=AD, ∴∠B=∠D, ∵AC=CD, ∴∠CAD=∠D, ∴∠CAD=∠B, ∵∠D=∠D, ∴△ACD∽△BAD; (2)连接OA,
∵OA=OB, ∴∠B=∠OAB, ∴∠OAB=∠CAD, ∵BC是⊙O的直径, ∴∠BAC=90°, ∴OA⊥AD, ∴AD是⊙O的切线.
考点:相似三角形的判定与性质;切线的判定.
11.(2017江苏盐城第25题)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与y轴相交于另一点G.
(1)求证:BC是⊙F的切线;
(2)若点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0),求⊙F的半径; (3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
5【答案】(1)证明见解析;(2)⊙F的半径为;(3)AG=AD+2CD.证明见解析.
2
试题解析:(1)连接EF,
∵AE平分∠BAC, ∴∠FAE=∠CAE, ∵FA=FE, ∴∠FAE=∠FEA, ∴∠FEA=∠EAC, ∴FE∥AC,
∴∠FEB=∠C=90°,即BC是⊙F的切线; (2)连接FD, 设⊙F的半径为r, 则r2=(r-1)2+22,
55解得,r=,即⊙F的半径为;
22(3)AG=AD+2CD. 证明:作FR⊥AD于R,
则∠FRC=90°,又∠FEC=∠C=90°, ∴四边形RCEF是矩形, ∴EF=RC=RD+CD, ∵FR⊥AD, ∴AR=RD,
1∴EF=RD+CD=AD+CD,
2∴AG=2FE=AD+2CD.. 考点:圆的综合题.
13.(2017甘肃兰州第27题)如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC∠AOD,∠D∠BAF. (1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,CE2,求EF的长.
(1)由BC是⊙O的直径,得到∠BAF+∠FAC=90°,等量代换得到∠D+∠AOD=90°,于是得到结论;
(2)连接BF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.
(2)连接BF,
∴∠FAC=∠AOD, ∴△ACE∽△DCA,
∴
ACAECE, OCOAACAC5∴
AE52AC,
∴AC=AE=10, ∵∠CAE=∠CBF, ∴△ACE∽△BFE, ∴
AEBE, CEEF108, 2EF810. 5∴
∴EF=
考点:切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
14.(2017贵州黔东南州第21题)如图,已知直线PT与⊙O相切于点T,直线PO与⊙O相交于A,B两点.
(1)求证:PT2=PAPB;
(2)若PT=TB=3,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:连接OT.
∵PT是⊙O的切线, ∴PT⊥OT, ∴∠PTO=90°, ∴∠PTA+∠OTA=90°, ∵AB是直径,
∴∠ATB=90°, ∴∠TAB+∠B=90°, ∵OT=OA, ∴∠OAT=∠OTA,
∴∠PTA=∠B,∵∠P=∠P, ∴△PTA∽△PBT, ∴
PTPA, PBPT∴PT2=PAPB. (2)∵TP=TB=3, ∴∠P=∠B=∠PTA, ∵∠TAB=∠P+∠PTA, ∴∠TAB=2∠B, ∵∠TAB+∠B=90°, ∴∠TAB=60°,∠B=30°, ∴tanB=
AT3 TB3∴AT=1,
∵OA=OT,∠TAO=60°, ∴△AOT是等边三角形,
601233∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=. 123604考点:相似三角形的判定与性质;切线的性质;扇形面积的计算.
16.(2017四川泸州第24题)如图,⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D,与边BC相交于点F,OA与CD相交于点E,连接FE并延长交AC边于点G. (1)求证:DF∥AO;
(2)若AC=6,AB=10,求CG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)2. (1)证明:连接OD.
∵AB与⊙O相切与点D,又AC与⊙O相切与点, ∴AC=AD,∵OC=OD, ∴OA⊥CD, ∴CD⊥OA, ∵CF是直径, ∴∠CDF=90°, ∴DF⊥CD, ∴DF∥AO.
(2)过点作EM⊥OC于M, ∵AC=6,AB=10, ∴BC=AB2AC2=8, ∴AD=AC=6, ∴BD=AB-AD=4, ∵BD2=BFBC, ∴BF=2,
1∴CF=BC-BF=6.OC=CF=3,
2∴OA=AC2OC2=35, ∵OC2=OEOA, ∴OE=
35, 5∵EM∥AC, ∴
EMOMOE1, ACOCOA53618∴OM=,EM=,FM=OF+OM=,
555∴
EMFM3.63, CGFC655∴CG=EM=2.
