2017高考一轮复习教案-函数的单调性

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的 图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的 2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

3求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 4必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x1，x2∈[a，b]，那么 ①ffx1

x1

－fx2x1－x2

>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

－fx2x1－x2

1

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2．复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

考点一 函数单调性的判断

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝3－x C．f(x)＝－

解析：当x>0时，f(x)＝3－x为减函数； 3

当x∈0，时，f(x)＝x2－3x为减函数，

23

当x∈，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；

2当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－

1

为增函数； x＋1

1 x＋1

B．f(x)＝x2－3x D．f(x)＝－|x|

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.答案：C

2．判断函数g(x)＝解：法一：定义法

任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则g(x1)－g(x2)＝－＝

x1－1x2－1因为12

－2x

在(1，＋∞)上的单调性． x－1

2x1－x2x1－1x2－1

，

所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0， 因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)－2

x－1＋2x

＝

x－12

2x－1

2

>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． *2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．

考点二 函数的单调区间的求法|

1求下列函数的单调区间： (1)y＝－x2＋2|x|＋1；

1

(2)y＝log(x2－3x＋2)．

2

[解] (1)由于

2

－x＋2x＋1，x≥0，y＝2

－x－2x＋1，x<0，

－即y＝

－

x－1x＋1

22

＋2，x≥0，＋2，x<0.

画出函数图象如图所示，

3

单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

1

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合

2函数．

令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.

1

∴函数y＝log(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

23

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．

2

∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 1

而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，

2

1

∴y＝log(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，

21)．

函数单调区间的四种求法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

*(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

2函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )

4

A．(－∞，0) C．[0，＋∞) 解析：y＝|x|(1－x) x1－x＝

－x1－x

2

1

B.0，

21D.，＋∞ 2

x≥0x<0

，

，

＝

11

x－＋－x≥024＝

11

x－－x<0.24

2

画出函数的草图，如图．

1

由图易知原函数在0，上单调递增．

2答案：B

考点三 函数单调性的应用

函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：

1．求函数的值域或最值．

2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值．

一 求函数的值域或最值

x＋2－3，x≥1，x1.已知函数f(x)＝

lgx＋1，x<1，

2

则f(f(－3))＝________，f(x)的

最小值是________．

5

二 比较两个函数值或两自变量的大小

1

2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )

1－xA．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 三 解函数不等式

3

x，x≤0，

3．已知函数f(x)＝

lnx＋1，x>0，

B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

若f(2－x2)>f(x)，则实数x的

取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．(－1,2) D．(－2,1)

四 利用单调性求参数的取值范围 2－ax＋1

4．已知f(x)＝x

a x≥1fx1

－fx2x1－x2

x<1

，

满足对任意x1≠x2，都有

>0成立，那么a的取值范围是( )

3

B.1，

2D．(1，＋∞)

3

A.，2 2C．(1,2)

1.解析：由题知，f(－3)＝1，f(1)＝0，即f(f(－3))＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝min{f(0)，f(2)}＝22－3.

答案：0 22－3

12.解析：∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

1－x

6

∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0. 答案：B

3.解析：∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，且当x1<0，x2>0时，f(x1)f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2答案：D

2－a>0，

4.解析：依题意，f(x)是在R上的增函数，于是有a>1，

2－a×1＋1≤a.

1

3

解得≤a<2，故选A.

2

答案：A

函数单调性应用问题的四种类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值． 7

1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式

【典例】 函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，有f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2.

[规范解答] (1)证明：设x1，x2∈R且x10， ∴f(x2－x1)>1.(2分) 根据条件等式有

f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，

∴f(x1)(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，得f(a＋b)－f(a)＝f(b)－1， ∴f(2t－1)－f(1＋t)＝f(t－2)－1，(8分) ∴f(2t－1)－f(1＋t)<2，即f(t－2)－1<2， ∴f(t－2)<3.

又f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3，

∴f(t－2)<3＝f(2)．(10分) ∵f(x)是R上的增函数，

∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为(－∞，4)．

8

练习A组

1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A．y＝e－x C．y＝ln x 2．下列四个函数： ①y＝3－x；②y＝

1

； x＋1

2

B．y＝x D．y＝|x|

－x

③y＝x＋2x－10；④y＝1

－x

2

x≤0x>0

.

