专题四 与圆有关的计算
类型一 与切线有关的简单证明与计算
(2018·昆明)如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF. (1)求证：AD⊥ED；
(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．
【分析】 (1)连接OC，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD，∠CHF＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径． 【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；
例1题解图
(2)解：OC交BF于点H，如解图， ∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°， 易得四边形CDFH为矩形，
∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH＝4， ∴BF＝8，
在Rt△ABF中，AB＝AF＋BF＝2＋8＝217， ∴⊙O的半径为17.
1．(2018·河南说明与检测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点． (1)若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证：△PBC≌△AOC；
︵
(2)若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D，当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，求BC的长．
2222
︵
2．(2018·河南说明与检测)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C为AB的中点，延长OC到点D，使CD＝OC，AB交OC于点E. (1)求证：DA是⊙O的切线； (2)若OA＝6，求弦AB的长．
3．(2018·河南说明与检测)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，∠CAE＝∠ADF. (1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．
4．(2018·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求证：AD是⊙O的切线；
1
(2)若BC＝8，tan B＝，求⊙O的半径．
2
5．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC是⊙O的切线；
1
(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．
2
6．(2018·天津)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°. ︵
(Ⅰ)如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
图①
图②
7．(2018·信阳一模)如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接AF，BF，求∠ABF的度数．
︵
8．(2018·河南说明与检测)如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH. (1)求证：AC＝CD； (2)若OB＝2，求BH的长．
类型二 与四边形判定结合的证明与计算
(2018·河南)如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F. (1)求证：CE＝EF；
(2)连接AF并延长，交⊙O于点G.填空：
①当∠D的度数为________时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为________时，四边形ECOG为正方形．
例2题图
【分析】 (1)连接OC，如解图，利用切线的性质得∠1＋∠4＝90°，再利用等腰三角形的性质和互余证明∠1＝∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
(2)①要证明四边形ECFG为菱形，可知△CEF为等边三角形，∵∠ACB＝90°，∠CFE＝60°，∴∠D可求；
②∵四边形ECOG为正方形，∴∠COG＝90°，∠COF＝45°，则∠COA＝45°，根据△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，则∠D可求． 【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图， ∵CE为切线，∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°， ∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°， ∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°，
又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE； (2)解：①当∠D＝30°时，四边形ECFG为菱形， 【解法提示】∵四边形ECFG为菱形， ∴CE＝CF＝FG＝EG， 由(1)知CE＝EF， ∴△ECF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∵∠DCF＝90°，
∴∠D＝90°－60°＝30°.
②当∠D＝22.5°时，四边形ECOG为正方形． 【解法提示】
例2题解图
∵四边形ECOG为正方形， ∴CO＝CE，∴∠OCE＝90°， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45°， ∵DO⊥AB， ∴∠DOA＝90°，
∴COA＝∠DOA－∠COE＝45°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝67.5°，
∴∠D＝90°－62.5°＝22.5°.
1．(2016·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E. (1)求证：MD＝ME； (2)填空：
①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝______；
②连接OD，OE，当∠A的度数为__________时，四边形ODME是菱形．
2．(2015·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD、PO. (1)求证：△CDP≌△POB； (2)填空：
①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为______；
②连接OD，当∠PBA的度数为__________时，四边形BPDO是菱形．
3．(2014·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.
(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； (2)填空：
①当DP＝______ cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝________ cm时，四边形AOBP是正方形．
4．(2018·驻马店一模)如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC＝CO，点B在⊙O上，且∠CAB＝30°.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5 cm时， ①当弧CD长为______时，四边形ADPB为菱形； ②当弧CD长为______时，四边形ADCB为矩形．
5．(2018·濮阳一模)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC.
(1)求证：四边形OCAD是平行四边形； (2)探究：
①当∠B＝________°时，四边形OCAD是菱形； ②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．
6．(2017·河南模拟)已知：如图，在平行四边形ABCD中，⊙O是经过A、B、C三点的圆，CD与⊙O相切︵
于点C，点P是BC上的一个动点(点P不与B、C点重合)，连接PA、PB、PC. (1)求证：CA＝CB；
(2)①当点P满足______________时，△CPA≌△ABC，请说明理由； ②当∠ABC的度数为__________时，四边形ABCD是菱形．
7．(2018·河南说明与检测)如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E.
(1)求证：△ABE≌△CDE. (2)填空：
①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形； ②若AE＝3，AB＝22，则DE的长为_________．
8．(2018·河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB，点M为半圆上一动点(不与点A，B重合)，点N︵
为AM的中点，ND⊥AB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C.
