2015-2016学年广西桂林市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

D．2i

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i是虚数单位，则复数（1﹣i）2=（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣2i C．cosx

2．函数y=cosx的导数是（ ） A．sinx

B．﹣sinx

D．﹣cosx

3．曲线y=x3﹣x2﹣2x+1在（0，1）处切线的斜率是（ ） A．﹣2

4．i是虚数单位，复数A．﹣i

B．2 =（ ） B．i

C．1

C． +i

D．﹣1

D．﹣i

5．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

）（n≥2），计算a2、a3，a4，由此猜测通项an

D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+

6．观察：32﹣1=8，52﹣1=24，72﹣1=48，92﹣1=80，…，则第n个等式为（ ） A．（2n﹣1）﹣1=4n﹣4n B．（3n﹣1）﹣1=9n﹣6n

2222

C．（2n+1）﹣1=4n+4n D．（3n+1）﹣1=9n+6n

7．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元） x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据如表求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为（ ） A．50

B．55

C．56.5 ≤0

2

2

2

2

D．55.5

8．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（ ） A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 C．

﹣1﹣a2b2≤0

B．a2+b2﹣1﹣

D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

10．如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）

A．计算S=1×2×3×4×5×6的值 C．计算S=1×2×3×4的值

B．计算S=1×2×3×4×5的值 D．计算S=1×3×5×7的值

11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（ ） A．﹣e

B．﹣1

C．1

D．e

12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，如果0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10．那么（ ） A．0≤c＜10

B．c＞4

C．c≤﹣6

D．﹣6≤c＜4

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．曲线y=x2﹣2x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标是 ． 14．观察下列式子：

不等式应该为 ．

，…，根据上述规律，第n个

15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 男 女 理科 13 7 文科 10 20

已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 ．

16．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为 ．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知i是虚数单位，且复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若18．讨论函数f（x）=lnx﹣x的单调性． 19．已知函数f（x）=x3﹣x﹣1．

是实数，求实数b的值．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，﹣1）处的切线方程；

（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标．

20．从某大学随机抽取10名大学生，调查其家庭月收入与其每月上学的开支情况，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与其每月上学的开支yi（单位：千元）的数据资料，算得：

xi=80，

yi=20，

xiyi=184，

x

=720．

（1）求其每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程=bx+a； （2）若某学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的费用，

附：线性回归方程=bx+a中b=，a=﹣b，其，为样本平均值．

21．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

2015-2016学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（文科）

参与试题解析

D．2i

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i是虚数单位，则复数（1﹣i）2=（ ） A．﹣2

B．2

C．﹣2i C．cosx

【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】根据复数的运算性质计算即可． 【解答】解：（1﹣i）2=1﹣2i﹣1=﹣2i， 故选：C．

2．函数y=cosx的导数是（ ） A．sinx

【考点】导数的运算．

B．﹣sinx

D．﹣cosx

【分析】直接根据函数的导数公式进行求解即可． 【解答】解：∵y=cosx， ∴函数的导数y′=﹣sinx， 故选：B

3．曲线y=x3﹣x2﹣2x+1在（0，1）处切线的斜率是（ ） A．﹣2

B．2

C．1

D．﹣1

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先求出函数y=x3﹣x2﹣2x+1的导数，由导数的几何意义，可令x=0，即可得出切线的斜率． 【解答】解：函数y=x3﹣x2﹣2x+1的导数为y′=3x2﹣2x﹣2， 可得曲线在（0，1）处切线的斜率k=﹣2， 故选：A．

4．i是虚数单位，复数A．﹣i

=（ ） B．i

C． +i

D．﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：复数故选：B．

=

==i．

5．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人 D．在数列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+【考点】演绎推理的基本方法．

【分析】由推理的基本形式，逐个选项验证可得．

）（n≥2），计算a2、a3，a4，由此猜测通项an

【解答】解：选项A为三段论的形式，属于演绎推理； 选项B为类比推理；选项C不符合推理的形式； 选项D为归纳推理． 故选：A

6．观察：32﹣1=8，52﹣1=24，72﹣1=48，92﹣1=80，…，则第n个等式为（ ） A．（2n﹣1）﹣1=4n﹣4n B．（3n﹣1）﹣1=9n﹣6n

