误差分析例题

【例1】某电流表测得的电流⽰值为0.83m Ａ，查该电流表的检定证书，得知该电流表在0.8m Ａ及其附近的修正值都为 -0.02m Ａ，那么被测电流的实际值为多少？ 【解】：A x C =+＝0.83m Ａ+（-0.02m Ａ）＝0.81m Ａ

【例2】某电压表的S=1.5，计算它在0V~100V 的量限内的最⼤绝对误差。 【解】：该表的满量程值为Ｙm ＝100V ，由式（1-8）得到

△ x m ＝m γ×Ｙm ＝±1.5 %×100＝±1.5V

【例3】检定⼀个1.5级、满量程值为10mA 的电流表，若在5mA 处的绝对误差最⼤且为0.13mA （即其他刻度处的绝对误差均⼩于0.13mA ），问该表是否合格？ 【解】：根据式（1-7），可求得该表实际引⽤误差为：100%m m mx Y γ?=＝mA mA10130.＝1.3 %

因为m γ＝1.3 % <1.5 %，所以该表是合格的。

根据式（1-6）和式（1-8）可知，S 级仪表在其量限Y m 内的任⼀⽰值x 的相对误差为：100%m m mx x Y x xγγ??==?

（1-9） 【例4】 某电流表为1.0级，量程100mA ，分别测100mA 、80mA 、20mA 的电流，求测

量时的绝对误差和相对误差。 【解】：由前所述，⽤此表的100mA 量程进⾏测量时，不管被测量多⼤，该表的绝对误差不会超过某⼀个最⼤值，即

△ x m ＝m γ×Ｙm =±1.0%×100=±1 mA 对于不同的被测电流，其相对误差为：11

1%100m x x γ?±===± 21

1.25%80m x x γ?±===±315%20

m x x γ?±===±

【例5】某被测电压为10V ，现有量程为150V 、0.5级和量程为15V 、1.5级两块电压表，

问选⽤哪块表更为合适？ 【解】：使⽤150V 电压表，最⼤绝对误差为：△ x m =±0.5%×150V=±0.75V

则测量10V 电压所带来的相对误差为：γ1=(±0.75/10) ×100%=±7.5% 使⽤15V 电压表，最⼤绝对误差为：△ x m=±1.5%×15V=±0.225V

则测量10V 电压所带来的相对误差为：γ2=(±0.225/10) ×100%=±2.25% 可见，γ2 ＜γ1，所以应该选⽤15V 、1.5级的电压表。

【例6】⽤温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表），求测量值的平均值及其标准偏差。

【解】：（1）计算平均值：111

(528531529527531533529530532530531)11n i i x x n ===++++++++++∑=530.1℃

（2）求残余误差：i i v x x =-

()x σ=1.767℃

（4）计算算术平均值标准偏差：

0.53=℃ 【例7】已知随机误差服从正态分布，分别求出误差落在区间［-σ，σ］、［-2σ，2σ］、［-3σ，3σ］内的置信概率。 【解】：由题中所知置信因数K 分别为1、2、3，经查表得：K =1时，P =68 % K =2时，P =95.4 % K =3时，P =99.73%

【例8】检查例6中的测量数据有⽆粗⼤误差，设置信概率为95%。 【解】：（1）计算得530.1x =℃ ，() 1.767x σ=℃残差中4v =3.1最⼤，是可疑数据。（2）⽤莱特准则检验

3σ =3×1.767=5.301＞4v ，故可判断测量数据中没有粗⼤误差。（3）⽤格拉布斯准则检验

n=11，P=0.95，经查表得G=2.23，G σ=2.23×1.767=3.94041＞4v ，故可判断测量数据中没有粗⼤误差。【例9】对某电压进⾏了16次等精度测量，测量数据中已记⼊修正值，列于表中。要求给n x x )()(σσ=

【解】：(1) 求算术平均值： 1

205.3016i i x x ===∑

(2) 计算i i v x x =-并列⼊表中，验证1610ii v==∑

(3) 标准偏差的估计值： ()0.04434x σ= (4) 按莱特准则检查有⽆粗⼤误差，3σ=1.330，查表5v ＞3σ，所以第5个测量数据含有粗⼤误差，为坏值，应剔除

（5）对剩余的15个数据重新计算，205.21x =，重新计算残余误差'i v 并列⼊表中，验证15'

10ii v ==∑，重新计算'

0.27σ==，再按莱特准则检查有⽆粗⼤误差，3σ=0.81，各'i v 均⼩于3σ，剩余的15个数据⽆粗⼤误差（6）对'i v 作图，判断有⽆变值系统误差，如图1-9所⽰，从图中可见⽆明显累进性周期性系统误差