(1)若MC∥AB， ①求证：AD＝CN；
②填空：四边形OMCD是何种特殊的四边形？________． (2)填空：当∠ANM＝____________时，四边形ANMO为菱形．
9．(2018·河南说明与检测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.
(1)求证：OE∥AD； (2)填空：
①∠BAC＝________°时，四边形ODEB是正方形； ②当∠BAC＝________°时，AD＝3DE.
10．(2017·濮阳一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF.
(1)求证：△DAC≌△ECP； (2)填空：
①四边形ACED是何种特殊的四边形？
②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是______________．
11．如图，已知⊙A的半径为4，EC是⊙A的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF.
(1)试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由； (2)填空：
①当∠CAB＝__________时，四边形ADFE为菱形； ②当EF＝___________时，四边形ACBF为正方形．
12．(2018·河南说明与检测)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F. (1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG.设⊙O的半径为5. ①当CF＝__________时，四边形ABCG为菱形； ②当BC＝45时，四边形ABCG的面积是__________．
类型一 针对训练
1．(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.
∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形． ∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°. ∴∠AOC＝∠PBC＝120°. ∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP. ∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠PCB. 在△AOC和△PBC中，
∠AOC＝∠PBCOC＝BC
，∴△PBC≌△AOC. ∠AOC＝∠PCB
(2)解：如解图①，∵四边形AOCD为菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC. 连接OD，则OA＝OD＝OC， ∴△AOD和△COD都是等边三角形． ∴∠AOD＝∠COD＝60°. ∴∠BOC＝60°.
参考答案
︵60π×3∴BC的长为＝π.
180
︵120π×3
如解图②，同理，∠BOC＝120°，BC的长为＝2π.
180︵
综上可知，BC的长为π或2π.
图①
图② 第1题解图
︵
2．(1)证明：如解图，连接AC.∵C是AB的中点， ︵︵∴AC＝BC.
第2题解图
∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形． ∴∠OAC＝∠OCA＝60°，AC＝OC. ∵CD＝OC， ∴CD＝AC.
1
∴∠DAC＝∠D＝∠OCA＝30°.
2∴∠DAO＝∠OAC＋∠DAC＝90°. ∵OA是⊙O的半径， ∴DA是⊙O的切线．
(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝60°， ∴AE＝BE，OE⊥AB.
在Rt△AOE中，AE＝OA·sin 60°＝6×∴AB＝2AE＝63.
3
＝33. 2
3．(1)证明：AB与⊙O相切，理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAE＋∠AEC＝90°， ∵∠CAE＝∠ADF， ∠AEC＝∠FDC，
∴∠ADF＋∠FDC＝90°，即∠ADC＝90°. ∴CD⊥AB.
又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切．
(2)解：连接FC，DE，如解图， ∵CD为⊙O的直径，∴∠DEC＝90°， ∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA， ∵∠DEA＝∠DCF，
∴∠CAE＝∠DCF，即∠CAP＝∠FCP， ∵∠CPA＝∠FPC， ∴△CAP～△FCP， ∴PCPF＝PAPC， ∴
PCPA＝PF1PC＝2
， ∴PA＝2PC＝4PF， ∴PF＝13AF＝53，
∴CP＝2PF＝10
3.
4．(1)证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠3＝∠B， ∵∠B＝∠1， ∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°， ∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，
第3题解图
第4题解图
∴OD⊥AD， ∵OD为⊙O的半径， ∴AD为⊙O的切线； (2)解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，AC＝BC·tan B＝4， 根据勾股定理得：AB＝4＋8＝45， ∴OA＝45－r，
1
在Rt△ACD中，tan∠1＝tan B＝，
2∴CD＝AC·tan∠1＝2，
根据勾股定理得：AD＝AC＋CD＝16＋4＝20， 在Rt△ADO中，OA＝OD＋AD，即(45－r)＝r＋20， 35
解得：r＝.
2
5．(1)证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵∠BCE＝∠B， ∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，
AC1
在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，
AB2∴AC＝4，
在Rt△AEC中，∵EC＝AE＋AC， ∴x＝(8－x)＋4，解得x＝5， ∴CE＝5.