2222

C．（2n+1）﹣1=4n+4n D．（3n+1）﹣1=9n+6n 【考点】归纳推理．

2

2

2

2

【分析】观察等式的左边，是连续奇数的平方与1的差，右边可分解为8的倍数，由此得出规律，写出第n个等式．

【解答】解：因为32﹣1=8，即（2×1+1）2﹣1=4×12+4×1=8； 52﹣1=24，即（2×2+1）2﹣1=4×22+4×2=24； 72﹣1=48，即（2×3+1）2﹣1=4×32+4×3=48； 92﹣1=80，即（2×4+1）2﹣1=4×42+4×4=80； …，

所以第n个等式为（2n+1）2﹣1=4n2+4n． 故选：C．

7．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元） x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 t 70 根据如表求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为（ ） A．50

B．55

C．56.5

D．55.5

【考点】线性回归方程．

【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出，代入回归直线方程，即可求出，即可求得t的值．

【解答】解：由线性回归方程过样本中心点（，）， =（2+4+5+6+8）=5， ∴=6.5+17.5=50，

∴=（30+40+60+t+70）=50， 解得：t=50， 故答案选：A．

8．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（ ） A．2ab﹣1﹣a2b2≤0

B．a2+b2﹣1﹣

≤0

C．﹣1﹣ab≤0

22

D．（a﹣1）（b﹣1）≥0

22

【考点】综合法与分析法(选修）． 【分析】将左边因式分解，即可得出结论．

【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0， 只要证明≥0． 故选：D．

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题． 【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．

若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意． 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意． 故获奖的歌手是丙 故先C

10．如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）

A．计算S=1×2×3×4×5×6的值 C．计算S=1×2×3×4的值 【考点】程序框图．

B．计算S=1×2×3×4×5的值 D．计算S=1×3×5×7的值

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，t的值，当S=1×2×3×4×5=120时，不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120，从而得解． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，t=2

满足条件S≤100，S=1×2=2，t=3 满足条件S≤100，S=1×2×3=6，t=4 满足条件S≤100，S=1×2×3×4=24，t=5 满足条件S≤100，S=1×2×3×4×5=120，t=6

不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120． 故程序框图的功能是求S=1×2×3×4×5的值． 故选：B．

11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（ ） 12．A．﹣e

B．﹣1

C．1

D．e

【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．

【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；

【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0） ∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1， 解得f′（1）=﹣1， 故选B；

12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，如果0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10．那么（ ） A．0≤c＜10

B．c＞4

C．c≤﹣6

D．﹣6≤c＜4

【考点】二次函数的性质．

【分析】利用条件建立方程与不等式，由此能求出c的取值范围．

【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10，

∴，解得a=﹣6，b=11，﹣6≤c＜4．

故选：D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．曲线y=x2﹣2x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标是 （1，﹣1） ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】设出切点P（m，n），求得曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，解m的方程可得m，代入曲线方程可得切点的坐标． 【解答】解：设切点P（m，n）， y=x2﹣2x的导数为y′=2x﹣2， 可得切线的斜率为2m﹣2， 由切线平行于x轴，可得 2m﹣2=0，解得m=1，

由n=m2﹣2m=1﹣2=﹣1． 即有切点P（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）．

14．观察下列式子：，…，根据上述规律，第n个

不等式应该为 1+【考点】归纳推理．

++…+

＜ ．

【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．

【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公2为公差的等差数列，差的等差数列，分子是以3为首项，所以第n个不等式应该为1+＜

+

+…+

＜

+

+…+

故答案为：1+

15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 男 女

理科 13 7

文科 10 20

已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到k=≈4.844．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 5% ． 【考点】性检验的应用．

【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据4.844＞3.841，即可得到认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．

【解答】解：∵根据表中数据，得到K2的观测值4.844＞3.841，

≈4.844．

∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%． 故答案为：5%．

16．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为 e ． 【考点】函数恒成立问题．

【分析】由题意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．

【解答】解：不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为 f（x）=ex﹣kx≥0恒成立， 即有f（x）min≥0，

