【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳

第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型:

(1)数列: *anf(n); *an1f(an) (2)初等函数:

(3)分段函数: *F(x)极限与连续

f1(x)xx0f(x)xx0; *F(x);* ,,xxf(x)02axx0 (4)复合(含f)函数: yf(u),u(x) (5)隐式(方程): F(x,y)0

(6)参式(数一,二): xx(t)

yy(t) (7)变限积分函数: F(x)xaf(x,t)dt

(8)级数和函数(数一,三): S(x) 2. 特征(几何):

axnn0n,x

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调x0,(xx0)(f(x)f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: yf(x)xf二. 极限性质:

 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x); *limf(x)(含xx0)

1(y)yf1(x)

nxxx0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:

0,,1,,0,00,0 0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

an n1, a(a0)1, (abc)max(a,b,c), a00

n!nn1n1n1nnxnlnnx1x0, x1, limx0, lim (x0), limxexx0xx 1

xxlnx0 lim, ex0n0x ,x四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当u(x)0时, sinu(x) eu(x)u(x); tanu(x)u(x); 1cosu(x)12u(x); 21u(x); ln(1u(x))u(x); (1u(x))1u(x);

arcsinu(x) 2. 泰勒公式:

u(x); arctanu(x)u(x)

12xo(x2); 2!122 (2)ln(1x)xxo(x);

2134 (3)sinxxxo(x);

3!12145 (4)cosx1xxo(x);

2!4!(1)2 (5)(1x)1xxo(x2).

2! (1)e1xx五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小(01,1,M(其它如:,0,00,0); (2)变量代换(如:t) 0x), 11,x) x 2. 无穷小与有界量乘积 (M) (注:sin 3. 1处理(其它如:0,)

00 4. 左右极限(包括x):

11x (1)(x0); (2)e(x); ex(x0); (3)分段函数: x, [x], maxf(x)

x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(

0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim)

x11xx01x0v(x) (2)幂指型处理: u(x) (3)含变限积分;

ev(x)lnu(x)(如: e1x1ee(e1x1x11x1x1))

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(4)不能用与不便用

7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)limF(x,n)(分段函数)

n六. 非常手段 1. 收敛准则:

(1)anf(n)limf(x)

x (2)双边夹: *bnancn?, *bn,cna?

(3)单边挤: an1f(an) *a2a1? *anM? *f'(x)0?

ff'(x0)

x0x1112n 3. 积分和: lim[f()f()f()]f(x)dx,

0nnnnn 2. 导数定义(洛必达?): lim 4. 中值定理: lim[f(xa)f(x)]alimf'()

xx 5. 级数和(数一三):

2nn! (1)an收敛liman0, (如limn) (2)lim(a1a2nnnnn1an)an,

n1 (3){an}与

(an1nan1)同敛散

七. 常见应用:

1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x) (1)f(0)f'(0) (2)

kxn,(x0)?

f(n1)(0)0,f(n)(0)af(x)anx(xn)n!anx n!x0f(t)dtx0ktndt

2. 渐近线(含斜):

f(x),blim[f(x)ax]f(x)xxx1 (2)f(x)axb,(0)

x (1)alimaxb

3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f'(x)连续性) 八. [a,b]上连续函数性质

1. 连通性: f([a,b])[m,M] (注:01, “平均”值:f(a)(1)f(b)f(x0)) 2. 介值定理: (附: 达布定理)

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(1)零点存在定理: f(a)f(b)0f(x0)0(根的个数); (2)f(x)0(xaf(x)dx)'0.

第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一. 基本概念:

1. 差商与导数: f'(x)limx0f(x)f(x0)f(xx)f(x); f'(x0)lim

xx0xxx0 (1)f'(0)limx0f(x)f(0)f(x) (注:limA(f连续)f(0)0,f'(0)A)

x0xx'' (2)左右导: f(x0),f(x0);

(3)可导与连续; (在x0处, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导数:

ff(xx)f(x)f'(x)xo(x)dff'(x)dx

(1)可微可导; (2)比较f,df与\"0\"的大小比较(图示); 二. 求导准备:

1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x))')

2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤):

dx1 dyy' 1. 定义导: (1)f'(a)与f'(x)xa; (2)分段函数左右导; (3)limh0f(xh)f(xh)

h (注: f(x)F(x)xx0, 求:f'(x0),f'(x)及f'(x)的连续性) ,xx0a 2. 初等导(公式加法则):

