數與代數範疇
阿默士與雷因草紙卷
阿默士與雷因
阿默士 (Ahmes)，古埃及人，約生於公元前 17 世紀。
雷因 (Henry Rhind)，英國人，生於 19 世紀。
兩人似乎毫不相干，然而阿默士的著作，卻又被稱為《雷因草紙卷》 \"Rhind Papyrus\"。你知道箇中的原因嗎？
雷因草紙卷
話說在 1858 年，英國人雷因在埃及古都的廢墟中發現了一本以象形文字寫成的紙草書。這部紙草書幅面長 550 cm，闊 33 cm。經鑑定後，發現是至今流傳的兩本最古的埃及數學著作之一。此書的作者阿默士是古埃及的祭司，他在書中寫著：「這本書的很多內容，是從金字塔時代一份更古老的文獻中抄出來的。」
在阿默士的紙草書中，提供了 80 多道數學問題的解答方案，內容範圍包括：四則運算、解方程、面積、體積等等，充份展示了古埃及人的數學智慧。此外，書中也採用了一套有趣的記數符號：
阿默士的紙草書原名為《獲知一切奧秘的指南》，然而為了紀念雷因的發現，人們多稱此書為《雷因草紙卷》。
畢達哥拉斯和三角形數
談到畢達哥拉斯 (Pythagoras, 約公元前551-公元前479)，我們最熟悉的是「畢氏定理」。然而，畢達哥拉斯最熱衷的，原來並不是幾何學。
畢達哥拉斯是古希臘數學家，他認為每個數字都具有獨特的個性，有善有惡。他更認為 10 是一個完美的數字、神妙莫測。這是因為 10 是首四個正整數 1、2、3 和 4 之和，是一個三角形數。在音樂上，若拉緊一條長度為 1 單位的弦可發出一個音調 do，把弦的長度改為這四個正整數的比：、和，所發出的便分別是fa、so和高一均的do等主要音調。
畢達哥拉斯創立了一個學派，名為畢達哥拉斯學派。這個學派的組織十分嚴密，並且帶有濃厚的宗教色彩。他們認為數是萬物的根源。他們研究數，不是為了實際的應用，而是為了透過對數的認識，揭露宇宙的永恆真理。可惜的是，由於學派嚴守保密的原則，所以很多研究成果都已失傳了。
丟番圖享年之謎
丟番圖 (Diophantus, 約246 - 330) 是希臘人，長期在亞歷山大城做數學研究工作。當時正是亞歷山大城輝煌的年代，很多數學新觀念也是在那時形成的。由於在丟番圖的著作中，較少提及別的數學家，所以我們很難從他的著作中，判斷他的準確生卒年份，有關他生平的紀錄也不多。
丟番圖的著作
《算術》 \"Arithmetica\" 是丟番圖的主要著作，是一部代數的論著。原書共有 13 卷，保留至今天的只有 6 卷，相傳其餘 7 卷在一場大火中被燒毀了。在《算術》中，丟番圖採用了一套數學符號來表示未知量，例如：s 表示 x，
表示
，
表示
，
表
示 ，他也是首位用符號來表示冪的數學家。然而，由於他所考慮的是實際生活的問題，所以在解方程時，他並不考慮負數解。(在實際生活中，-4 個人是沒有意義的。)
丟番圖享年之謎
在丟番圖的墓誌銘中，記載了他享年的秘密：「丟番圖的一生，童年生活佔，再過 他
開始長鬍子，再過 他結了婚，婚後 5 年生了一個兒子。他的兒子比他早 4 年辭世，
享年是他的 。」你能從墓誌銘中，求得丟番圖享年多少歲嗎？
我們可以把墓誌銘中的描述轉換成一元一次方程：
代數學之父韋達
韋達 (Francis Viete, 1540 - 1603) 是法國人，早年研習法律，曾任巴黎裁判所的律師，喜
歡在工餘鑽研數學。在法國與西班牙戰爭期間，曾成功為法軍破譯西班牙軍隊的密碼，其數學成就也因而得到注意。
代數學之父
