误差分析例题

【例1】某电流表测得的电流示值为0.83mＡ，查该电流表的检定证书，得知该电流表在0.8mＡ及其附近的修正值都为 -0.02mＡ，那么被测电流的实际值为多少？ 【解】：AxC＝0.83mＡ+（-0.02mＡ）＝0.81mＡ

【例2】某电压表的S=1.5，计算它在0V~100V的量限内的最大绝对误差。 【解】：该表的满量程值为Ｙm＝100V，由式（1-8）得到

△ x m ＝m×Ｙm ＝±1.5 %×100＝±1.5V

【例3】检定一个1.5级、满量程值为10mA的电流表，若在5mA处的绝对误差最大且为0.13mA（即其他刻度处的绝对误差均小于0.13mA），问该表是否合格？ 【解】：根据式（1-7），可求得该表实际引用误差为：

mxm013mA＝1.3 % 100%＝

10mAYm.因为m＝1.3 % <1.5 %，所以该表是合格的。

根据式（1-6）和式（1-8）可知，S级仪表在其量限Ym内的任一示值x的相对误差为：

xmmYm 100% （1-9）

xx【例4】 某电流表为1.0级，量程100mA，分别测100mA、80mA、20mA的电流，求测量时的绝对误差和相对误差。 【解】：由前所述，用此表的100mA量程进行测量时，不管被测量多大，该表的绝对误差不会超过某一个最大值，即

x △ x m＝m×Ｙm=±1.0%×100=±1 mA 对于不同的被测电流，其相对误差为：

xm11% x100x12m1.25%

x80x13m5%

x20【例5】某被测电压为10V，现有量程为150V、0.5级和量程为15V、1.5级两块电压表，问选用哪块表更为合适？ 【解】：使用150V电压表，最大绝对误差为：△ x m =±0.5%×150V=±0.75V

则测量10V电压所带来的相对误差为：γ1=(±0.75/10) ×100%=±7.5% 使用15V电压表，最大绝对误差为：△ x m =±1.5%×15V=±0.225V

则测量10V电压所带来的相对误差为：γ2=(±0.225/10) ×100%=±2.25% 可见，γ2 ＜γ1，所以应该选用15V、1.5级的电压表。

【例6】用温度计重复测量某个不变的温度，得11个测量值的序列（见下表），求测量值的平均值及其标准偏差。

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 / 8

xi(℃) 528 531 529 527 531 533 529 530 532 530 531 【解】：（1）计算平均值：

1n1xxi(528531529527531533529530532530531)

ni111=530.1℃

（2）求残余误差：vixix

vi -2.1 0.9 -1.1 -3.1 0.9 2.9 -1.1 -0.1 0.9 -0.1 0.9 （3）计算标准偏差： 1n2(x)vin1i1=1.767℃

（4）计算算术平均值标准偏差：

(x) (x)n

1.7670.53℃ =11【例7】已知随机误差服从正态分布，分别求出误差落在区间［-，］、［-2，2］、［-3，3］内的置信概率。 【解】：由题中所知置信因数K分别为1、2、3，经查表得：

K=1时，P=68 % K=2时，P=95.4 % K=3时，P=99.73%

【例8】检查例6中的测量数据有无粗大误差，设置信概率为95%。 【解】：（1）计算得x530.1℃ ，(x)1.767℃

残差中v4=3.1最大，是可疑数据。

（2）用莱特准则检验

3 =3×1.767=5.301＞v4，故可判断测量数据中没有粗大误差。

（3）用格拉布斯准则检验

n=11，P=0.95，经查表得G=2.23，G=2.23×1.767=3.94041＞v4，故可判断测量数据中没有粗大误差。

【例9】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出测量结果表达式。 序号 1 2 测量值（V） 205.3 204.94 vi 0 -0.4 vi' 0.09 -0.27 序号 9 10 测量值（V） 205.71 204.7 vi 0.41 -0.6 vi' 0.5 -0.51 2 / 8

3 4 5 6 7 8 205.63 205.24 206.65 204.97 205.36 205.16 0.33 -0.1 1.35 -0.3 0.06 -0.1 0.42 0.03 - -0.24 0.15 -0.05 11 12 13 14 15 16 204.86 205.35 205.21 205.19 205.21 205.32 -0.44 0.05 -0.09 -0.11 -0.09 0.02 -0.35 0.14 0 -0.02 0 0.11 116【解】：(1) 求算术平均值： xxi205.30