(1)uf[g(x)], 求:u'(x0)(图形题); (2)F(x)xaf(t)dt, 求:F'(x) (注: (f(x,t)dt)',(f(x,t)dt)',(f(t)dt)')

aaaxbbf1(x)xx0'', (3)y,求f(x0),f(x0)及f'(x0) (待定系数)

f2(x)xx0dyd2y, 3. 隐式(f(x,y)0)导: dxdx2 (1)存在定理;

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(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.

xx(t)dyd2y,2 4. 参式导(数一,二): , 求:

dxdxyy(t) 5. 高阶导f (e)ax(n)(n)(x)公式:

1(n)bnn!)ae; (; abx(abx)n1nax (sinax)(n)ansin(ax2n); (cosax)(n)ancos(ax

2n)

(n)(n)1(n1)2(n2)v'Cnuv\" (uv)uvCnu 注: f(n)(0)与泰勒展式: f(x)a0a1xa2x2anxnf(n)(0)an

n!四. 各类应用:

1. 斜率与切线(法线); (区别: yf(x)上点M0和过点M0的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): f\"(x)(1f'(x))23(曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)

4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f'(x0)0): (1) f'(x)0f(x) (2)分段函数的单调性

(3)f'(x)0零点唯一; f\"(x)0驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:

(1)表格(f'(x)变号); (由lim; f'(x)0f(x);

xx0f'(x)f'(x)f''(x)0,lim0,lim0x0的特点)

xx0xx0xxx2 (2)二阶导(f'(x0)0)

注(1)f与f',f\"的匹配(f'图形中包含的信息);

(2)实例: 由f'(x)(x)f(x)g(x)确定点“xx0”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)

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3. 不等式证明(f(x)0)

(1)区别: *单变量与双变量? *x[a,b]与x[a,),x(,)? (2)类型: *f'0,f(a)0; *f'0,f(b)0

*f\"0,f(a),f(b)0; *f\"(x)0,f'(x0)0,f(x0)0 (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: f(x)Mfmax(x)M) 4. 函数的零点个数: 单调介值

六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. y\"表格; (f\"(x0)0)

2. 应用: (1)泰勒估计; (2)f'单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: F(b)F(a)F'()f()0 2. 辅助函数构造实例: (1)f()F(x)xaf(t)dt

(2)f'()g()f()g'()0F(x)f(x)g(x) (3)f'()g()f()g'()0F(x) (4)f'()()f()0F(x)e 3. f(n)f(x) g(x)(x)dxf(x);

()0f(x)有n1个零点f(n1)(x)有2个零点

(n) 4. 特例: 证明f()a的常规方法:令F(x)f(x)Pn(x)有n1个零点(Pn(x)待定)

5. 注: 含1,2时,分家!(柯西定理)

6. 附(达布定理): f(x)在[a,b]可导,c[f'(a),f'(b)],[a,b],使:f'()c 八. 拉格朗日中值定理

1. 结论: f(b)f(a)f'()(ba); ((a)(b),'()0) 2. 估计:

ff'()x

九. 泰勒公式(连接f,f',f\"之间的桥梁)

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11 1. 结论: f(x)f(x20)f'(x0)(xx0)f\"(x0)(xx0)f\"'()(xx32!3!0); 2. 应用: 在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计

十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学

一. 基本概念: 1. 原函数F(x):

(1)F'(x)f(x); (2)f(x)dxdF(x); (3)f(x)dxF(x)c 注(1)F(x)xaf(t)dt(连续不一定可导);

(2)

xt)f(t)dtxa(xaf(t)dtf(x) (f(x)连续)

2. 不定积分性质:

(1)(f(x)dx)'f(x); d(f(x)dx)f(x)dx (2)

f'(x)dxf(x)c; df(x)f(x)c

二. 不定积分常规方法

1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

(k1f(x)k2g(x))dxk1f(x)dxk2g(x)dx

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(1sin2xcos2x) 如: dx1d(axb),xdx1dx2dxdxa2,xdlnx,x2dx

x1x2dxd1x2,(1lnx)dxd(xlnx)

4. 变量代换:

(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): xsint,axbt,1xt,ex1t

(2)作用与引伸(化简): x21xt

5. 分部积分(巧用):

(1)含需求导的被积函数(如lnx,arctanx,xaf(t)dt);

