2021年中考二轮专题 构造旋转-托勒密定理的应用

托勒密定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC.

BAααECB2.证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴ABBE，即ACBEABCD，ACCDDADEC当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴ADDE，即ACDEADBC，ACCB∴ACBEACDEABCDADBC，∴ACBDABCDADBC．

托勒密定理在中考题中的应用

（1）当△ABC是等边三角形时，

托勒密定理在中考题中的应用（1）当△ABC是等边三角形时，又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：如图1,当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：DB·AC=ADBC+AB·CD,如图·1，当点D 在弧AC上时，根据托勒密定理有：又等边△ABC有AB=AC=BC,故有结论：DB=DA+DC.

A．

OD

BC图1

证明：在BD上取点E使得DE=DA，易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用对应边成比例，可得：DBDADC．ADEOBC如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．AOBD图2C【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．

（2）当ΔABC是等腰直角三角形，

2）当△ABC是等腰直角三角形，如图3,当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：ADBC·BC=AB·CD+AC·BD, 如图3，当点D在弧上时，根据托勒密定理：又AB:AC:BC=1:1:2,代入可得结论：2AD=BD+CD.

B，又AB:AC:BC1:1:2，代入可得结论：2ADBDCD．A

OD图3C4，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理：，如图4,当点D在弧AC上时，根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD, 又AB:AC:BC=1:1:2,代入可得结论：BD=2AD+CD.

又AB:AC:BC1:1:2，代入可得结论：BD2ADCD．ADBOC图4

（3）当ΔABC是一般三角形时，若记BC:AC:AB=a:b:c, 据托勒密定理可得：a·AD=b·BD+c·CD

（2019•湖北）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC． （1）如图①，当∠BAC=120°时，

①AD上是否存在点E，使ΔABE是等边三角形？证明你的结论. ②请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式并加以证明；

（2）如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC=5，BD=4，求

BDcOaCb3）当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：根据托勒密定理可得：aAAD的值．

ABAC

【分析】关于托勒密定理的简单探究．（1）由∠BAC=120°可得∠BDC=60°，又AD平分∠BAC，∴BD=CD，即△BCD是等边三角形．∴AD=AB+AC．（2）过点B作BE⊥AD交AD于点E，DEBD，即DEBCACBD，ACBCAEAB易证△BEA∽△BDC，∴，即AEBCABCD，DCBC易证△BED∽△BAC，∴

AAEBOCBEOCDD∴DEBCAEBCACBDABCD，∴ADBCABCDACBD．若∠BAC=90°，则∠BDC=90°，又BD=CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD:CD:BC1:1:2，即2ADABAC．（3）CD=BD=4，根据托勒密定理，可得5AD4AB4AC，【说明】托勒密定理在解题不可直接使用，用前需证明．AD4．ABAC5