16i1(2) 计算vixix并列入表中，验证

vi116i0

1162(x)vi0.04434(3) 标准偏差的估计值： 161i1(4) 按莱特准则检查有无粗大误差，3=1.330，查表v5＞3，所以第5个测量数

据含有粗大误差，为坏值，应剔除

（5）对剩余的15个数据重新计算，x205.21，重新计算残余误差vi并列入表中，

'116'2v0，重新计算验证vi0.27，再按莱特准则检查有无粗大误差，151i1i115'i'i53=0.81，各vi'均小于3，剩余的15个数据无粗大误差

（6）对vi'作图，判断有无变值系统误差，如图1-9所示，从图中可见无明显累进性周期性系统误差

图1-9 残差图

（7）计算算术平均值的标准偏差 (x)'150.27150.07

（8）写出最后结果的表达式xx'K(x)205.20.2V

【例10】用用两种方法测量某电压，第一种方法测量6次，其算术平均值U1=10.3V，标准偏差(U1)0.2V；第二种方法测量8次，其算术平均值U2=10.1V，标准偏差(U2)0.1V。求电压的估计值和标准偏差，并写出测量结果。 【解】：计算两种测量方法的权：W1(U1)20.22， W2(U2)20.12

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令=1，则W111，W2 0.040.011110.310.01WU0.040.0111W2U210.14V 电压的估计值为： U11W1W20.040.01电压估计值的标准偏差为：

(U)Wj12j1110.040.010.0080.0V

测量结果为：U=10.14±3×0.0=10.14±0.027V

【例11】电阻R1=2KΩ、R2=3KΩ，相对误差均为±5%，求串联后总的相对误差。 【解】：串联后的总电阻为：RR1R2

RR1R2

RRR(5%R15%R2)R

=

5%(R1R2)R =±5%

【例12】用间接法测量电阻上消耗的功率。利用公式P=IU测量，已知γI 、 γU ，问功率的相对误差是多大？

n【解】：利用公式 fPPPxiIU xIUi1i UIIU

PUIIUIUP

PIUIU

IU【例13】有四个500Ω电阻串联，各电阻的系统误差分别为：ε1=4Ω、ε2=2Ω、ε3=5Ω、ε4=3Ω，求串联后总电阻的系统误差？

【解】：RR1R2R3R4=4+2+5+3=14Ω

【例14】用某一型号的晶体管毫伏表3V量程测一个100KHz、1.5V的电压，已知该表的固有误差为±5%（1KHz时），频率附加误差为±3%（20Hz～1MHz），分压器附加误差为±10%，求测量总的相对误差。

【解】：（1）求示值相对误差：xxm xxmmym5%30.15V

x0.1510% 1.5（2）用绝对值和法计算测量的相对误差：

ym(xfR)(10%3%10%)23%

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（3）用方和根法计算测量的相对误差：

22222ymx2fR10%3%10%14.5%

【例15】当利用公式PI2Rt测量直流电能量时,要求测量电能的总误差不于±1.2%，误差怎样分配?

【解】：P(2IRt)

11.2%0.3%。 4【例16】一整流电路，在滤波电容两端并联一泄放电阻，欲测量其消耗功率，要求功率的测量误差不大于±5%，初测电阻上的电压为10V，电流80mA，问选用哪一等级的电压表和电流表测量？

若按等准确度分配,IRt【解】： PRURIR1080800mW

P8005%40mW，即总误差不超过40mW，

PpPUI UI140IUUI，按照等作用分配方法，IUP，U0.25V

2280测量电压应选用1.5级、10V或1.5级15V电压表。

40同理，I2mA，测量电压应选用1.5级100m电流表。

210【例17】测量电阻消耗的功率时，可间接测量电阻两端的电压、流过的电流，采用不同的方案计算得到。设电阻、电流、电压测量的相对误差为±1%、±2.5%和±2%，问采用哪种测量方案好。

【解】：方案1： PUI PUI(2%2.5%)4.5%

方案2： PI2R P2IR(22.5%1%)6% 方案3： PU2R P2UR(22%1%)5%

【例18】某标准电阻RS的校准证书说明：标准电阻的标称值为10Ω，在23℃时，电阻大小为10.000742±0.000129，其不确定度区间的置信概率为99%。求电阻的标准不确定度。 【解】：由校准证书的信息已知置信区间的半宽为α=129μΩ，P=0.99

假设概率分布为正态分布，查表得K=2.576 电阻的标准不确定度为：UB(RS)=129μΩ/2.576=50μΩ

【例19】一台数字电压表出厂时的技术规范说明：“在仪器检定后的一年内，1V的不确定度是读数的14×10-6倍加量程的2×10-6倍”。在仪器检定后10个月，在1V量程上测量电压，得到一组重复条件下测量列的算术平均值为0.928571V，已知其A类不确定度为14μV，假设概率分布为均匀分布，计算数字电压表在1V量程上的合成不确定度。 【解】：计算B类不确定度：区间半宽=14×10-6×0.928571+2×10-6×1=15μV