(2)“反对幂三指”:

xneaxdx,xnlnxdx,

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(3)特别:

xf(x)dx (*已知f(x)的原函数为F(x); *已知f'(x)F(x))

6. 特例: (1)

v(x)a1sinxb1cosxkx; (2)快速法; (3)dxp(x)edx,p(x)sinaxdxun(x)dx asinxbcosx三. 定积分:

1. 概念性质:

(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) * (3)附:

aa0axx2dx(a0)8a2; *(xabab)dx0 2bf(x)dxM(ba),

baf(x)g(x)dxMg(x)dx)

ab (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分(x)xaf(t)dt的处理(重点)

(1)f可积连续, f连续可导 (2)(xaf(t)dt)'f(x); ((xt)f(t)dt)'f(t)dt;

aaxxxaf(x)dt(xa)f(x)

(3)由函数F(x)

3. NL公式:

xaf(t)dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

baf(x)dxF(b)F(a)(F(x)在[a,b]上必须连续!)

注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含

baf(t)dt的方程.

4. 变量代换: (1)

baf(x)dxf(u(t))u'(t)dt

a0a0af(x)dxf(ax)dx(xat),

f(x)dxf(x)dx(xt)[f(x)f(x)]dx (如:4a0aa (2)

a1dx)

1sinx4 (3)In20sinnxdxn1In2, n (4) (5)

20f(sinx)dxf(cosx)dx;

200f(sinx)dx22f(sinx)dx,

00xf(sinx)dx20f(sinx)dx,

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5. 分部积分

(1)准备时“凑常数” (2)已知f'(x)或f(x)xa时, 求

baf(x)dx

6. 附: 三角函数系的正交性: 2220sinnxdx0cosnxdx0sinnxcosmxdx0

20sinnxsinmxdx20cosnxcosmxdx(nm)0

20sin2nxdx20cos2nxdx

四. 反常积分: 1. 类型: (1)aaf(x)dx,f(x)dx,f(x)dx (f(x)连续)

(2)

baf(x)dx: (f(x)在xa,xb,xc(acb)处为无穷间断)

2. 敛散;

3. 计算: 积分法NL公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1)

11xpdx; (2)110xpdx

五. 应用: (柱体侧面积除外)

1. 面积, (1)Sba[f(x)g(x)]dx; (2)Sdcf1(y)dy;

(3)S12r2()d; (4)侧面积:Sb2a2f(x)1f'(x)dx

2. 体积: (1)Vxb22d12ba[f(x)g(x)]dx; (2)Vyc[f(y)]dy2axf(x)dx

(3)Vxx0与Vyy0

3. 弧长: ds(dx)2(dy)2 (1)yf(x),x[a,b] sba1f'2(x)dx

(2)xx(t),t[t,tt22yy(t)12] stx'2(t)y'(t)dt

1 (3)rr(),[,]: s2r2()r'()d

4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):

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1b (1)f[a,b]f(x)dx;

baaxT (2)f[0)0f(t)dtxlimx, (f以T为周期:f0f(t)dtT)

第四讲: 微分方程

一. 基本概念

1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程:

(1)令xx(t)y'\"Dy\"(如欧拉方程)

(2)令uu(x,y)yy(x,u)y'(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:

1. 形式: (1)y'f(x,y); (2)M(x,y)dxN(x,y)dy0; (3)y(a)b 2. 变量分离型: y'f(x)g(y)

(1)解法:

dyg(y)f(x)dxG(y)F(x)C

(2)“偏”微分方程:

zxf(x,y); 3. 一阶线性(重点): y'p(x)yq(x)

(1)解法(积分因子法): M(x)exxp(x)dx0y1M(x)[xxM(x)q(x)dxy00]

(2)变化: x'p(y)xq(y);

(3)推广: 伯努利(数一) y'p(x)yq(x)y 4. 齐次方程: y'(yx) (1)解法: uyxuxu'(u),du(u)udxx

(2)特例:

dydxa1xb1yc1axbyc 222 5. 全微分方程(数一): M(x,y)dxN(x,y)dy0且

NxMy

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dUMdxNdyUC

yxcax0 6. 一阶差分方程(数三): yx1ayxx *nxbp(x)yxxQ(x)b三. 二阶降阶方程

1. y\"f(x): yF(x)c1xc2 2. y\"f(x,y'): 令y'p(x)y\"dpf(x,p) dxdpf(y,p) dy 3. y\"f(y,y'): 令y'p(y)y\"p四. 高阶线性方程: a(x)y\"b(x)y'c(x)yf(x) 1. 通解结构:

(1)齐次解: y0(x)c1y1(x)c2y2(x)

(2)非齐次特解: y(x)c1y1(x)c2y2(x)y*(x) 2. 常系数方程: ay\"by'cyf(x) (1)特征方程与特征根: abc0

(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: f(x)ke的算子法) (3)由已知解反求方程.