由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，

当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；

当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减． 即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk， 由k﹣klnk≥0，解得k≤e， 即k的最大值为e， 故答案为：e．

是实数，求实数b的值．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知i是虚数单位，且复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】解：根据复数的运算法则结合复数是实数的等价条件进行求解即可． 【解答】解：∵z1=3﹣bi，z2=1﹣2i， ∴

=

=

=

+

i，

∵是实数，∴ =0，

得b=6．

18．讨论函数f（x）=lnx﹣x的单调性． 【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1， 令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减． 19．已知函数f（x）=x3﹣x﹣1．

（1）求曲线y=f（x）在点（1，﹣1）处的切线方程；

（2）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程； （2）设出切点（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得切线的斜率为2，解m的方程可得m，代入函数f（x），计算即可得到所求切点的坐标．

【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣x﹣1的导数为f′（x）=3x2﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（1，﹣1）处的切线斜率为3﹣1=2，

即有曲线y=f（x）在点（1，﹣1）处的切线方程为y﹣（﹣1）=2（x﹣1）， 即为2x﹣y﹣3=0；

（2）设切点坐标为（m，n），

切线与直线y=﹣x+3垂直，可得切线的斜率为2， 又f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣1， 可得3m2﹣1=2， 解得m=1或﹣1， 则n=m3﹣m﹣1=﹣1．

可得切点坐标为（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）．

20．从某大学随机抽取10名大学生，调查其家庭月收入与其每月上学的开支情况，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与其每月上学的开支yi（单位：千元）的数据资料，算得：

xi=80，

yi=20，

xiyi=184，

x

=720．

（1）求其每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程=bx+a； （2）若某学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的费用，

附：线性回归方程=bx+a中b=，a=﹣b，其，为样本平均值．

【考点】线性回归方程．

和

，然后求出线性回归方程

=0.3x

【分析】（1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出﹣0.4；

（2）通过x=7，利用回归直线方程，即可求得家庭每月支付其上学的费用．

【解答】解：由题意可知：n=10， =×

xi=8， =

×

yi=2，

===0.3，

=﹣=2﹣0.3×8=﹣0.4， =0.3x﹣0.4；

每月上学的开支y对月收入x的线性回归方程（2）当x=7时，

=1.7，

学生家庭月收入为7千元，预测该家庭每月支付其上学的费用1.7

21．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；

（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点．

【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200πrh元， 底面积成本为160πr2元，

∴蓄水池的总建造成本为200πrh+160πr2元 即200πrh+160πr2=12000π ∴h=

（300﹣4r2）

（300﹣4r2）=

）

（300r﹣4r3）

∴V（r）=πr2h=πr2

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5故函数V（r）的定义域为（0，5

（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=可得V′（r）=∵令V′（r）=

（300r﹣4r3），（0＜r＜5

）

）

（300﹣12r2），（0＜r＜5（300﹣12r2）=0，则r=5

∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数 当r∈（5，5

）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数

且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大 22．已知函数f（x）=（I）当

+lnx．

时，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；

（II）若函数g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，进而可得函数的极值与最值； （Ⅱ）求导函数g′（x）=

，构造函数h（x）=﹣ax2+4ax﹣4，由题意知，只需h

（x）≥0在[1，e]上恒成立，从而可求正实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当e]时，f′（x）＞0，

时，

（x＞0），∴当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，

∴f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，e]上单调递增， ∴f（x）在区间[1，e]上有唯一极小值点， 故f（x）min=f（x）极小值=f（2）=ln2﹣1． 又∵f（1）=0，f（e）=

．

∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（x）max=f（1）=0．

综上可知，函数f（x）在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln2﹣1． （Ⅱ）∵g（x）=f（x）﹣x，

∴g′（x）=

，设h（x）=﹣ax2+4ax﹣4，由题意知，只需h（x）≥0在[1，e]上

恒成立，因为a＞0，h（x）图象的对称轴为x=2，所以只需h（1）=3a﹣4≥0，所以a≥．