，

其中值域为R的函数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

a

3．若函数f(x)＝－x2＋2ax与函数g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，

x＋1则实数a的取值范围为( )

A．(0,1)∪(0,1) C．(0,1)

B．(0,1)∪(0,1] D．(0,1]

2

x－4x＋3，x≤0，

4．已知函数f(x)＝2

－x－2x＋3，x>0，

则不等式f(a2－4)>f(3a)的解

集为( )

A．(2,6) C．(1,4)

B．(－1,4) D．(－3,5)

fxx

5．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝

在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函

123

数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝x－x＋是区间I上的“缓增

22函数”，则“缓增区间”I为( )

A．[1，＋∞) C．[0,1]

9

B．[0，3] D．[1，3]

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，f有

x2

－fx1x2－x1

<0，则f(3)，f(－2)，f(1)的大小关系为________．

1，x>0，

7．设函数f(x)＝0，x＝0，

－1，x<0，

区间是________．

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减

8．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________．

x

9．已知f(x)＝(x≠a)．

x－a

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

1

10．已知函数g(x)＝x＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且

x＋3a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．

(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； 1

(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．

4

10

练习B组

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 C．y＝2－x

B．y＝(x－1)2 D．y＝log0.5(x＋1)

*2． “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 －x＋6，x≤2，

3．若函数f(x)＝

3＋logax，x>2则实数a的取值范围是________．

4． a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．

答案

1.解析：因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B. 答案：B

(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，

－x

2.解析：依题意，注意到y＝3－x与函数y＝1

－x

域均是R，函数y＝

2

x≤0x>0

，

的值

1

的值域是(0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11的x＋1

值域是[－11，＋∞)，因此选B.

答案：B

11

a≤1，

3.解析：注意到f(x)＝－(x－a)＋a；依题意得

a>0，

2

2

即0选D.

答案：D

4.解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1答案：B

13

5.解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在

22f

区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，

xx

131＝x－1＋，令g(x)＝x－22x2

313x2－3

1＋(x≥1)，则g′(x)＝－2＝，由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数2x22x2x2fxx

13

＝x－1＋在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]． 22x答案：D

6.解析：由x1，x2∈(0，＋∞)时，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数． 又f(－2)＝f(2)，1<2<3， ∴f(1)>f(－2)>f(3)． 即f(1)>f(2)>f(3)． 答案：f(1)>f(－2)>f(3)

f

x2

－x1

x2－x1

<0，



7.解析：g(x)＝0，x＝1，

－x，x<1.

2

x2，x>1，

如图所示，其递减区间

是[0,1)．

答案：[0,1)

8.解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.

12

答案：(－∞，1]

9.解：(1)证明：任设x1x1x2

－ x1＋2x2＋2

.

2x1－x2x1＋2x2＋2

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， ∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)f(x)＝

xx－a＋aa

＝＝1＋， x－ax－ax－a

当a>0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴0∴f(x)＝，x∈[0，a](a>0)．

x＋31

(2)函数f(x)的定义域为0，，

4

3

令x＋1＝t，则x＝(t－1)，t∈1，，

2

2

1x＋1

＝， x＋3x＋3

t

f(x)＝F(t)＝2＝t－2t＋4

1

. 4t＋－2t

3344

∵t＝时，t＝±2∉1，，又t∈1，时，t＋单调递减，F(t)单调递增，

22tt16

∴F(t)∈，.

313

16

即函数f(x)的值域为，.

313

13

1

1.解析：y＝(x－1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B；y＝2－x＝x为减

2函数，排除C；因为y＝log0.5t为减函数，t＝x＋1为增函数，所以y＝log0.5(x＋1)为减函数，排除D；y＝t和t＝x＋1均为增函数，所以y＝x＋1为增函数，故选A.

答案：A

2.解析：由二次函数的图象和性质知f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调1递增，只需f(x)的图象在(0，＋∞)上与x轴无交点，即a＝0或<0，整理得a≤0，

a而当a≤0时，结合图象(图略)可知f(x)在(0，＋∞)上为增函数．故a≤0是f(x)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.

答案：C

－x＋6，x≤2，

3.解析：因为f(x)＝

3＋logax，x>2，

所以当x≤2时，f(x)≥4；又函

a>1，

数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以

3＋loga2≥4.取值范围为(1,2]．

答案：(1,2]

解得1a2a2

4.解析：f(x)＝x－－，其在区间[0,1]上的最大值必在x＝0，x＝1，

24

a

x＝处产生，即g(a)＝maxf0

2

，f1

a2a

＝0，|1－a|，，f＝max24

a2

max|1－a|，，在同一坐标系中分别画出

4

a2

y＝|1－a|，y＝的图象可知(图略)，

4

a2

在两图象的交点处，g(a)取得最小值，此时1－a＝，则a＝22－2(－2－22

4舍去)．

答案：22－2

14

例题

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) 1

A．f(x)＝

xC．f(x)＝ex

B．f(x)＝(x－1)2 D．f(x)＝ln(x＋1)

2．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．



3．已知函数f(x)＝a

x，x>1

值范围是( )

A．[－3,0) C．(－∞，－2]

－x－ax－5，x≤1，

2

在R上为增函数，则a的取

B．[－3，－2] D．(－∞，0)

1

1.解析：根据函数的图象知，函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故选

xA.答案：A

1

2.解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－，而y＝log5u

21

为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数

211

的单调增区间是－，＋∞.答案：－，＋∞

22

3.解析：要使函数在R上是增函数， a－≥1，2则有a<0，

－1－a－5≤a，

解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．答案：B

15