3. 欧拉方程(数一): axy\"bxy'cyf(x), 令xexy\"D(D1)y,xy'Dy 五. 应用(注意初始条件):

1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距

2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设

2t2ax2xaf(x)dxF(x),F(a)0

3. 导数定义立方程: 含双变量条件f(xy) 4. 变化率(速度)

的方程

dvd2x2 5. Fmadtdt 6. 路径无关得方程(数一):

QP xy11

7. 级数与方程:

2 (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:ya0a1xa2x,a0y(0),a1y'(0)

8. 弹性问题(数三)

第五讲: 多元微分与二重积分

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)ff(x0x,y0y),xff(x0x,y0),yff(x0,y0y) (2)limf,fxlimfxf,fylimy xy (3)fxxfyydf,limfdf(x)(y)22 (判别可微性)

注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0),fy(0,0)lim

y0xy 2. 特例:

xy(0,0)22 (1)f(x,y)xy: (0,0)点处可导不连续;

0,(0,0)xy(0,0)22 (2)f(x,y)xy: (0,0)点处连续可导不可微;

0,(0,0)二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: zf(x,y) 注: (1)x型; (2)zxy(x0,y0); (3)含变限积分

2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): zf[u(x,y),v(x,y)]

''\"\"\" 熟练掌握记号f1,f2,f11,f12,f22的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *F(x,y,z)0; *F(x,y,z)0 (存在定理)

G(x,y,z)0 (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): FxdxFydyFzdz0 (要求: 二阶导)

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(3)注: (x0,y0)与z0的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);

1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

(1)目标函数与约束条件: zf(x,y)(x,y)0, (或: 多条件) (2)求解步骤: L(x,y,)f(x,y)(x,y), 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).

(1)zf(x,y)MD{(x,y)(x,y)0} (2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作): (1)

d,

D (2)对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *f奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *DD1D2; *f(x,y)分片定义; *f(x,y)奇偶

2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): f(xy)

22x2y2 附: D:(xa)(yb)R; D:221;

ab222 双纽线(xy)a(xy) D:xy1 4. 特例:

(1)单变量: f(x)或f(y) (2)利用重心求积分: 要求: 题型

222222(kxky)dxdy, 且已知D的面积S12DD与重心(x,y)

5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(

f(M)d:D;;L;;):

13

1. “尺寸”: (1)

dSDD;

(2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 一. 级数概念

1. 定义: (1){an}, (2)Sna1a2 注: (1)liman; (2)

n无穷级数(数一,三)

an; (3)limSn (如nn)

n1(n1)!qn(或1); (3)“伸缩”级数:(an1an)收敛{an}收敛. na 2. 性质: (1)收敛的必要条件: liman0;

n (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)s2ns,an0s2n1ssns; 二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义: an0; (2)特征: Sn; (3)收敛SnM(有界)

lnkn11 2. 标准级数: (1)p, (2), (3)

nnlnknn 3. 审敛方法: (注:2abab,a (1)比较法(原理):an22lnbblna)

1k(估计), 如nf(x)dx; p0nP(n)Q(n)

(2)比值与根值: *limun1 *limnun (应用: 幂级数收敛半径计算)

nunn三. 交错级数(含一般项):

(1)n1an(an0)

1. “审”前考察: (1)an0? (2)an0?; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若liman11,则un发散

nan 2. 标准级数: (1)

(1)n111n11n1(1); (2)(1); (3) nnplnpn,an0; (3)结论:

3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:

an发散; (2)条件: an(1)n1an条件收敛.

