最新课程标准：（１）通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．（２）针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
知识点一 集合的概念
１．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素． ２．集合：把一些元素组成的总体叫做集合． ３．集合中元素的特征 特征 含义 集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准 给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现 集合中的元素无先后顺序之分 确定性 互异性 无序性 ４．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
错误! 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以
是点，也可以是一些人或一些物．
知识点二 元素与集合的表示及关系 １．元素与集合的符号表示 表示错误!
２．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例 a属于集合A a是集合 A中的元素 a不是集合 a∈A 若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江a不属于集合A A中的元素 错误! 对元素和集合之间关系的两点说明
a∉A ∉A １．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．
２．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． ３．数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R. 知识点三 集合的表示 １．列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
２．描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成
的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．
错误!
１．列举法表示集合时的４个关注点 （１）元素与元素之间必须用“，”隔开． （２）集合中的元素必须是明确的． （３）集合中的元素不能重复． （４）集合中的元素可以是任何事物． ２．描述法表示集合时的３个关注点
（１）写清楚集合中元素的符号，如数或点等；
（２）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； （３）不能出现未被说明的字母． [教材解难]
１．教材P２思考
例（３）到例（6）都能组成集合 例（３）中的元素为“每一个正方形”
例（４）中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点” 例（５）中的元素为“方程x２—３x＋２＝0的所有实数根” 例（6）中的元素为“地球上的四大洋” ２．教材P３思考
（１）能，大于等于0且小于等于9的３的倍数．
（２）不能，不等式x—7<３的解集是x<１0，元素有无数个，列举不完． ３．教材P５思考
用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x—１>0的解集；描述法清
楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素． [基础自测]
１．下列能构成集合的是（ ） Ａ．电视台著名节目主持人 Ｂ．我市跑得快的汽车 Ｃ．上海市所有的中学生 Ｄ．的高楼
解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合． 答案：C
２．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是（ ） Ａ．M＝{π}，N＝{３．１４１ ５9} Ｂ．M＝{２,３}，N＝{（２,３）} Ｃ．M＝{x|—１ 答案：D ３．集合{x∈N*|x—３<２}的另一种表示法是（ ） Ａ．{0,１,２,３,４} Ｂ．{１,２,３,４} Ｃ．{0,１,２,３,４,５} Ｄ．{１,２,３,４,５} 解析：∵x—３<２，x∈N*， ∴x<５，x∈N*， ∴x＝１,２,３,４．故选Ｂ． 答案：B ４．设—５∈{x|x２—ax—５＝0}，则集合{x|x２＋ax＋３＝0}＝________. 解析：由题意知，—５是方程x２—ax—５＝0的一个根， 所以（—５）２＋５a—５＝0，得a＝—４， 则方程x２＋ax＋３＝0， 即x２—４x＋３＝0， 解得x＝１或x＝３， 所以{x|x２—４x＋３＝0}＝{１,３}． 答案：{１,３} 题型一 集合的概念[经典例题] 例１ 下列对象能构成集合的是（ ） Ａ．高一年级全体较胖的学生 Ｂ．sin ３0°，sin ４５°，cos 60°，１ Ｃ．全体很大的自然数 Ｄ．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin ３0°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选Ｄ． 【答案】 D 构成集合的元素具有确定性． 方法归纳 判断一组对象组成集合的依据 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． 跟踪训练１ 下列各项中，不可以组成集合的是（ ） Ａ．所有的正数 Ｂ．等于２的数 Ｃ．接近于0的数 Ｄ．不等于0的偶数 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选Ｃ． 答案：C C中元素不确定． 题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例２ （１）下列关系中，正确的有（ ） １错误!∈R；２错误!∉Q；３|—３|∈N；４|—错误!|∈Q. Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 （２）满足“a∈A且４—a∈A，a∈N且４—a∈N”，有且只有２个元素的集合A的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 【解析】 （１）错误!是实数，错误!是无理数，|—３|＝３是非负整数，|—错误!|＝错误!是无理数．因此，１２３正确，４错误． （２）∵a∈A且４—a∈A，a∈N且４—a∈N，若a＝0，则４—a＝４，此时A＝{0,４}满足要求；若a＝１，则４—a＝３，此时A＝{１,３}满足要求；若a＝２，则４—a＝２，此时A＝{２}不满足要求．故有且只有２个元素的集合A有２个，故选Ｃ． 【答案】 （１）C （２）C a分类处理： １a＝0，a＝１，a＝２； ２a＝３，a＝４ 还讨论吗？ 方法归纳 判断元素和集合关系的两种方法 （１）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的． （２）推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件． 