人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数 课时训练(含答案)

课时训练

一、选择题（本大题共12道小题）

1. 某商品进货单价为

90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商

品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A．130元/个 C．110元/个

2. 某公园草坪的防护栏是由

B．120元/个 D．100元/个

100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每

段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )

A．50 m C．160 m

3. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不

B．100 m D．200 m

同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )

26

A．y＝675x2 13

C．y＝1350x2

4. 如图，利用一面墙，其他三边用

26

B．y＝－675x2 13

D．y＝－1350x2

80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为301 / 12

米，则围成矩形场地的最大面积为( )

A．800平方米 C．600平方米

5. 有一根长

B．750平方米 D．2400平方米

60 cm的铁丝，用它围成一个矩形，则矩形的面积S(cm2)与它的一边

长x(cm)之间的函数解析式为( ) A．S＝60x

B．S＝x(60－x) D．S＝30x

y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是y

C．S＝x(30－x)

6. 如图，铅球运动员掷铅球的高度

125

＝－12x2＋3x＋3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )

A．6 m

7. 如图，在△

B．12 m C．8 m D．10 m

ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC

向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为 ( )

A．19 cm2

8. 如图，△

B．16 cm2

C．15 cm2

D．12 cm2

ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A

出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP面积的最小值是( )

2 / 12

A．8 cm2

9. 用长为

B．16 cm2

C．24 cm2

D．32 cm2

12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃

是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2，则S的最大值为( )

A．123

10. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离

B．12 C．243 D．没有最大值

4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线

运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )

1

A．此抛物线的解析式是y＝－5x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是2 m

11. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形

ABCD是边长为80 cm的正方形硬

纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取( )

3 / 12

A．30

12. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分(如

B．25 C．20

14

D．15

图)，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是( )

13

A．y＝－x2＋x＋1

4413

C．y＝－x2－x＋1

44

13

B．y＝－x2＋x－1

4413

D．y＝－x2－x－1

44

二、填空题（本大题共6道小题）

13. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m2.

14. 某大学生利用业余时间销售一种进价为

60元/件的文化衫，前期了解并整理

了销售这种文化衫的相关信息如下：

(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；

(2)工商部门售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)． 给出下列结论：

①这种文化衫的月销量最小为100件； ②这种文化衫的月销量最大为260件； ③销售这种文化衫的月利润最小为2600元； ④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．

其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)

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15. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，

并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.

16. 某电商销售一款夏季时装，进价

40元/件，售价110元/件，每天销售20件，

每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t· 为正整数)的增大而增大，a．．．．的取值范围应为________．

17. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴

绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.

18. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔

1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．

三、解答题（本大题共3道小题）

19. 有一个窗户边框的形状如图①，上部是由4个全等扇形组成的半圆，下部是矩形，如果制作窗户边框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？

这个例题的答案是当窗户半圆的半径约为0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列问题：

5 / 12

(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；

(2)与题干中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

20. 如图，工人师傅用一块长为

10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长

方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．

(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长；

(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少元？

21. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长

为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

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人教版 九年级数学 22.3 实际问题与二次函数

课时训练-答案

一、选择题（本大题共12道小题） 1. 【答案】B [解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．

2. 【答案】C

[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建

立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．

3. 【答案】B

[解析] 设二次函数的解析式为y＝ax2.由题可知，点A的坐标为(－

2

26

45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)，解得a＝－675，∴二次函数解析式26

为y＝－675x2.故选B.

4. 【答案】B

[解析] 设矩形场地中平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长

80－x

为2米，围成矩形场地的面积为y平方米， （80－x）1212

则y＝x·＝－x＋40x＝－(x－40)＋800.

222

∵a<0，∴x<40时，y随x的增大而增大，由于墙长为30米，∴0x＝30时，y取得最大值，为－2×(30－40)2＋800＝750.

5. 【答案】C

7 / 12

6. 【答案】D

125125

[解析] 把y＝0代入y＝－12x2＋3x＋3，得－12x2＋3x＋3＝0，

解得x1＝10，x2＝－2.又∵x＞0，∴x＝10. 故选D.

7. 【答案】C

[解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，

∴AC＝AB2－BC2＝6 cm.

设运动时间为t s(0四边形PABQ

1111＝S△ABC－S△CPQ＝2AC·BC－2PC·CQ＝2×6×8－2(6－t)×2t＝t2－6t＋

24＝(t－3)2＋15，

∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取得最小值，最小值为15 cm2. 故选C.