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4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)s2ns,an0s2n1ssns. 5. 注意事项: 对比 四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)

nn2n, (2), (3) axa(xx)a(xx)nnn00an;

(1)ann;

an;

a2n之间的敛散关系

2. 阿贝尔定理:

(1)结论: xx敛Rx*x0; xx散Rx*x0 (2)注: 当xx条件收敛时Rxx* 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1) (2)

***nax,nxnnann与

naxn同收敛半径 2naxnn与

a(xx)n0之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

1213xx,R 2!3!1xx1214 (ee)1xx,R

22!4!1xx1315 (ee)xxx,R

23!5!13151214 sinxxxx,R cosx1xx,R;

3!5!2!4!11 1xx2,x(1,1); 1xx2,x(1,1)

1x1x1213 ln(1x)xxx,x(1,1]

231213 ln(1x)xxx,x[1,1)

231315 arctanxxxx,x[1,1]

351,xx0) (2)分解: f(x)g(x)h(x)(注:中心移动) (特别: 2axbxc e1xx (3)考察导函数: g(x) (4)考察原函数: g(x)

f'(x)f(x)g(x)dxf(0)

0xx0f(x)dxf(x)g'(x)

15

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)S(x),

(2)S'(x),(注意首项变化)

(3)S(x)()',

(4)S(x)\"S(x)\"的微分方程 (5)应用:

ananxnS(x)anS(1).

6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利: A(1p)n; (2)现值: A(1p)n

五. 傅里叶级数(数一): (T2)

1. 傅氏级数(三角级数): S(x)a20ancosnxbnsinnx n1 2. Dirichlet充分条件(收敛定理): (1)由f(x)S(x)(和函数) (2)S(x)12[f(x)f(x)] an1f(x)cosnxdx 3. 系数公式: a10f(x)dx,,n1,2,3,bn1f(x)sinnxdx 4. 题型: (注: f(x)S(x),x?) (1)T2且f(x),x(,](分段表示)

(2)x(,]或x[0,2] (3)x[0,]正弦或余弦 *(4)x[0,](T) *5. T2l

6. 附产品: f(x)S(x)a20ancosnxbnsinnx n1

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a01ancosnx0bnsinnx0[f(x0)f(x0)] S(x0)2n12

第七讲: 一. 向量基本运算

1. k1ak2b; (平行ba) 2. a; (单位向量(方向余弦) a0向量,偏导应用与方向导(数一)

1aa(cos,cos,cos))

abab 3. ab; (投影:(b)aaba; 垂直:abab0; 夹角:(a,b))

4. ab; (法向:naba,b; 面积:Sab) 二. 平面与直线

1.平面

(1)特征(基本量): M0(x0,y0,z0)n(A,B,C)

(2)方程(点法式): :A(xx0)B(yy0)C(zz0)0AxByCzD0 (3)其它: *截距式

2.直线L

(1)特征(基本量): M0(x0,y0,z0)s(m,n,p) (2)方程(点向式): L:xyz1; *三点式 abcxx0yy0zz0 mnpA1xB1yC1zD10 (3)一般方程(交面式): 

AxByCzD02222xa1(a2a1)t (4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB的参数表示:yb1(b2b1)t,t[0,1])

zc(cc)t121 3. 实用方法:

(1)平面束方程: :A1xB1yC1zD1(A2xB2yC2zD2)0 (2)距离公式: 如点M0(x0,y0)到平面的距离d

Ax0By0Cz0DABC222

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(3)对称问题;

(4)投影问题.

三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面

(1)形式: F(x,y,z)0 或zf(x,y); (注: 柱面f(x,y)0) (2)法向n(Fx,Fy,Fz)(cos,cos,cos) (或n(zx,zy1))

2. 曲线

xx(t) (1)形式:yy(t), 或F(x,y,z)0zz(t)G(x,y,z)0;

(2)切向: s{x'(t),y'(t),z'(t)} (或sn1n2)

3. 应用

(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面

1. 圆柱面: x2y2R2 2. 球面: x2y2z2R2

变形: x2y2R2z2, zR2(x2y2),

x2y2z22az, (xx22220)(yy0)(zz0)R 3. 锥面: zx2y2

变形: x2y2z2, zax2y2 4. 抛物面: zx2y2,

变形: x2y2z, za(x2y2) 5. 双曲面: x2y2z21

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6. 马鞍面: zx2y2, 或zxy

五. 偏导几何应用 1. 曲面

(1)法向: F(x,y,z)0n(Fx,Fy,Fz), 注: zf(x,y)n(fx,fy1) (2)切平面与法线:

2. 曲线

(1)切向: xx(t),yy(t),zz(t)s(x',y',z') (2)切线与法平面

3. 综合: :F0G0 , sn1n2

六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l方向斜率):

(1)定义(条件): l(m,n,p)(cos,cos,cos) (2)计算(充分条件:可微):

uluxcosuycosuzcos 附: zf(x,y),l0{cos,sin}zlfxcosfysin (3)附: 2fl2f2xxcos2fxysincosfyysin2

2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G: (1)计算:

(a)zf(x,y)Ggradz(fx,fy); (b)uf(x,y,z)Ggradu(ux,uy,uz) (2)结论 (a)ulGl0; (b)取lG为最大变化率方向;

19

(c)G(M0)为最大方向导数值.