概率分布为均匀分布，K=3 5 / 8

UB(U)K1538.7μV

合成标准不确定度为UCUA2(U)UB2(U)15μV

例21】用一套测量系统测电流，其不确定度≤±1%，现等精密度测量11次，得到下表数据，求测量结果。

序号i 电流Ii 1 2.72 2 2.75 3 2.65 4 2.71 5 2.62 6 2.45 7 2.62 8 2.70 9 2.67 10 2.73 11 2.74 111【解】：（1）求算术平均值：IIi2.669mA；

11i1（2）求残差：viIiI，见下表；

测量序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ii 2.72 2.75 2.65 2.71 2.62 2.45 2.62 2.70 2.67 2.73 2.74 Vi 0.051 0.081 0.041 Vi2 0.002601 0.006561 0.001681 Vi’ 0.029 0.059 -0.041 0.019 -0.071 - -0.071 0.009 -0.021 0.039 0.049 (Vi’)2 0.000841 0.003481 0.001681 0.000361 0.005041 - 0.005041 0.000081 0.000441 0.001521 0.002401

111032-0.019 0.000361 -0.049 0.002401 -0.219 0.047961 -0.049 0.002401 0.031 0.001 0.061 0.071 0,000961 0.000001 0,003721 0.005041 （3）验证I和vi：I有舍入误差，

vi111i0.001＜n10m20.0055，所以

I和vi计算正确；

1112vi0.0858； （4) 计算标准偏差：111i1（5）判断粗大误差：

根据格拉布斯准则，在置信概率为95%，测量次数n=11时，查表得g=2.23，

g2.230.08580.191，经检查在11次测量中最大的残差为v60.219＞0.191，所以I6含有粗大误差，为异常值，应将其剔除，在余下的10个测量值中重复（1）～（5）的步

骤：IIi2.691mA，新的残余误差vi'值见表,I'无舍入误差，所以I'和vi' 计vi'0，

'i1i6116 / 8

111'2算正确，重新计算vi0.0482，

101i1'16在置信概率为95%，测量次数n=10时，查表得g=2.18，g2.180.04820.105，经检查在剩余的10次测量中，没有残余误差超过 0.105，所以不存在异常值；

（6）计算A类不确定度：UA(I)'100.04820.0152； 10（7）计算B类不确定度：半宽I'1%2.6911%0.02691，假设误差的分布为均匀分布，K=3，UB(I)K0.0155；

（8）计算合成不确定度：UCUA(I)UB(I)20.015220.015520.0217；

2（9）计算扩展不确定度：KUc20.02170.04340.043；

'（10）写出测量结果表达式：IIKUC2.6910.043mA

20．对某振荡器的输出频率等精度测量11次，测量值为：10.01、10.05、10.11、10.10、10.12、10.10、10.12、10.08、10.10、10.03、10.06，单位KHz，该测量系统的不确定度为±0.1%，试写出测量结果。

[例2-1] 检定一个1.5级、满量程值为10mA的电流表，若在5mA处的绝对误差最大且为0.13mA（即其他刻度处的绝对误差均小于0.13mA），问该表是否合格？

解：可求得该表实际引用误差为： Y013mA1.3%1.5%m Ym10mA

因此，该表是合格的。

[例2-2] 某电流表1.0级，量程100mA，分别测100mA、80mA、20mA的电流，求测量时的绝对误差和相对误差。

解：由前所述，用此表的100mA量程进行测量时，不管被测量多大，该表的绝对误差不会超过某一个最大值，

△Ｙm ＝γm ×Ｙm=1.0%×100=1 mA

Ym1 而相对误差，则对于不同的被测电流，可求得 11%Y100

Ym1 21.25%Y80

Ym1 35%Y20

[例3-3]被测电压为10V现有150V、0.5级和15V、1.5级两块电压表，问选用哪块表更为合适？

解：①使用150V电压表，则测量的最大绝对误差为ΔUm=0.5%×150V=0.75V

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则测量10V电压所带来的相对误差 γ1=(0.75/10) ×100%=7.5%

②使用15V电压表，则测量的最大绝对误差为ΔUm=1.5%×15V=0.225V 则测量10V电压所带来的相对误差 γ2=(0.225/10) ×100%=2.25%

可知， γ2 ＜γ1，所以应该选用15V、1.5级的电压表。

例：用电压表测量三组数据，其平均值分别为21.1、21.3、21.5V，且其算术平均值的标准差分别为0.20、0.10、0.05V，求测量的最佳估计值。

解：三组数据的权分别为：

W1：W2：W3=1/0.202：1/0.102：1/0.052 =1：4：16 则其测量的最佳估计值就是加权平均值，  121.1421.31621.5x21.44V 1416第三组权最大，所以加权平均值最接近21.5V。

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