图1-9 残差图

（7）计算算术平均值的标准偏差 0.27()0.0715x σ===

（8）写出最后结果的表达式'()205.20.2x x K x σ=±?=±V

【例10】⽤⽤两种⽅法测量某电压，第⼀种⽅法测量6次，其算术平均值U 1=10.3V ，标准偏差1()0.2U V σ=；第⼆种⽅法测量8次，其算术平均值U 2=10.1V ，标准偏差2()0.1U V σ=。求电压的估计值和标准偏差，并写出测量结果。 【解】：计算两种测量⽅法的权：122

1()0.2W U λλσ==， 222

2()0.1W U λλσ==

令λ=1，则110.04W =，210.01

W = 电压的估计值为： 1122121110.310.01

0.040.0110.14110.040.01WU W U U V W W ?+?+===++

电压估计值的标准偏差为：()0.0U V σ==

测量结果为：U =10.14±3×0.0=10.14±0.027V

【例11】电阻R 1=2KΩ、R 2=3KΩ，相对误差均为±5%，求串联后总的相对误差。 【解】：串联后的总电阻为：12R R R =+12R R R ?=?+?

12(5%5%)R R R R R R γ±+?===125%()R R R±+ =±5%

【例12】⽤间接法测量电阻上消耗的功率。利⽤公式P=IU 测量，已知γI 、 γU ，问功率的相对误差是多⼤？【解】：利⽤公式

【例13】有四个500Ω电阻串联，各电阻的系统误差分别为：ε1=4Ω、ε2=2Ω、ε3=5Ω、ε4=3Ω，求串联后总电阻的系统误差？

【解】：1234R R R R R εεεεε=+++=4+2+5+3=14Ω

【例14】⽤某⼀型号的晶体管毫伏表3V 量程测⼀个100KHz 、1.5V 的电压，已知该表的固有误差为±5%（1KHz 时），频率附加误差为±3%（20Hz ～1MHz ），分压器附加误差为±10%，求测量总的相对误差。【解】：（1）求⽰值相对误差：mx x xγ?=

5%30.15m m m x y V γ?==±?=±0.1510%1.5x γ±=

=± （2）⽤绝对值和法计算测量的相对误差：()(10%3%10%)23%ym x f R γγγγ=±++=±++=±UI P ni i i U

U I I IU U I I U P P UI I U UU P

I I P x x f P γγγ+=?+?=?+?=?=?+?=+==?∑= 1

（3）⽤⽅和根法计算测量的相对误差：14.5%ym γ==±

【例15】当利⽤公式2P I Rt =测量直流电能量时,要求测量电能的总误差不于±1.2%，误差怎样分配?【解】：(2)P I R t γγγγ=±++若按等准确度分配,()1 1.2%0.3%4I R t γγγ===?±=±。

【例16】⼀整流电路，在滤波电容两端并联⼀泄放电阻，欲测量其消耗功率，要求功率的测量误差不⼤于±5%，初测电阻上的电压为10V ，电流80mA ，问选⽤哪⼀等级的电压表和电流表测量？【解】： 1080800R R R P U I m W ==?=

()8005%40P mW ε≤?±=±，即总误差不超过40mW ，P U I p PU I

εεε??=

+?? U I I U εε=+，按照等作⽤分配⽅法，12

U P I εε≤，400.25280U V ε±≤=±?

测量电压应选⽤1.5级、10V 或1.5级15V 电压表。同理，402210

I mA ε±≤=±?，测量电压应选⽤1.5级100m 电流表。

【例17】测量电阻消耗的功率时，可间接测量电阻两端的电压、流过的电流，采⽤不同的⽅案计算得到。设电阻、电流、电压测量的相对误差为±1%、±2.5%和±2%，问采⽤哪种测量⽅案好。【解】：⽅案1： P U I = (2% 2.5%) 4.5%P U I γγγ=+=±+=±

⽅案2： 2P I R = 2(2 2.5%1%)6%P I R γγγ=+=±?+=± ⽅案3： 2P U R = 2(22%1%)5%P U R γγγ=-=±?+=±

【例18】某标准电阻R S 的校准证书说明：标准电阻的标称值为10Ω，在23℃时，电阻⼤⼩为10.000742±0.000129，其不确定度区间的置信概率为99%。求电阻的标准不确定度。 【解】：由校准证书的信息已知置信区间的半宽为α=129µΩ，P=0.99假设概率分布为正态分布，查表得K =2.576 电阻的标准不确定度为：()B S U R =129µΩ/2.576=50µΩ

