九年级数学上册 专题突破讲练 巧添辅助线证相似三角形试题 (新版)青岛版

一、添加平行线构造“A\"、“8\"型

1。 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（1）定理的基本图形：

（2）燕尾图形辅助线的添加方法

ADEBCFBGDEADEFBCFBAGDEFA

CGC注意：

(1）选择构造平行线的点的原则为不破坏已知条件中的数量关系； (2)一般会出现两组三角形相似，注意相似三角形的对应边； （3）通过线段比例之间的等量代换求解。 2。 方法归纳：

(1）遇燕尾，作平行，构造“A”字“8”字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点:

①选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项,以同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

②引平行线时,不破坏已知条件中的数量关系，尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

二、作垂线构造相似直角三角形 1. 基本图形

2. 所用知识点

(1）等量代换—-等角的余角相等。

（2）相似三角形对应高线的比等于相似比. 注意：

（1）相似三角形中对应边要找准。

(2）利用高线解决问题，一般会用到设未知数，列方程的思想。

例题 平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AFAC2。

解析：作BM⊥AC于点M，可证△ABM∽△ACE,则AB•AE＝AM•AC，易得△BCM∽△CAF，则BC•AF＝CM•AC，故得出结论.

答案:作BM⊥AC于点M，则∠AMB＝∠AEC＝90°，

∵∠BAM＝∠CAE，∴△ABM∽△ACE， ∴AB•AE＝AM•AC，

∵∠BCM＝∠CAF,易得△BCM∽△CAF， ∴BC•AF＝CM•AC，

∴AB•AEBC•AFAM•ACCM•ACACAMCMAC2. ∵AD＝BC，

AE＋AD·AFAC2. ∴AB·点拨：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，注意辅助线的添加.

【总结提高】

本节所讲授内容中，主要考查添加辅助线构造相似三角形来解决线段、角度之间的关系。需注意以下四点：

（1）添加辅助线的原则; （2）构造出的基本模型；

（3）相似三角形中的对应关系。

(4）复杂问题中等量代换的灵活应用. 例题

用一根手指顶住一个平面图形内的某点，如果平面图形能保持平衡，那么这个点叫这个平面图形的重心，平行四边形的重心是对角线的交点，三角形的重心是三条中线的交点。请你用下图证明三角形的重心分一条中线所成的两条线段的比为1:2,即在△ABC中，BE，CD是两条中线,它们交于G,求证:DG：CG＝EG：BG＝1：2.

解析：连接AG，交DE于点H，延长AG交BC于点F.根据三角形中位线定理得到DE11BC,则HEBEF.通过△HEG∽△FBG的对应边成比例证得22结论.

答案：如图，连接AG,交DE于点H，延长AG交BC于点F.

∵点G是△ABC的重心, ∴点F是BC的中点. ∴BF＝FC。

∵D、E是AB、AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线，

1∴DE∥BC，DEBC，

2∴HE∥BF，HE1BEF。

2∴△HEG∽△FBG,

GEHE1,即EG:BG＝1：2 ∴

GBBF2同理 DG：CG＝1：2。

:2。 ∴DG:CGEG:BG1点拨：本题考查了三角形的重心定理的证明,作辅助线构造三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。本定理要求学生能记

住，并熟练应用。

(答题时间：30分钟）

一、选择题

*1.（绥化)如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2:3，连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则SDEF:SEBF:SABF( ） A. 2：5:23 B。 4：9:24 C. 2:3：5 D. 4：10：25

＊＊2。 如图,在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点,点G、H在

DC边上，且GHDC。若AB＝15，BC＝16，则图中阴影部分的面积是

（ ）

13

A. 40 B. 60 C. 80 D. 70 ＊*3. 如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。求BP：PQ：QR＝( ）。

A。3：1:2 B。 5：3：4 C. 6:5:4 D. 4:1：2

＊＊4。 如图，在△ABC中，D为AC上一点,CD＝2DA，∠BAC＝45°，∠BDC＝60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F。下列结

2

论：①BE＝EC；②BC＝AC•DC；③S△BEC:S△BEA＝2:1；

26④EF2AD;⑤sinBCA。其中正确结论的个数有（ ）

4

A. 2个 D. 5个

B. 3个 C. 4个

二、填空题

＊*5。 （武清区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3,AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ,则PQ的最小值为 .