8. 【答案】A

[解析] 设运动时间为t s，四边形BCQP的面积为S m2，

则S＝

AB·ACAP·AQ8×62t×t2－＝－＝－t＋24. 2222

∵点P从点A出发，沿AB方向以2 m/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6， ∴0∴当t＝4时，S取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm2)．

9. 【答案】A

[解析] 连接EC，过点D作DF⊥EC，垂足为F.

∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，∠EAB＝∠CBA＝90°，∴∠DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°.

∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°， ∴∠CEA＝∠ECB＝90°， ∴四边形EABC为矩形． ∵DE＝x m，

1

∴AE＝(6－x)m，DF＝2x m，EC＝3x m，

8 / 12

113 32

∴S＝2·3x·2x＋(6－x)·3x＝－4x＋6 3x(010. 【答案】A

[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，

∴可设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋3.5.

11

∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－5.∴y＝－5x2＋3.5.可见选项A正确．

由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B错误． 由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C错误．

1将x＝－2.5代入抛物线的解析式，得y＝－5×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m可见选项D错误． 故选A.

11. 【答案】C

[解析] 如图，设BE＝CF＝x cm，则EF＝(80－2x)cm.∵△EFM和

△CFN都是等腰直角三角形，

2

∴MF＝2EF＝(40 2－2x)cm，FN＝2CF＝2x cm，

∴包装盒的侧面积＝4MF·FN＝4·2x(40 2－2x)＝－8(x－20)2＋3200， 故当x＝20时，包装盒的侧面积最大．

12. 【答案】A [解析] A，B两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入

1

y＝－x2＋bx＋c，求出b，c的值即可．

4

二、填空题（本大题共6道小题）

13. 【答案】144 【解析】∵围墙的总长为50 m，设3间饲养室合计长x m，则

48－x48－x12

饲养室的宽＝4 m，∴总占地面积为y＝x·4＝－4x＋12x(0＜x＜48)，

9 / 12

111

由y＝－4x2＋12x＝－4(x－24)2＋144，∵x＝24在0＜x＜48范围内，a＝－4<0，∴在0＜x≤24范围内，y随x的增大而增大，∴x＝24时，y取得最大值，y＝144 m2.

14. 【答案】①②③ [解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400， ∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，

∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确； 当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确； 设销售这种文化衫的月利润为W元，

则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800， ∵70≤x≤150，

∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；

当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误． 故答案为①②③.

15. 【答案】75

最大

[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m，则与墙平行的一边的长为

27－(3x－1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，30

∴当x＝－＝5时，S最大，S

2×（－3）养室总占地面积最大为75 m2.

16. 【答案】0最大值

＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲

【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝(110－40－

t)(20＋4t)－(20＋4t)a化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商－（260－4a）

平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则≥30，

2×（－4）解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.

17. 【答案】0.5 [解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐

标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.

18. 【答案】1.6

秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，

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故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．

三、解答题（本大题共3道小题）

19. 【答案】

55

解：(1)设窗户的透光面积为S m2，则由已知得AD＝4 m，∴S＝4. 5

故此时窗户的透光面积为4 m2. (2)变大了．

7

理由：设AB＝x m，则AD＝(3－4x)m. 7

∵3－4x＞0， 12

∴0＜x＜7. 77769

由已知得S＝AB·AD＝x(3－4x)＝－4x2＋3x＝－4(x－7)2＋7. 612

∵x＝7在0＜x＜7范围内，

69

∴当x＝7时，S取得最大值，S最大值＝7＞1.05，

∴与题干中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大了．

20. 【答案】

解：(1)如图所示：

设裁掉的正方形的边长为x dm. 由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，

即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)．

答：当裁掉的正方形的边长为2 dm时，长方体底面面积为12 dm2. (2)∵长方体的底面长不大于底面宽的五倍， ∴10－2x≤5(6－2x)，解得x≤2.5，

11 / 12

∴0设总费用为w元，由题意可知

w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24. ∵此函数图象的对称轴为直线x＝6，图象开口向上， ∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝2.5时，w有最小值，最小值为25.

答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm时，总费用最低，最低为25元．

21. 【答案】

解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积1

的2倍，∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－4x＋10，3331

3a＝－4x＋30，∴y＝(－4x＋30)x＝－4x2＋30x.∵a＝－4x＋10＞0，∴x＜40，3

则y＝－4x2＋30x(0＜x＜40)．

333

(2)∵y＝－4x2＋30x＝－4(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数为－4＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值是300.

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