第八讲: 三重积分与线面积分(数一)

一. 三重积分(

fdV)

 1. 域的特征(不涉及复杂空间域):

(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: D2xy{(x,y)xy2R2}z1(x,y)zz2(x,y) (3)截面法: D(z){(x,y)x2y2R2(z)}azb (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f的特征:

(1)单变量f(z), (2)f(x2y2), (3)f(x2y2z2), (4)faxbyczd 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *

dv; *利用对称性(重点)

 (2)截面法(旋转体): Ibadzfdxdy(细腰或中空, f(z), f(x2y2))

D(z) (3)投影法(直柱体): Idxdyz2(x,y)Dz1(x,y)fdz

xy (4)球坐标(球或锥体): I2R0d0sind0f()2d,

(5)重心法(faxbyczd): I(axbyczd)V 4. 应用问题:

(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss公式 二. 第一类线积分(fds)

L 1. “积”前准备:

(1)dsL; (2)对称性; (3)代入“L”表达式

L 2. 计算公式: xx(t)byy(t)t[a,b]fdsf(x(t),y(t))x'2(t)y'2(t)Ladt

3. 补充说明:

20

(1)重心法:

(axbyc)ds(axbyc)L;

L (2)与第二类互换: AdsLAdr

L 4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 zx,yds

L三. 第一类面积分(

fdS)

 1. “积”前工作(重点): (1)

dS; (代入:F(x,y,z)0)

 (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:

(1)zz(x,y),(x,y)DxyI(x,y,z(x,y))1z22xzydxdyDfxy (2)与第二类互换:

AndSAdS

四: 第二类曲线积分(1):

P(x,y)dxQ(x,y)dy (其中L有向)

L 1. 直接计算: xx(t)t2yy(t),t:t1t2It[Px'(t)Qy'(t)]dt

1 常见(1)水平线与垂直线; (2)x2y21 2. Green公式: (1)

PdxQdyQL(DxPy)dxdy; (2): *

PyQy换路径; *PQL(AB)yy围路径 (3)

(QxPy但D内有奇点)

L(变形)

LL* 3. 推广(路径无关性):

PyQy (1)PdxQdydu(微分方程)uBA(道路变形原理)

L(AB) 21

(2)P(x,y)dxQ(x,y)dy与路径无关(f待定): 微分方程.

L 4. 应用

功(环流量):IFdr (有向,F(P,Q,R),drds(dx,dy,dz))

五. 第二类曲面积分: 1. 定义: 2. 计算:

(1)定向投影(单项):

PdydzQdzdxRdxdy, 或R(x,y,z)dxdy (其中含侧)

R(x,y,z)dxdy, 其中:zz(x,y)(特别:水平面);

 注: 垂直侧面, 双层分隔

(2)合一投影(多项,单层): n(zx,zy,1) PdydzQdzdxRdxdy[P(z)Q(z)R]dxdy

xy (3)化第一类(不投影): n(cos,cos,cos) PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS

 3. Gauss公式及其应用: (1)散度计算: divAPQR xyz (2)Gauss公式: 封闭外侧, 内无奇点

PdydzQdzdxRdxdydivAdv

 (3)注: *补充“盖”平面: 4. 通量与积分: 

六: 第二类曲线积分(2):

0; *封闭曲面变形

(含奇点)

AdS (有向n,AP,Q,R,dSndS(dydz,dzdx,dxdy))

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

 1. 参数式曲线: 直接计算(代入)

注(1)当rotA0时, 可任选路径; (2)功(环流量):IFdr

 2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向), 所张曲面含侧) (1)旋度计算: RA(,,)(P,Q,R) xyz (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 

F0同侧法向n{Fx,Fy,Fz}或{Gx,Gy,Gz};

G022

(3)Stokes公式(选择): (a)化为

Adr(A)ndS

PdydzQdzdxRdxdy; (b)化为R(x,y,z)dxdy; (c)化为fdS

 23