6．解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°， ∴∠ACB＝90°，∠ABC＝52°， ︵
∵D为AB的中点，∠AOB＝180°，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴∠AOD＝90°， ∴∠ABD＝45°. (Ⅱ)连接OD，如解图， ∵DP切⊙O于点D， ∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°， 由DP∥AC，又∵∠BAC＝38°， ∴∠P＝∠BAC＝38°， ∵∠AOD是△ODP的一个外角， ∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°， ∴∠ACD＝64°， ∵OC＝OA，∠BAC＝38°， ∴∠OCA＝∠BAC＝38°，
∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.
第6题解图
7．(1)证明：连接OB，如解图， ∵CE＝CB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵CD⊥OA，
∴∠DAE＋∠AED＝90°， 又∵∠CEB＝∠AED， ∴∠DAE＋∠CBE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA＋∠CBE＝90°，即∠OBC＝90°， ∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线；
(2)解：连接OF，交AB于点H，如解图， ∵DF⊥OA，AD＝OD， ∴FA＝FO， 又∵OF＝OA，
∴△OAF为等边三角形， ∴∠AOF＝60°，
1
∴∠ABF＝∠AOF＝30°.
2
第7题解图
8．(1)证明：连接OC，如解图，
第8题解图
︵
∵C是AB的中点，AB是⊙O的直径， ∴CO⊥AB.
∵BD是⊙O的切线， ∴BD⊥AB. ∴OC∥BD， ∵OA＝OB， ∴AC＝CD.
(2)解：∵E是OB的中点， ∴OE＝BE.
在△COE和△FBE中，∠CEO＝∠FEB，OE＝BE， ∠COE＝∠FBE， ∴△COE≌FBE， ∴CO＝BF，∵OB＝2，
∴BF＝2，∴AF＝AB＋BF＝25， ∵AB是直径，∴BH⊥AF， ∴△ABF∽△BHF， ∴
ABAF＝， BHBF
2
2
即AB·BF＝AF·BH， AB·BF4×245∴BH＝＝＝.
AF525类型二 针对训练
1．(1)证明：∵∠ABC＝90°，AM＝MC， ∴BM＝AM＝MC，∴∠A＝∠ABM， ∵四边形ABED是圆内接四边形， ∴∠ADE＋∠ABE＝180°，
又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA， 同理证明：∠MED＝∠A， ∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME. (2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE， DEMD
∴DE∥AB，∴＝，
ABMA∵AD＝2DM，∴DM∶MA＝1∶3， 11
∴DE＝AB＝×6＝2.
33故答案为2.
第1题解图
②当∠A＝60°时，四边形ODME是菱形．理由如下： 如解图，∵四边形ODME是菱形，∴OD＝OE＝DM＝MG， ∵DM＝ME，
∴△DME是等边三角形，∴∠EDM＝60°，∵DE∥AB， ∴∠A＝∠MDE＝60°.
2．(1)证明：∵PC＝PB，D是AC的中点， ∴DP∥AB，
1
∴DP＝AB，∠CPD＝∠PBO，
21
∵BO＝AB，
2∴DP＝BO，
在△CDP与△POB中， DP＝BO
∠CPD＝∠PBO， PC＝PB
∴△CDP≌△POB(SAS)；
(2)4【解法提示】①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，∵AB＝4，∴OA＝2，∴最大面积为2×2＝4；
第2题解图
②60°【解法提示】连接OD，如解图，∵DP∥AB，DP＝BO， ∴四边形BPDO是平行四边形， ∵四边形BPDO是菱形，∴PB＝BO， ∵PO＝BO，∴PB＝BO＝PO，
∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°.
第3题解图
3．(1)证明：连接OA，如解图， ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°， ∴∠ACP＝30°，
∵∠APO＝30°，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP， ∴△ACP是等腰三角形． (2)解：①DP＝1，理由如下： ∵四边形AOBD是菱形， ∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°， ∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1， ②DP＝2－1，理由如下：
∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°， ∵OA＝PA＝1，OP＝2， ∴DP＝OP－1，∴DP＝2－1. 4．(1)证明：如解图①，连接OB、BC. ∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠COB＝∠OAB＋∠OBA＝60°， ∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OC，∵PC＝OC， ∴BC＝CO＝CP， ∴∠PBO＝90°，
∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线．
图①
图②
图③ 第4题解图
︵5π
(2)解：①CD的长为 cm时，四边形ADPB是菱形．理由如下：
3如解图②，∵四边形ADPB是菱形，∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠COD＝2∠CAD＝60°， ︵60·π·55π∴CD的长为＝ cm.