韋達的數學研究範圍相當廣泛，其中以符號代數最為突出，被譽為「代數學之父」。受到希臘數學家丟番圖以字母表示未知量和冪的影響，韋達在著作《分析方法引論》中，首次有系統地以符號表示系數。 的研究
韋達對於幾何學也有相當的研究。1579 年，他給出圓周率 π 的第一個無窮乘積的表達式：
並由此計算得 π 準確至十六位小數的值。
度量、圖形與空間範疇
巧量金字塔 ── 泰勒斯
泰勒斯(Thales，約公元前625 - 公元前574)，生於小亞細亞西南海岸米利都，是古希臘的數學家、天文學家和哲學家。泰勒斯是一個很精明的商人，由於他預見橄欖油果會豐收，藉著租借及出售製造橄欖油的設備，而賺了不少錢，使他有足夠的金錢作科學研究及旅行之用。
泰勒斯喜歡四處旅行，相傳他在埃及遊歷時，法老王命令祭師們量度金字塔(法老王的墳墓)的高度，祭師們為此而大傷腦筋。為了幫助祭師們解決困難，於是泰勒斯利用一個巧妙的方法量度金字塔的高度。
泰勒斯在金字塔的旁邊豎立一條木柱，當木柱的影子的長度和木柱的長度相等時，只要量度金字塔的影子的長度，便可得出金字塔的高。由此可見泰勒斯的數學及科學才能。
敘拉古的數學家──阿基米德
阿基米德 (Archimedes, 約公元前287 - 公元前212)，生於希臘的敘拉古，父親是位天文學家。阿基米德從小就受到良好的教育，年青時曾赴亞歷山大學習數學。
皇冠的體積
有一次，敘拉古的亥厄洛國王叫金匠製造一頂純金的皇冠，卻懷疑金匠隱匿了其中一些金子。金匠矢口否認，而且證實皇冠的重量與國王所給金子重量相等。國王一時束手無策，便請阿基米德幫忙。
阿基米德日思夜想著解決的方法。他知道即使不同質料的重量相同，其體積是不一樣的，所以可從皇冠的體積，來鑑定皇冠是否由純金所製成，但卻苦無求得皇冠體積的方法。
一次，阿基米德在浴盆洗澡時，看到水從盤中徐徐流出，因而悟到可以用排水法來求出皇冠的體積。若把皇冠放入盛滿水的盤中，所排出的水的體積，便是皇冠的體積了。就這樣，阿基米德為國王解決了這個疑難，證明金匠的確在皇冠中摻入了白銀。 研究碩果
阿基米德的研究領域相當廣泛，包括：數學、力學、物理學、天文學等。以下是其中兩項幾何學的研究成果：
圓周率π
阿基米德採用現稱「割圓術」的方法，求得圓周率π界乎 和
之間，即：
球體和柱體的面積和表面面積
除了平面幾何外，阿基米德對立體幾何也有相當的研究，他指出：「以球體的大圓為底、
直徑為高製作一個圓柱，圓柱的體積和表面面積分別是球體體積和表面面積的
。」即：
體積 = V1 表面面積 = A1
體積 = V2 表面面積 = A2
我們可以運用第 28 章《續面積和體積》的公式，驗證阿基米德的說法。
不要弄壞我的圖
「不要弄壞我的圖」──這是阿基米德最後的一句話。
公元 212 年，羅馬人攻入敘拉古。相傳當時阿基米德正在研究數學，一名羅馬兵闖進了阿基米德的家中，並踩在幾何圖形上。阿基米德並沒有注意對方是誰，便喊叫說：「不要弄壞我的圖」，結果被那名士兵殺死了。
測量大師 ── 海倫
海倫 (Heron of Alexandria，約1世紀) 生於埃及，是古希臘數學家、力學家、機械學家和測量家，曾在羅馬帝國的著名學術研究城市亞歷山大教授數學、物理學等。海倫十分著重數學的實際應用，這可以從他的著作《測地術》、《幾何》、《體積求法》中略知一二。《測地術》更被古代的人們採用了數百年之久。除此之外，他曾替歐幾里得 (Euclid，約公元前330─公元前275)的《幾何原本》作註釋及補充。