＊＊6。 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC,AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3。下列结论：①∠AED＝∠ADC；②其中结论正确的是 .

DE3；③AC•BE＝12；④3BF＝4AC,DA4

*＊7。 (温州一模）如图,在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点C为圆心作弧，分别交AC、CB的延长线于点D、F，连结DF，交AB于点E，已知SBEF9，SCDF40，tan∠DFC＝2，则BC＝ ，SABC ＝ .

＊*8.（嘉兴）如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°，BA＝BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂

AGFG直于AB的直线相交于点G，连接DF。给出以下四个结论：①；②ABFB2点F是GE的中点;③AFAB；④SABC5SBDF,其中正确结论的序号

3是 .

三、解答题

9。 如图,AB为半圆的直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C。

求证:CD平分EF。

＊10。 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4,BC＝3。

（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形的边长； (2）如图2，三角形内并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；

（3）如图3，三角形内并排的三个相等的正方形,它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长；

(4）如图4，三角形内并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长.

＊*11。 （丰台区二模）阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝4，BC＝3,P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，求对角线PQ的最小值及此时

AP的值是多少。 AC

在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短。进而，小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3。参考小明的做法，解决以下问题：

AP（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时,

AC＝ ；

（2）如图3，延长PA到点E，使AE＝nPA（n为大于0的常数）。以PE，PB为边作平行四边形PBQE，那么对角线PQ的最小值为 ,此时AP＝ ； AC（3）如图4,如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E,使AE＝nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作平行四边形PCQE,那么对角线PQAP的最小值为 ，此时＝ 。

AC*＊12。 若已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E,EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明

111成立(不要求考生ABCDEF

证明）。

若将图中的垂线改为斜交，如图,AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则:

（1）

111还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立,请ABCDEF说明理由；

（2）请找出SABD,SBED和SBDC间的关系式，并给出证明.

1。 D 解析：根据平行四边形的性质求出DC＝AB,DC∥AB，求出DE:AB＝2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF,求出△DEF和△ABF的面积比,根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比,即可求出答案。 2。 D 解析：连接EF,过O作MN⊥DC于N，交EF于M，求出四边形DEFC是矩形，推出EF∥CD，EF＝CD＝15，证△EOF∽△GOH，推出

EFOM3，求出ON＝2,OM＝6,根据阴影部分的面积＝SGHON矩形DEFC

－S△EFO－

S△HOG，分别求出，代入即可。

3。 A 解析：由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，可证得

PCBC1，PB＝PR，又由点R为DE的中REBE2PQPCPC1，继而可求得BP：PQ：QR的点,△PCQ∽△RDQ，可得

QRDRRE2△PBC∽△RBE,继而可得

值。

4。 C 解析:作AH⊥BD的延长线于H，作BG⊥CD于G，根据条件利用直角三角形的性质求出∠EBA＝∠EAB,就可以得出BE＝AE.由∠ECD＝∠EAD，得出CE＝AE。可以得出①是正确的，设参数利用勾股定理就可以求出BC的值，从而得出结论②；根据等底的两三角形面积之比等于高之比，运用相似三角形的性质求出高的比就可以得出结论③；根据平行线的性质得出三角形相似，根据性质求出EF与AD的数量关系，而得出结论④；根据三角函数值的定义建立直角三角形，用参数表示出相应边的值就可以求出结论⑤。 5.

12 解析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC,由平行四边形的性质5可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值。解题的关键是作高线构造各种相似三角形.

6. ①③④ 解析：①∠AED＝90°－∠EAD，∠ADC＝90°－∠DAC,∠EAD＝∠DAC；②易证△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC:AC＝3：AC，AC不一定等于

BEEDDC4。③由①证△BED∽△BDA，得，得BEACBDDC＝12；BDADAC④连接DM，可证DM∥BF∥ AC，得FM：MC＝BD：DC＝4：3;易证△FMB∽△CMA，得比例线段求解。 7。 7,98 解析:由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,tan∠DFC＝2,可得BE＝32BF，又由S△BEF＝9，即可求得BF与BE的长,然后过点C作CH⊥DF于点H,设DH＝h，可求得h的值，继而由勾股定理求得BC的长；首先过点D作DM⊥BC于点M,利用三角形的面积求得DM的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AB的长，继而求得答案.