3考点:切线的性质.
17.(2017四川宜宾第23题)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E. (1)求证:直线CE是⊙O的切线. (2)若BC=3,CD=32,求弦AD的长.
(1)证明:连结OC,如图,
∵AD平分∠EAC, ∴∠1=∠3, ∵OA=OD, ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠2, ∴OD∥AE, ∵AE⊥DC, ∴OD⊥CE, ∴CE是⊙O的切线; (2)∵∠CDO=∠ADB=90°, ∴∠2=∠CDB=∠1,∵∠C=∠C,
∴△CDB∽△CAD, ∴
CDCBBD, CACDAD∴CD2=CBCA, ∴(32)2=3CA, ∴CA=6, ∴AB=CA﹣BC=3,
BD322,设BD=2K,AD=2K, AD62在Rt△ADB中,2k2+4k2=5, ∴k=
30, 630. 3∴AD=
考点:切线的判定与性质.
18.(2017建设兵团第22题)如图,AC为⊙O的直径,B为⊙O上一点,∠ACB=30°,延长CB至点D,使得CB=BD,过点D作DE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,连接BE. (1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)当BE=3时,求图中阴影部分的面积.
333【答案】(1)证明见解析;(2)-.
22(1)如图所示,连接BO,
∵∠ACB=30°, ∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵DE⊥AC,CB=BD,
1∴Rt△DCE中,BE=CD=BC,
2∴∠BEC=∠BCE=30°,
∴△BCE中,∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°, ∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°, ∴BE是⊙O的切线; (2)当BE=3时,BC=3, ∵AC为⊙O的直径, ∴∠ABC=90°, 又∵∠ACB=30°, ∴AB=tan30°×BC=3, ∴AC=2AB=23,AO=3,
1111∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣×3×22223333=-.
22考点:切线的判定与性质;扇形面积的计算.
1. (2017北京第24题)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证:DBDE;
(2)若AB12,BD5,求O的半径.
(1)证明:∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线,∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,在△DEB中, ∠4=∠5,∴DE=DB.
1BE=3,在 RT△DEF中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , ∴2DF4AE4DF=52324∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中,sin∠AOE= ,
DE5AO515∵AE=6, ∴AO=.
2(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=
考点:圆的性质,切线定理,三角形相似,三角函数
2. (2017天津第21题)已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,ABT500,BT交⊙O于点
C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D. (1)如图①,求T和CDB的大小; (2)如图②,当BEBC时,求CDO的大小.
:(1)如图,连接AC,21世纪教育网 ∵AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线, ∴AT⊥AB,即∠TAB=90°. ∵ABT500, ∴∠T=90°-∠ABT=40°
由AB是⊙O的直径,得∠ACB=90°, ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;
(2)如图,连接AD,
在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°, ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65° ∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
3. (2017福建第21题)如图,四边形ABCD内接于O,AB是O的直径,点P在CA的延长线上,CAD45.
(Ⅰ)若AB4,求弧CD的长;
(Ⅱ)若弧BC弧AD,ADAP,求证:PD是O的切线.
(Ⅰ)连接OC,OD,∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC=
1 AB=2,∴2CD的长=
902 =π; 180180COD(Ⅱ)∵BC=AD,∴∠BOC=∠AOD,∵∠COD=90°,∴∠AOD= =45°,∵OA=OD,∴
2180AOD∠ODA=∠OAD,∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA==°,∵AD=AP,∴∠ADP=∠
2APD,∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=∵OD是半径,∴PD是⊙O的切线.
1 ∠CAD=°,∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,又2
4. (2017河南第18题)如图,在ABC中, ABAC,以AB为直径的⊙O交AC边于点D,过点
C作CF//AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.
(1)求证:BDBF;
(2)若AB10,CD4,求BC的长.
(1)∵ABAC ∴∠ABC=∠ACB ∵CF//AB ∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF ∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°,即BDAC ∵BF为⊙O的切线 ∴BFAB ∵CF//AB ∴BFCF ∴BD=BF
考点:圆的综合题.
6. (2017湖南长沙第23题)如图,AB与⊙O相切于C,OA,OB分别交⊙O于点D,E,
CDCE.