海倫以解決幾何測量問題而聞名。他給出了很多平面圖形的面積公式和立體的體積計算公式，例如：正三邊形至正十二邊形的面積計算方法。在《測地術》中，他更給出著名的三角形的面積公式-海倫公式。
此外，海倫還把他的理論應用於機械設計，並著有《機械學》、《投石炮》、《槍炮設計》等著作，同時他亦是水鐘、測量儀、起重機等的設計者。可見他是一位把數學應用於生活的天才。
卡瓦列里與面積計算公式
卡瓦列里 (Francesco Bonaventura Cavalieri,1598-1647)是17世紀數學家，生於意大利的米蘭。18 歲時，他在比薩結識了數學家卡斯泰利 (Benedetto Castelli,1577-1644)，並在他的引導下，開始研究幾何學。卡斯泰利更把自己的老師，即著名物理學家伽利略 (Galileo Galilei, 1564-1642) 介紹給卡瓦列里。自始，卡瓦列里便成了伽利略的學生。
卡瓦列里畢生致力於幾何學的研究，曾被伽利略評為當時絕無僅有的幾何學人才。他的主要著作為《用新方法促進的連續量的不可分量的幾何學》。在此著作中，卡瓦列里認為平面是由無數個等距平行線段所構成的。此外，當我們用一些平行線去切割兩個平面時，如果兩個平面的相應部分的長度均相等，如圖所示，則這兩個平面的面積相等。利用這個理論，我們可推導出很多平面的面積公式。
讓我們看看卡瓦列里怎樣推導平行四邊形的面積公式：
數據處理範疇
業餘數學家之王─費馬
如果你有逛書局的習慣，相信都會發現近年多了有關費馬定理的書籍。你知道費馬 (Pierre de Fermat,1601-1665)是誰嗎？他是一位律師。然而，這位律師在工餘時卻喜愛鑽研數學。除了博覽數學典籍外，他還與同期的數學家如笛卡兒 (Rene Decartes, 1596-1650)、帕斯卡 (Blaise Pascal, 1623-1662) 等交往，討論數學問題。他在數論、解析幾何、概率論等方面都有貢獻，被譽為「業餘數學家之王」。
賭博的學問
概率的學問很大程度是由研究賭博而來的。有一次，費馬和帕斯卡在巴黎的咖啡店討論一個數學問題：「兩個具有同等技術的人在玩遊戲，每勝一局可得一分，誰先得到所指定分數就是勝利者。若遊戲突然中斷，賭本應如何分配呢？」
在冗長的討論後，他們決定親身嘗試玩這個遊戲，並相議好以擲錢幣來定勝負。如果擲得「正面向上」，則費馬得一分；反之，則帕斯卡得一分。誰先得到 10 分便勝出。他們每人拿出 50 法郎，作為賭本。怎料，當費馬拿了 8 分而帕斯卡拿了 7 分時，費馬接到一個緊急的消息，說友人病倒了。他立刻動身探望友人，而遊戲也中斷了。
事後，費馬寫信給帕斯卡，討論賭本應如何分配。他認為自己只要再取2分而帕斯卡則要再取 3 分，才能勝出。換言之，只要再擲 4 次，遊戲必定會結束。他於是把所有的情況羅列出來：
HHHH HHHT HHTH HHTT HTHH HTHT HTTH HTTT THHH THHT THTH THTT TTHH TTHT TTTH TTTT
其中H代表擲得「正面向上」，而T則代表擲得「正面向下」。 以上 16 個結果都是等可能的。在其中11種情況下（紅色部分），費馬會勝出，而在其餘 5 種情況下（藍色部分），帕斯卡會勝出。所以，賭本的分配方法應是費馬得
，帕斯卡得。帕斯卡同意費馬的計算
方法，並把費馬應得的 68.75 法郎送回給他。
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