跟踪训练２ 下列说法正确的是（ ） Ａ．0∉N Ｂ．错误!∈Q Ｃ．π∉R Ｄ．错误!∈Z 解析：Ａ．N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；Ｂ．错误!是无理数，Q是有理数集合，错误!∉Q，故本选项错误；Ｃ．π是实数，即π∈R，故本选项错误；Ｄ．错误!＝２,２是正整数，则错误!∈Z，故本选项正确．故选Ｄ． 答案：D N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集． 题型三 集合的表示[教材P４例题２] 例３ 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （１）方程x２—２＝0的所有实数根组成的集合A； （２）由大于１0且小于２0的所有整数组成的集合B. 【解析】 （１）设x∈A，则x是一个实数，且x２—２＝0．因此，用描述法表示为 A＝{x∈R|x２—２＝0}． 方程x２—２＝0有两个实数根错误!，—错误!，因此，用列举法表示为A＝{错误!， —错误!}． （２）设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且１0 找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征． 教材反思 本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素． 跟踪训练３ 用适当的方法表示下列集合： （１）方程组错误!的解集； （２）由所有小于１３的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； （３）方程x２—２x＋１＝0的实数根组成的集合； （４）二次函数y＝x２＋２x—１0的图象上所有的点组成的集合． 解析：（１）解方程组错误!得错误!故解集可用描述法表示为错误!，也可用列举法表示为{（４，—２）}． （２）小于１３的既是奇数又是素数的自然数有４个，分别为３,５,7,１１．可用列举法表示为{３,５,7,１１}． （３）方程x２—２x＋１＝0的实数根为１，因此可用列举法表示为{１}，也可用描述 法表示为{x∈R|x２—２x＋１＝0}． （４）二次函数y＝x２＋２x—１0的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对（x，y），其中x，y满足y＝x２＋２x—１0，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x， y）|y＝x２＋２x—１0}． 易错点 忽略集合中元素的互异性出错 例 含有三个元素的集合错误!，也可表示为集合{a２，a＋b,0}，求a，b的值． 【错解】 ∵错误!＝{a２，a＋b,0}， ∴错误! 解得错误!或错误! 【正解】 ∵错误!＝{a２，a＋b,0}， ∴错误! 解得错误!或错误! 由集合中元素的互异性，得a≠１． ∴a＝—１，b＝0． 【易错警示】 错误原因 纠错心得 含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素错解忽略了集合中元素的互异性，当a＝１时，在一个集合中出现了两个相同的元素 与集合的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的互异性对参数的取值进行分类讨论 方法归纳 选用列举法或描述法的原则 要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举 法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的条件较多时，就不宜采用描述法. 课时作业 １ 一、选择题 １．已知集合A中元素x满足—错误!≤x≤错误!，且x∈N*，则必有（ ） Ａ．—１∈A Ｂ．0∈A Ｃ．错误!∈A Ｄ．１∈A 解析：x∈N*，且—错误!≤x≤错误!，所以x＝１,２．所以１∈A. 答案：D ２．将集合错误!用列举法表示，正确的是（ ） Ａ．{２,３} Ｂ．{（２,３）} Ｃ．{（３,２）} Ｄ．（２,３） 解析：解方程组错误!得错误! 所以答案为{（２,３）}． 答案：B ３．已知集合A含有三个元素２,４,6，且当a∈A，有6—a∈A，那么a为（ ） Ａ．２ Ｂ．２或４ Ｃ．４ Ｄ．0 解析：集合A含有三个元素２,４,6，且当a∈A，有6—a∈A，a＝２∈A,6—a＝４∈A， 所以a＝２， 或者a＝４∈A,6—a＝２∈A，所以a＝４， 综上所述，a＝２或４．故选Ｂ． 答案：B ４．下列集合的表示方法正确的是（ ） Ａ．第二、四象限内的点集可表示为{（x，y）|xy≤0，x∈R，y∈R} Ｂ．不等式x—１＜４的解集为{x＜５} Ｃ．{全体整数} Ｄ．实数集可表示为R 解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复． 答案：D 二、填空题 ５．给出下列关系：（１）错误!∈R；（２）错误!∈Q；（３）—３∉Z；（４）—错误!∉N，其中正确的是________． 解析：错误!是实数，（１）正确；错误!是无理数，（２）错误；—３是整数，（３）错误；—错误!是无理数，（４）正确． 答案：（１）（４） 6．设集合A＝{１，—２，a２—１}，B＝{１，a２—３a,0}，若A，B相等，则实数a＝________. 解析：由集合相等的概念得错误!解得a＝１． 答案：１ 7．已知集合A＝错误!，用列举法表示集合A为________． 解析：（6—x）是１２的因数，并且x∈N，解得x为0,２,３,４,５． 答案：{0,２,３,４,５} 三、解答题 8．已知集合A含有两个元素a—３和２a—１，若—３∈A，试求实数a的值． 解析：因为—３∈A，A＝{a—３,２a—１}，所以—３＝a—３或—３＝２a—１． 若—３＝a—３，则a＝0． 此时集合A含有两个元素—３，—１，符合题意． 若—３＝２a—１，则a＝—１， 此时集合A含有两个元素—４，—３，符合题意． 综上所述，满足题意的实数a的值为0或—１． 9．用适当的方法表示下列集合． （１）方程x（x２＋２x＋１）＝0的解集； （２）在自然数集中，小于１ 000的奇数构成的集合． 解析：（１）因为方程x（x２＋２x＋１）＝0的解为0或—１，所以解集为{0，—１}． （２）在自然数集中，奇数可表示为x＝２n＋１，n∈N，故在自然数集中，小于１ 000的奇数构成的集合为{x|x＝２n＋１，且n<５00，n∈N}． [尖子生题库] １0．下列三个集合： １{x|y＝x２＋１}； ２{y|y＝x２＋１}； ３{（x，y）|y＝x２＋１}． （１）它们是不是相同的集合？ （２）它们各自的含义是什么？ 解析：（１）它们是不相同的集合． （２）集合１是函数y＝x２＋１的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x２＋１}＝R.集合２是函数y＝x２＋１的所有函数值y组成的集合． 由二次函数图象知y≥１， 所以{y|y＝x２＋１}＝{y|y≥１}． 集合３是函数y＝x２＋１图象上所有点的坐标组成的集合． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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