东城区2021届高三年级二模考试数学试题

东城区2021届高三年级二模考试

数学试卷

2021.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合A{x|1x2}，那么CRA

(A) (,1)(2,) (C) (,1)[2,)

5

(B) (,12,) (D) (,1](2,)

(2)已知2xa的展开式中x2的系数为-40，那么a=

(A)-2

(B)-1

(C)1

(D)2

(3)已知alog0.33,blog0.34,c30.3，那么

(A) abc (C) bac

(B) cba (D) bca

(4)已知a2b22，那么ab的最大值为

(A)1

(B)

2

(C)2 (D) 22 (5)在平行四边形ABCD中，已知AB2,2,AD1,5，E为CD的中点，那么BE

(A)2,4

(B) 2.3

(C) 1,4

(D) 1,3

(6)已知函数fx满足fx22fx，当x0,2时， fxx，那么f21

(A) 210

(B) 211

(C) 220

(D) 221

(7)某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

(A) 8+32 (B) 18+23 (C)22 (D) 10+65 (8)已知双曲线C:mx2ny31mn0，那么“双曲线C的渐近线为y2x”是“m4n”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件 (9)在△ABC中，已知A3 83,2a2cb，那么

3 7c a(A) (B)

(C)

7 15 (D)

8 15(10)有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位:℃)、时间(单位:min)催化剂用量(单位:g)，三个因素对产量的影响彼此其中温度有三个水平:80、85、90时间有三个水平:90、120、150，催化剂用量有三个水平:5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验在数学上可以证叨:通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.下表给出了这9次实验的结果：

实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 温度(℃) 80 80 80 85 85 85 90 90 90 时间(min) 90 120 150 90 120 150 90 120 150 催化剂用量(g) 5 6 7 6 7 5 7 5 6 产量(kg) 31 38 53 49 42 57 62 根据上表，三因素三水平的最优组合方案为 (A)85℃ 120min 7g (B)90℃ 120min 6g (C)85℃ 150min 6g (D)90℃ 150min 7g

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)复数2i的实部为 。

(12)已知直线l不在平面、内给出下列三个论断:

①la

②l∥

③a

2以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: 。

(13)已知抛物线C:y22pxp0过点M4,4，那么抛物线C的准线方程为 ，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为 。

3(14)角a的终边与单位圆的交点A位于第一象限其横坐标为那么sina ，点A沿单位圆逆时针运动到点B，

5所经过的弧长为

，则点B的横坐标为 。 4(15)对于定义域为R的函数ygx，设关于x的方程gx=t，对任意的实数t总有有限个根，记根的个数为fgt，给出下列命题：

①存在函数ygx满足: fgt＞0，且ygx有最小值； ②设hxgx，若fhtfgt，则gx0； ③若fgt1，则ygx为单调函数； ④设hxgxaaR，则fgtfht。 其中所有正确命题的序号为 。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分)

如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,ABBC,ADBC,PAABADBC2. (Ⅰ)求证:AD平面PAB； (Ⅱ)求二面角PCDA的余弦值。

(17)(本小题13分)

已知等比数列an满足a1a23,a4a524

(Ⅰ)求an的通项公式；

(Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列bn的前n项和Sn。 条件①:设bnlog2a2n1； 条件②:设bnan2n。

注:如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分 (18)(本小题14分)

某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如下表所示.全市居民分为城镇居民和农村居民，人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共8类。

2019年一季度 单位:元 全市居民 指标名称 2019年一季度 人均消费支出 食品烟酒 衣着 居住 生活用品及服务 交通和通信 教育文化和娱乐 医疗保健 其他用品及服务 10637 2292 628 3846 6 1219 927 874 305 增速(%) 7.4 8.2 0.0 5.7 6.8 11.0 10.5 14.2 1.0 2019年一季度 11440 2401 670 4200 588 1303 1020 920 338 增速(%) 7.4 8.2 -1.0 5.6 8.3 10.5 11.0 13.6 2.7 城镇居民 (Ⅰ)从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，求这类人均消费支出超过1000元的概率； (Ⅱ)从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类，记X表示其中不超过2000元数，求X的分布列及数学期望；

(Ⅲ)请直接写出这8类人均消费支出中，农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别。

(19)(本小题15分)

已知函数fx=sinxxacosx，其中a,。

2230,(Ⅰ)若曲线yfx在xa处的切线过点2，求a的值； (Ⅱ)若fx＞a31对x,恒成立，求a的取值范围。

22

(20)(本小题15分)

x2y2已知椭圆C:221ab0的右焦点为F左、右顶点分别为A2,0,B2,0,AF3FB

ab(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设过P2,1的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点证明:直线BE的斜率为定值。

(21)(本小题15分)

设数列A:x1,x2，，xn(n3) xixi2定义集合SA,ks|s1kxik,1i1＜i2＜＜ikn，其中k2kn为给定的正整数。

(Ⅰ)若A:0,2,4，求SA,2； (Ⅱ)若A中的项xiSA,n1i1,2,,n，求证:A为常数列；

(Ⅲ)记集合SA,k的最大元素为sk，求证: sk1sk2kn1。