(1)求证:OAOB;
(2)已知AB43,OA4,求阴影部分的面积.
2【答案】(1)证明见解析(2)S阴影=23
3
试题解析:(1)连接OC,则OC⊥AB ∵CDCE ∴∠AOC=∠BOC 在△AOC和△BOC中,
AOCBOC OCOCOCAOCB90∴△AOC≌△BOC(ASA) ∴AO=BO
(2)由(1)可得AC=BC=∴在Rt△AOC中,OC=2 ∴∠AOC=∠BOC=60°
1AB=23 211∴S△BOC=BCOC=232=23
2260222S扇形BOC==
36032∴S阴影=S△BOCS扇形BOC=23
3考点:1、切线的性质,2、三角形的面积,3、扇形的面积
7. (2017山东临沂第23题)如图,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,ABC的平分线交
AD于点E.
(1)求证:DEDB;
(2)若BAC90,BD4,求ABC外接圆的半径.
【
试题解析:(1)
AD平分BAC,BE平分ABC,BADCAD,ABECBE,又
BEDABEBAD,DBEDBCCBE,DBCDAC,BEDDBE.DEDB.
(2)解:连接CD,BAC90,BC是圆的直径.BDC90,
BDC90.BADCAD,BDCD,BDCD,BCD是等腰直角三角
形.BD4,BC42.ABC的外接圆的半径为22.
考点:1、三角形的外接圆的性质,2、圆周角定理,3、三角形的外角性质,4、勾股定理 8. (2017四川泸州第24题)如图,⊙O与RtABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C,D;与边
BC相交于点F,OA与CD相交于点E,连接FE并延长交AC边于点G.
(1)求证:DFAOAC6,AB10,CG (1)证明:AB与⊙O相切与点D
BCDBDF (弦切角定理) 又AC与⊙O相切与点C
由切线长定理得:ACAD,CAODAO;
CDAO
BCDCAODAO;
DAOBDF,即:
DFEEMOCMAC6,AB8BCAB2AC28ADAC6,BDABAD4BD2BFBCBF2;FCBCBF6,OC1FC3;OAAC2OC2352EMOMOE1;ACOCOA53618OM,EM;FMOFOM;35555OC2OEOA,解之得:OE(2017山东滨州第23题)
EMFM3.635;CGFC655CGEM23(本小题满分10分)
如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC. (1)求证:直线DM是⊙O的切线; (2)求证:DE2=DF·DA.
【答案】详见解析. 试题解析:
证明:(1)如图1,连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;
∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.21世纪教育网 ∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G,21世纪教育网
∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°. ∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;
(2)如图2,连接BE. ∵点E是△ABC的内心, ∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD. ∴∠EBD=∠BED,
∴DB=DE.
∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB, ∴△DBF∽△DAB, ∴BD2=DF·DA. ∴DE2=DF·DA.
10. (2017辽宁沈阳第22题)如图,在ABC中,以BC为直径的O交AC于点E,过点E做
EFAB于点F,延长EF交CB的延长线于点G,且ABG2C.
(1)求证:EF是O的切线;
(2)若sinEGC,O的半径是3,求AF的长. 【答案】(1)详见解析;(2)
试题解析: (1)连接OE, 则EOG2C, ∵ABG2C ∴ABGEOG ∴AB//OE ∵EFAB ∴AFE900 ∴GEOAFE900 ∴OEEG
24. 535又∵OE是O的半径 ∴EF是O的切线;
(2)∵ABG2C,∵ABGCA ∴CA ∴BA=BC
又O的半径为3, ∴OE=OB=OC ∴BA=BC=2×3=6
在Rt△OEG中,sin∠EGC=OEOG,即353OG ∴OG=5
在Rt△FGB中,sin∠EGC=
BFGB,即35FB2 ∴BF=65
∴AF=AB-BF=6-6245=5.
考点:圆的综合题.
13. (2017山东菏泽第22题)如图,AB是⊙O的直径,点C.连接BC.
(1)求证:BACCBP; (2)求证:PB2PCPA;
(3)当AC6,CP3时,求sinPAB的值. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)3.