180310π
②当弧CD的长为 cm时，
3四边形ADCB为矩形，理由如下：
︵120·π·510π
如解图③，当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD＝120°，∴CD的长为＝ cm. 18035．(1)证明：∵OA＝OC，AD＝OC， ∴OA＝AD， ∠AOD＝∠ADO， ∵OD∥AC， ∴∠OAC＝∠AOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，
∴∠AOC＝∠OAD， ∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形；
(2)解：①30【解法提示】∵四边形OCAD是菱形， ∴OC＝AC， 又∵OC＝OA， ∴OC＝OA＝AC， ∴∠AOC＝60°， 1
∴∠B＝∠AOC＝30°；
2
②当∠B＝45°时，AD与⊙O相切，理由如下： ∵AD与⊙O相切， ∴∠OAD＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠AOC＝90°， 1
∴∠B＝∠AOC＝45°.
2
6．(1)证明：连接CO并延长交AB于点E，如解图①， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴CE⊥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴CE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴BC＝AC；
(2)解：①当AC＝AP时，△CPA≌△ABC. 理由如下：∵AC＝BC，AC＝AP， ∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP， ∵∠ABC＝∠APC， ∴∠BAC＝∠ACP，
∠APC＝∠ABC
在△CPA与△ABC中，∠ACP＝∠CAB，
AC＝CA∴△CPA≌△ABC；
图①
图② 第6题解图
②当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形．理由如下： 如解图②，连接OC，OB， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠BCO＝30°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝30°， ∴∠ABO＝30°， ∴BO垂直平分AC， ∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
7．(1)证明：∵AB＝AC, CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD. ∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC＋∠AEC＝180°，∠BAE＋∠BCE＝180°. ∵∠CED＋∠AEC＝180°，∠ECD＋∠BCE＝180°， ∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠BAE. ∴∠CED＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB.
AB＝CD
在△ABE和△CDE中，∠CED＝∠AEB，
∠DCE＝∠BAE∴△ABE≌△CDE.
(2)解：①60；②5
3
3.
8．解：(1)① 连接ON，如解图． 点N为︵
AM的中点，∴AN＝MN， ∵OA＝OM，ON＝ON，∴△AON≌△MON. ∴∠OAN＝∠OMN，
∵CM为⊙O的切线，∴CM⊥OM.
∴∠CMN＋∠OMN＝90°， ∵ND⊥AB，
∴∠NAD＋∠AND＝90°， ∴∠AND＝∠CMN， ∵MC∥AB，CD⊥AB， ∴MC⊥ND，即∠NCM＝90°. 又∵AN＝NM，∠ADN＝90°， ∴△AND≌△NMC，∴AD＝CN. ②矩形． (2)120.
9．(1)证明：连接OD， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，
OD＝OB，
OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE. ∴∠DOE＝∠BOE＝1
2
∠DOB，
第8题解图
第9题解图
1
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠DOB，
2∴∠BOE＝∠A， ∴OE∥AD.
(2)解：①45° ②30°
10．(1)证明：∵DE为⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∵点C为AP的中点， ∴DC⊥AP，
∴∠DCA＝∠DCP＝90°， ∵AB是⊙O直径， ∴∠APB＝90°， ∴四边形DEPC为矩形， ∴DC＝EP，
在△DAC和△ECP中， AC＝PC
∠ACD＝∠CPE， DC＝EP
∴△DAC≌△ECP；
(2)解：①∵△DAC≌△ECP， ∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECP， ∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形； 1
②DF＝AP.理由如下：
2∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∵AD∥CE， ∴∠ADO＝∠DCF， ∴∠DAO＝∠DCF， ∴A，C，F，D四点共圆， ︵︵∴AC＝DF， ∴AC＝DF， 1
∵AC＝AP，
2
1∴DF＝AP.
2
11．(1)证明：BF与⊙A相切，理由如下： ∵BC是⊙A的切线，∠ACB＝90°， ∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB， 又∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠FAB＝∠CAB， 在△ABC和△ABF中 AF＝AC
∠FAB＝∠CAB， AB＝AB
∴△ABC≌△ABF(SAS)；
∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∵AF是⊙A的半径， ∴BF与⊙O相切． (2)①解：60°理由如下： 连接CF，如解图所示，
第11题解图
若四边形ADFE为菱形，则AE＝EF＝FD＝DA， 又∵CE＝2AE，CE是圆A的直径， ∴CE＝2EF，∠CFE＝90°， ∴∠ECF＝30°， ∴∠CEF＝60°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF＝∠CAB， ∴∠CAB＝60°； ②42.理由如下：
若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE， ∴EF＝AE＋AF＝42.
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