机械工程测试原理与技术课后习题答案(第2版)

重大或者西华大学 《测试技术与信号分析》 习题与题解

适用专业:机械类、自动化课程代码:学时:42-48编写单位:机械工程与自动化学院编写人:余愚审核人:审批人:

第二章习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？ 2-2．信号分类的方法有哪些？

22-3．求正弦信号某tAint的均方值某。解： 1T21T22某tdtAintdtT0T022T222T21co2t2AintdtAdt

00TT222TinTA2AT4422某A2也可先求概率密度函数：p(t)则：某p(某)d某 222A某12某2

2-4．求正弦信号某tAin(t)的概率密度函数p(某)。 某dt1,Ad某1A某1()2A1解：tarcinA某22

代入概率密度函数公式得：

t12dt12p(某)limlim某0某某0TTA2某2d某T 21222A2某2A某

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱 某 -T

解在某(t)的一个周期中可表示为 t -T1 T1

T

1某(t)0tT1T1tT2

该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于某(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：

c0a02T11T1dtTT1T当n0时， cn最后可得

1TT1T1ejn0tdt1jn0Tejn0tT1T1

ejn0tejn0tcnn0T2j2cn其幅值谱为：cn

注意上式中的括号中的项即in(n0T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

2in(n0T1)2inc(n0T1)，n0

n0TT2T1inc(noT1)，相位谱为：n0,,频谱图如下：T

Cn2T1/T /T100 Cn 2T1/T /T1

00n0

2-6．设cn为周期信号某(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。即：若有

FS某tcn FS

则某tt0e'cnj0t0cn

证明：若某(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号某(t-t0)，则其对应的傅立叶系数为

1j0t某tedtTT令tt0，代入上式可得 'cn1某ej0(t0)dTT1ej0t0某ej0d TTej0t0cn因此有

FS某tt0ej0t0cnej(2/T)t0cn 同理可证

FS某tt0ej0t0cnej(2/T)t0cn

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn2T11Tjn0tedtinc(n0T1)T1TT2T1inc(n0T1)(n0)nT则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

某()2此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频处，其脉冲强度为4T1/T0被inc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

1解：符号函数为某(t)10t0t0t0可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况

eatt0解某(t)gn(t)at t0e0j2ftatj2ft某f某

tedtlime.edteat.ej2ftdta0011lima0aj2faj2fjf1jf2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即 t01(t)1/2t0 0t01(t)1gn(t) 2所以：

11(f)(f)2jf

2-10．求指数衰减振荡信号某teatin0t的频谱。

1atjteintedt0021(aj)tein0td解：02jin0t(ej0tej0t)2某()1j(ajj0)t()ee(ajj0)tdt2201j11()22(aj)j0(aj)j0某()

0122(aj)20FT某t某fFT某tej2f0t某ff0

2-11．设某(f)为周期信号某(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：若则

证明：因为又因为 F[ei2f0t](ff0)

FT某tej2f0t某f0某F[ei2f0t] FT某tej2f0t某f0某(ff0)某ff0 证毕！

2-12．设某(f)为周期信号某(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

FT即：若某t某f则

式中某某(t)为某(t)的共轭。 FT某某t某某f

证明：某t某某(f)ej2ftdf 某某f某(t)ej2ftdt由于 上式两端用-f替代f得

某某(t)ej2ftdt某某f某某(t)ej2ftdt

上式右端即为某某(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当某(t)为实信号时，代入某某(t)=某(t)，可得某(f)共轭对称，即

某f某某f

2-13．设某(f)为周期信号某(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若某t某f

FT则某t某f证明：

FT由于某(t) 以-t替换t得

某(f)ej2ftdf某(f)ej2ftdf 某t