PB与⊙O相切于点B,连接PA交⊙O于【解析】
试题分析:(1)根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等,即可证得
BACCBP;(2)先证△PB∽C△ABP,根据相似三角形的性质即可得结论; (3)利用
PB2PCPA,得PB33,从而求sinPAB=3
试题解析: 【解】
(1)∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠A+∠ABC=90° ∵PB与⊙O相切于点B ∴∠CBP+∠ABC=90° ∴BACCBP
(2)∵BACCBP,∠P=∠P ∴△PB∽C△ABP ∴
PBPCAPBP ∴PB2PCPA (3)∵AC6,CP3 ∴AP=9
∵PB2PCPA ∴PB33 ∴sinPAB=
PBAP9333 14. (2017浙江金华第22题)如图,已知:AB是O的直径,点C在O上,ADCD于点D,E是AB延长线上的一点,CE交O于点F,连接OC,AC.
(1)求证:AC平分DAO. (2)若DAO105,E30.
CD是O的切线,
①求OCE的度数.
②若O的半径为22,求线段EF的长.
【答案】(1)详见解析;(2)①∠OCE=45°;②23-2. (1)解:∵直线与⊙O相切, ∴OC⊥CD; 又∵AD⊥CD,
∴AD(2)解:①∵AD②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=22,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2;
∵在RT△OGE中,∠E=30°, ∴GE=23, ∴EF=GE-FG=23-2.
15. (2017浙江湖州第21题)(本小题8分)
如图,为RtC的直角边C上一点,以C为半径的与斜边相切于点D,交于点
.已知C3,C3. (1)求D的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)3(2)
6(1)在Rt△ABC中,AB=AC2BC2=32(3)2=23
∵BC⊥OC ∴BC是⊙O的切线 ∵AB是⊙O的切线 ∴BD=BC=3 ∴AD=AB-BD=3
(2)在Rt△ABC中,sinA=∴∠A=30° ∵AB切⊙O于点D ∴OD⊥AB
∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵∴ODtanA=tan30 ADBC31 AB232OD3 =33∴OD=1
6012= ∴S阴影=3606考点:1、切线的性质,2、勾股定理,3、解直角三角形,4、扇形的面积
16. (2017浙江台州第22题) 如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与
B,C重合),PE是ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证:APE是等腰直角三角形; (2)若⊙O的直径为2,求PC2PB2的值. 【答案】(1)证明见解析(2)4 (1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径,
∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. (2)∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AC=AB, 同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ∴CP=BE,
在Rt△BPE中,∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP+PB=PE=4.
考点:1、全等三角形的判定与性质,2、等腰三角形的判定与性质,3、勾股定理,4、圆心角、弧、弦的关系,5、等腰直角三角形
14.(2017四川省南充市)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若CF=2,DF=4,求⊙O直径的长.
2
2
2
【答案】(1)证明见解析;(2)6. 【解析】
试题分析:(1)连接OD、CD,由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形,结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE,由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案;
(2)设⊙O的半径为r,由OD2+DF2=OF2,即r2+42=(r+2)2可得r=3,即可得出答案.
试题解析:(1)如图,连接OD、CD.∵AC为⊙O的直径,∴△BCD是直角三角形,∵E为BC的中点,∴BE=CE=DE,∴∠CDE=∠DCE,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵∠ACB=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,∴∠ODC+∠CDE=90°,即OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为r,∵∠ODF=90°,∴OD2+DF2=OF2,即r2+42=(r+2)2,解得:r=3,∴⊙O的直径为6.
考点:切线的判定与性质.
15.(2017四川省广安市)如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外,做直线AE,且∠EAC=∠D. (1)求证:直线AE是⊙O的切线. (2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=
310,CF=,求BF的长. 43
【答案】(1)证明见解析;(2)
521. 9(1)连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠ADC+∠CDB=90°,∵∠EAC=∠ADC,∠CDB=∠BAC,∴∠EAC+∠BAC=90°,即∠BAE=90°,∴直线AE是⊙O的切线;
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,Rt△ACB中,∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×4=8,由勾股定理得:AC=8242=43,Rt△ADB中,cos∠BAD=
3AD3AD=,∴=,∴AD=6,∴BD=8262 4AB48BF27BFBD,∴,∴10FCAC433=27,∵∠BDC=∠BAC,∠DFB=∠AFC,∴△DFB∽△AFC,∴
BF=
521. 9
考点:1.切线的判定与性质;2.解直角三角形.
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