高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分

1. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.

(2) (1) 的弧段.

Cx2ydxxdy, 其中C为曲线yx3上从点(1,1)到点(1,1)的弧段； PdxQdyRdz, 其中L为曲线xt,yt,zt上相应于参数t从变到L2. 计算曲线积分

OA(x2y2)dxxydy，其中O为坐标原点，点A的坐标为(1,1)：

(1) OA为直线段yx； (2) OA为抛物线段yx； (3) OA为y,x1的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：

dxdyC|x||y|，其中C为y1|x|上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)的折线段；

πxacost,(2) ydxxdy, 其中C为t:0； Cyasint4xt,222(3) (yz)dx2yzdyxdz, 其中L为yt,(t:01).

Lztx2y21,(4) (zy)dx(xz)dy(yx)dz, 其中L为椭圆 且从z轴正向

Lxyz2,看去, L取顺时针方向.

4. 计算下列变力F在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.

(1)

(1) F(x2y,xy), 沿平面曲线r(t)(t,t)从参数t0到t1的点. (2) F(x2,xy,z2), 沿空间曲线r(t)(sint,cost,t)从参数t0到t5. 设变力F在点M(x,y)处的大小||F||k||r||，方向与r成

y

234π的点. 2F 的角, 其中rOM(图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点A(a,0)移到点B(,a)时F所作的功：

(1) 圆周xya在第一象限内的弧段； (2) 星形线xya在第一象限内的弧段.

r O

M(x, y)

x 图 10-38

6. 在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族yasinx(a0)中，求一条曲线C，使沿该曲

线从O到A的积分7. 把第二类曲面积分

C(1y3)dx(2xy)dy的值最小.

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy

化为第一类曲面积分：

(1) 为平面xza被柱面xya所截下的部分, 并取上侧；

222(2) 为抛物面yx22z2被平面y2所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：

(1) (2) (3)

zdxdy, 其中为平面xyz1位于第一卦限部分, 并取上侧；

2x2y2zdxdy, 其中为球面xyzR的下半部分, 并取外侧；

x2edydzyedzdxxyydxdy, 其中为抛物面zx2y2 (0x1,

y), 并取上侧；

(4)

xdydzydzdxzdxdy, 其中为球面x2222y2z21位于第二卦限部分,

并取外侧； (5)

xydydzyzdzdxzxdxdy, 其中为平面x0, y0, z0和xyz1所围立体的表面, 并取外侧；

xdydzz2dxdy222(6) , 其中为圆柱面xyR与平面zR和zR 222xyz(R0)所围立体的表面, 并取外侧；

(7)

ydzdx(z1)dxdy, 其中为圆柱面xy被平面xz和z所截下的部分, 并取外侧； (8)

ydydzxdzdxzdxdy, 其中为螺旋面xucosv，yusinv，zv，

2(0u1, 0vπ), 并取上侧.

9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面流向指定侧的流量：

(1) v(x,y,z)(x2,y2z2), 为球面xyz第一卦限部分, 流向上侧； (2) v(x,y,z)(x2,xy,y2), 为曲面zxy和平面z所围立体的表面, 流向

外侧.

