广西南宁三中2016-2017学年高一下学期期末考试数学(理)试卷

南宁三中2016—2017学年度下学期高一期考

数学（理）试题

一、选择题

1.sin600（ ）

A.

1 2B.1 2C.

3 2D. 3 22.已知sinA

A．13A（ ） ,那么cos22B．

1 21 2C. 3 2D．3 23．已知向量a(1,x)，b(x1,2)，若a//b，则x（ ）

A．1或2

2B．2或1

2C．1或2 D．1或2

4．点M在x5y39上，则点M到直线3x4y20的最短距离为（ ）

A. 9

B．8

C. 5

D．2

5．若将函数ysin2x图象向右平移（ ）

A.

48个单位长度后关于y轴对称，则的值为

B.

3 8C.

3 4D.

5 86．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A.

1 2 B.

1 3 C.

1 4 D.

1 57．已知sin

A．

24 253，则cos2的值为（ ） 25B．

7 25C. 7 25D．24 25228．已知圆M:xy2ay0a0截直线xy0所得线段的长度是22，则圆M与

圆的N:x1y11的位置关系是（ ）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离

22 1

9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

Ａ．Ｃ．53 3Ｂ．433 53 6Ｄ．3

10．已知函数fxAsinxA0,0,fx图像上的所有点向右平移

的部分图像如图所示，若将22单位得到函数gx的图象，则函数gx的单调递增

区间为（ ）

A．k3,k6,kZ

B．k2,k,kZ

6312,k12

C．k,kZ

D．k7,k,kZ 121211．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:xky10与圆C:x2y24相

交于A, B两点，OMOAOB．若点M在圆C上，则实数k（ ）

A．2

B．1

C．0

D．1

12．已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E满足BE若AB•AF1，则AE•BF（ ）

A. 1

B. 2

C.

1BC，点F在边CD上，33

D. 3

二、填空题

13．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，

点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E 与GF所成的角是 ．

2

114．在区间3,2上随机取一个数x，则事件“14”发生的概率为________. 215．直线x3y10的倾斜角为 ．

xfx,x1m16. 设fx是定义在R上的奇函数，且fx2x，设gx{，若函数

fx,x12xygxt有且只有一个零点，则实数t的取值范围是__________．

三、解答题

17．已知直线l1:ax3y10,l2:xa2ya0． （1）若l1l2，求实数a的值；

（2）当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离．

18．袋子中装有编号为A1,A2,A3的3个黑球和编号为B1,B2的2个红球，从中任意摸出2个球.

(Ⅰ)写出所有不同的结果；

(Ⅱ)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； (Ⅲ)求至少摸出1个红球的概率.

3

19．已知向量a＝(cos

3x3x)，，sin

22b＝(－sin

xx，－cos )，其中x∈[，π]．

222（1）若|a＋b|＝3，求x的值； （2）函数f(x)＝

a·b＋|a＋b|2

，若cf(x)恒成立，求实数c的取值范围．

4

20．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正

三角形，且平面PAD平面ABCD，O为棱AD的中点. （1）求证：PO平面ABCD； （2）求二面角APDB的余弦值。

21．已知向量a(cosxsinx,sinx)，b(cosxsinx,23cosx)，设函

数f(x)ab(xR)的图象关于直线

x对称，其中,为常数，且

(12,1)．

（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）若yf(x)的图象经过点(3π4,0)，求函数f(x)在区间[0,5]上的取值范围．

5

22．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相

切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13． （Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四

边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

6

高一期考数学（理）试题参

1. D.

3 213AsinA.故应选A 222. A 因cos3. A ∵a(1,x)，b(x1,2)，a//b，∴12x(x1)0，∴x2或1，选A. 4. D 由圆的方程x5y39，可知圆心坐标O(5,3)，则圆心到直线的距离

22dD.

3543234225，所以点M到直线3x4y20的最短距离为dr2，故选

5. C 函数ysin2x图象向右平移个单位长度后得到sin2x数，故3. 48为偶函46, 选A ,解：所有可能为12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43共12个，满足条件的有6个。所以选A

7. B 由sin33，得cos，

52597所以cos2cos212cos2122525，故选B.

8. B 化简圆M:x(ya)aM(0,a),r1aM到直线

d222xy0的距离

a2a)2a2a2M(0,2),r12， (22又N(1,1),r21|MN|2|r1r2||MN||r1r2|两圆相交.