8。 ①③ 解析：根据题意首先易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的

AGFG对应边成比例与BA＝BC，继而证得正确;由点D是AB ABFB的中点，易证得BC＝2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE＝∠BCD，即可

111AB，继而可得FGBF；即可得AFAC，又由等腰直角三角2232形的性质，可得AC2AB，即可求得AFAB；则可得SABC6SBDF.

3得AG9. 证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB。 易知：DB2FB2AB•HB，AD2AE2AG•AB. 两式相减得：,即DB2AD2AB•HB﹣AGDBAD•ABAB•HBAG。

于是：DBADHBAG，或DBHBADAG. ∴DH＝GD。显然，EG∥CD∥FH。故CD平分EF。

10。 解：（1)在图1中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N. 在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，

12∴AB＝5，CN＝，

5

∵GF∥AB,

∴△CGF∽△CAB, ∴

CMGF, CNAB12xx60设正方形边长为x,则512 ，∴x＝；

5375

（2)在图2中作CN⊥AB,交GF于点M,交AB于点N。 ∵GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB， ∴

CMGF， CNAB12x2x设每个正方形边长为x,则5125，

5∴x＝6049；

(3）在图3中作CN⊥AB，交GF于点M,交AB于点N， ∵GF∥AB,

∴△CGF∽△CAB， ∴CMCNGFAB, 12x设每个正方形的边长为x,则53x125,

5∴x＝6061；

12（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：5xnx125，56012n25。

11。 解：(1）如图2,

∵四边形APBQ是平行四边形, ∴AP∥BQ,AP＝BQ。

∵QP⊥AC,∠ACB＝90°， ∴∠APQ＝∠C＝90°。 ∴PQ∥BC.

∵PC∥BQ，PQ∥BC,∠C＝90°， ∴四边形PCBQ是矩形。 ∴QB＝PC。 ∴AP＝PC。

则x＝

∴

AP1。 AC2（2）如图5，

由题意可知：当QP⊥AC时，PQ最短。

∵QP⊥AC,∠ACB＝90°,∴∠APQ＝∠C＝90°.∴PQ∥BC. ∵四边形PBQE是平行四边形,∴EP∥BQ，EP＝BQ。

∵PC∥BQ,PQ∥BC,∠C＝90°，∴四边形PCBQ是矩形。 ∴QB＝PC,PQ＝BC＝3。∴EP＝PC.

∵AE＝nPA，∴PCEPEAAPnPAAPn1AP。 ∴ACAPPCAPn1APn2AP。

APAP1∴。 ACn2APn2（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，

由题意可知:当QP⊥AB时，PQ最短。 ∵QP⊥AB，CH⊥AB， ∴∠APQ＝∠AHC＝90°. ∴PQ∥HC。

∵四边形PCQE是平行四边形， ∴EP∥CQ，EP＝CQ。

∵PH∥CQ，PQ∥HC,∠PHC＝90°， ∴四边形PHCQ是矩形。 ∴QC＝PH，PQ＝HC。 ∴EP＝PH。 ∵AE＝nPA,

∴EPEAAPnPAAPn1AP. ∴EH2EP2n1AP。

∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB＝5。

∵∠HAC＝∠CAB,∠AHC＝∠ACB＝90°， ∴△AHC∽△ACB。 ∴

AHHCAC。 ACCBAB∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，

AHHC4. 4351612∴AH，HC。

551216∴PQHC,EHAEAHnPA.

5516∴EH2n1APnPA 。

516∴2n2nAP。

516∴AP。

5n10AP164∴。 AC45n105n10∴

12。 解：(1)成立。 证明：∵AB∥EF ∴

EFDF ABDB∵CD∥EF EFBF ∴

CDDBEFEFDFBFDB1 ∴

ABCDDBDBDB111 ∴； ABCDEF111+= （2)关系式为:

S△ABDS△BDCS△BED证明如下：分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K。

由题设可得:

111+= AMCKEN222+= ∴

BDAMBDCKBDEN111+=11即1

BDAMBDCKBDEN222111又∵BD•AM＝S△ABD，BD•CK＝S△BCD ，BD•EN＝S△BED

222111+=∴。 S△ABDS△BDCS△BED尊敬的读者：

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