【例19】⼀台数字电压表出⼚时的技术规范说明：“在仪器检定后的⼀年内，1V 的不确定度是读数的14×10-6倍加量程的2×10-6倍”。在仪器检定后10个⽉，在1V 量程上测量电压，得到⼀组独⽴重复条件下测量列的算术平均值为0.928571V ，已知其A 类不确定度为14µV ，假设概率分布为均匀分布，计算数字电压表在1V 量程上的合成不确定度。 【解】：计算B 类不确定度：区间半宽α=14×10-6×0.928571+2×10-6×1=15µV概率分布为均匀分布，K

()8.7B U U Kα==µV

合成标准不确定度为15C U =µV

例21】⽤⼀套测量系统测电流，其不确定度≤±1%，现等精密度测量11次，得到下表数据，求测量结果。

【解】：（1）求算术平均值：111

1 2.66911i i I I mA ===∑；（2）求残差：i i v I I =-，见下表；

（3）验证I 和i v ：I 有舍⼊误差，1110.001ii v==∑＜322

1010110.0055mn --?=?=，所以

I 和i v 计算正确；

（4) 计算标准偏差：0.0858σ==； （5）判断粗⼤误差：

根据格拉布斯准则，在置信概率为95%，测量次数n=11时，查表得g=2.23，

2.230.08580.191g σ?=?=，经检查在11次测量中最⼤的残差为60.219v =＞0.191，所以6I 含有粗⼤误差，为异常值，应将其剔除，在余下的10个测量值中重复（1）～（5）的步骤：11'1

6 2.691i i i I I mA =≠==∑，新的残余误差'i v 值见表,'I ⽆舍⼊误差，'0i v =∑，所以'I 和'i v 计算正确，重新计算'

0.0482σ==，

在置信概率为95%，测量次数n=10时，查表得g=2.18， 2.180.04820.105g σ?=?=，经检查在剩余的10次测量中，没有残余误差超过 0.105，所以不存在异常值；（6）计算A类不确定度：'()0.0152A U I =；

（7）计算B 类不确定度：半宽'1% 2.6911%0.02691I α=?=?=，假设误差的分布为均匀分布，()0.0155B U I Kα==；

（8

）计算合成不确定度：0.0217C U ==；

（9）计算扩展不确定度：20.02170.04340.043c KU =?=≈； （10）写出测量结果表达式：'2.6910.043C I I KU mA =±=±

20．对某振荡器的输出频率等精度测量11次，测量值为：10.01、10.05、10.11、10.10、10.12、10.10、10.12、10.08、10.10、10.03、10.06，单位KHz ，该测量系统的不确定度为±0.1%，试写出测量结果。

[例2-1] 检定⼀个1.5级、满量程值为10mA 的电流表，若在5mA 处的绝对误差最⼤且为0.13mA （即其他刻度处的绝对误差均⼩于0.13mA ），问该表是否合格？

解：可求得该表实际引⽤误差为：因此，该表是合格的。

[例2-2] 某电流表1.0级，量程100mA ，分别测100mA 、80mA 、20mA 的电流，求测量时的绝对误差和相对误差。解：由前所述，⽤此表的100mA 量程进⾏测量时，不管被测量多⼤，该表的绝对误差不会超过某⼀个最⼤值，△Ｙm ＝γm ×Ｙm=1.0%×100=1 mA

⽽相对误差，则对于不同的被测电流，可求得

[例3-3]被测电压为10V 现有150V 、0.5级和15V 、1.5级两块电压表，问选⽤哪块表更为合适？

解：①使⽤150V 电压表，则测量的最⼤绝对误差为ΔUm=0.5%×150V=0.75V

则测量10V电压所带来的相对误差γ1=(0.75/10) ×100%=7.5%

②使⽤15V电压表，则测量的最⼤绝对误差为ΔUm=1.5%×15V=0.225V则测量10V电压所带来的相对误差γ2=(0.225/10) ×100%=2.25%

可知，γ2 ＜γ1，所以应该选⽤15V、1.5级的电压表。

例：⽤电压表测量三组数据，其平均值分别为21.1、21.3、21.5V，且其算术平均值的标准差分别为0.20、0.10、0.05V，求测量的最佳估计值。

解：三组数据的权分别为：

W1：W2：W3=1/0.202：1/0.102：1/0.052=1：4：16

第三组权最⼤，所以加权平均值最接近21.5V。