9. A 该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，所以体积为

31353 222-221=4343

10. A 由图可得，f(x)的振幅A2，周期T4(||312)，则w2，又

2，所以2122，解得3，所以f(x)2sin(2x3)，平移后得

7

g(x)2sin[2(x12)3]2sin(2x6)，令

k,kZ，所以

22k2x622k,kZ，解得3kx6g(x)的单调增区间为[3k,6k],kZ.故本题正确答案为A．

11. C 设A(x1,y1),B(x2,y2)，将直线方程代入C:x2y24，

整y1y2理得，

(k21)y22ky30，所以，

2k2,x1x2k(y1y2)22， 2k1k122k222k2C()()4， ,)．由于点在圆上，所以，

k21k21k21k21OMOAOB(解得，k0，故选C．

12. B 以A点为坐标原点，AD,AB方向为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则：

A0,0,B0,2，设F3,m，则：

AB0,2,AF3,m,ABAF2F3,，即2m1,m22，则： 22AE1,2,BF3,,AEBF312。 2本题选择B选项.

13. 90 解：连接B1G,B1F，由于A1E//B1G，所以B1GF即为所求，

B1F5,B1G2,GF3，满足勾股定理，故B1GF90．

214. 解:

5x0221P 142x0，所以所求概率为

2352 15, 答案:

16. ,解：

22x且fx25 633fx是定义在R上的奇函数，

m,f00，即f01m0，得m1， 2x 8

x12x,x112x则fx2x，gx，则当x1时，函数为

212x,x12x增函数，且当x1时，gx211132，当x21221时，函数为减函数，

1且gxg121132 ,由y2122gxt0得gxt，作出函数

gx和yt的图象如图：要使函数ygxt有且只有一个零点，则函数gx与

yt只有一个交点，则3333t，故答案为, .

222217. 解（1）由l1l2知a3a20，解得a（2）当l1∥l2时，有3； ……4分 2aa230解得a3， ……8分

3aa20l1:3x3y10,l2:xy30，即3x3y90，

距离为d91323242．…10分 318.解：（Ⅰ）A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2 …………4分

(Ⅱ) 记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A包含的基本事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个基本事件.

所以P(A)60.6. 10恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ………………………………8分

(Ⅲ)记“至少摸出1个红球”为事件B，则事件B包含的基本事件为A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，

A3B1，A3B2，B1B2，共7个基本事件，所以P(B)70.7. 10至少摸出1个红球的概率为0.7 . ……………………………………12分 19. 解 ：(1)∵ab＝(cos

3xx3xx－sin ，sin －cos )， 2222223xx3xx∴ab＝cossinsincos＝22sin2x，

2222

9

由ab＝3，得22sin2x＝3，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.

2因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝(2)∵ab＝－cos 2x，

∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立， 因此c>[f(x)]max，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．………………………………12分

20. (1)证明：∵PAD是正三角形，O是AD中点，∴POAD

∵平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD……………………………………….5分

（2）解法1：平面PAD平面ABCD,ABAD,AB平面PAD，过A作AGPD于G，连接GB，则GBPD,AGB为二面角APDB的平面角，在RtABG66117.............6分 或x＝

1212123xx3xxsin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝ab＋2222cb＝2－3sin

2中，AG3,AB2,GB7,cosAGBAG321. BG77 解法2：（2）以O为原点，以OA为x轴，OP为z轴，建立如图所

示坐标系，

A(1,0,0),B(1,2,0),D(1,0,0),P(0,0,3),C(1,2,0)

∴PD(1,0,3)，PB(1,2,3)， 设平面PDB的法向量为n(x,y,z)，

nPD3zx0则，∴n(3,3,3)， nPBx2y3z0 又∵CD平面PAD，∴平面PAD的一个法向量为m(0,1,0)，∴cosn,m21

，

321………………………………………………………………12分 721解

：

（

1

）

f(x)ab(cosxsinx)(cosxsinx)sinx23cosx

10

(cos2xsin2x)3sin2x2sin(2x3sin2xcos2x6)．

因为图象关于直线x对称，所以2所以k11，又(,1)，所以k22362k，kZ，

1时，5， 6265所以函数f(x)的最小正周期为5．……………………………………………626分

5（2）因为f()0，所以2sin(2)0

465所以2，所以f(x)2sin(x)2．

36由x0,55351，所以x,，所以sin(x),1， 53636662f(x)512,22所以2sin(x)2f(x)，故函数36在区间0,3 5上的取值范围为12,22．………………12分

|3a7|22R，13222

22.解：（I）设圆C：(x-a)+y=R(a>0)，由题意知34解得a=1或a=， 3分

82a3R，222

又∵S=πR<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)+y=4． 6分

（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又∵l与圆C相交于不同的两点，联立(x1)2y24，22

消去y得：(1+k)x+(6k-2)x+6=0， 9分

ykx3，∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，解得k1x1+x2=OD6k22k6y+ y2=k(x1+x2)+6=， 2，1

1k1k22626或k1． 3311(OAOB)(x1x2，y1y2)，MC(1，3)， 226k22k6， 1k21k2假设OD//MC，则3(x1x2)y1y2，∴3解得k

32626(，1)(1，)，假设不成立． 43311

∴不存在这样的直线l． 12分

12