人教版高中物理讲义171高考复习：知识讲解 电磁感应中的能量问题(基础)

物理总复习：电磁感应中的能量问题

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【考纲要求】

理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。

【考点梳理】

考点、电磁感应中的能量问题 要点诠释：

电磁感应现象中出现的电能，一定是由其他形式的能转化而来的，具体问题中会涉及多种形式能之间的转化，如机械能和电能的相互转化、内能和电能的相互转化。分析时应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功就可以知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功就可能有机械能参与转化；安培力做负功就是将其他形式的能转化为电能，做正功就是将电能转化为其他形式的能，然后利用能量守恒列出方程求解。

电能求解的主要思路：

（1）利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功。 （2）利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能。 （3）利用电路特征求解：通过电路中所产生的电流来计算。

【典型例题】

类型一、根据能量守恒定律判断有关问题

例1、如图所示，闭合线圈abcd用绝缘硬杆悬于O点，虚线表示有界磁场B，把线圈从图示位置释放后使其摆动，不计其它阻力，线圈将（ ）

A.往复摆动

B.很快停在竖直方向平衡而不再摆动 C.经过很长时间摆动后最后停下

D.线圈中产生的热量小于线圈机械能的减少量

【思路点拨】闭合线圈在进出磁场的过程中，磁通量发生变化，闭合线圈产生感应电流，其机械能转化为电热，根据能量守恒定律机械能全部转化为内能。

【答案】B

【解析】当线圈进出磁场时，穿过线圈的磁通量发生变化，从而在线圈中产生感应电流，机械能不断转化为电能，直至最终线圈不再摆动。根据能量守恒定律，在这过程中，线圈中产生的热量等于机械能的减少量。

【总结升华】始终抓住能量守恒定律解决问题，金属块（圆环、闭合线圈等）在穿越磁场时有感应电流产生，电能转化为内能，消耗了机械能，机械能减少，在磁场中运动相当于力学部分的光滑问题，不消耗机械能。上述线圈所出现的现象叫做电磁阻尼。用能量转化和守恒定律解决此类问题往往十分简便。磁电式电流表、电压表的指针偏转过程中也利用了电磁阻尼现象，所以指针能很快静止下来。 举一反三

【变式】光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图所示，抛物线的方程是y＝x2，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线（图中的虚线所示）．一个小金属块从抛物线上y＝b（b＞a）处以速度v沿抛物线下滑．假设抛物线足够长，金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是 ( )

1

A．mgb B．

12mv2

C．mg(ba) D．mg(ba)12mv 2【答案】D

【解析】小金属块在进出磁场的过程中，金属块内部产生感应电流，其机械能转化为电热，在磁场内运动，没有感应电流，没有内能产生，不损失机械能，最终，小金属块在光滑曲面

12mv，末态的机械21能：mga，由能量守恒定律，产生的焦耳热即减少的机械能： QEmg(ba)mv2，

2上（ya）往返运动，在y=a处，速度为零。初态的机械能：mgbD选项正确。 类型二、“杆”+水平导轨（竖直导轨）问题

例2、以速率v将矩形线圈从一个有界匀强磁场中拉出线圈中感应电流为I，感应电流通过线圈导线横截面的电量为q，拉力做功为W。若该速率为2v将线圈从磁场中拉出，求：（1）线圈中感应电流；

（2）通过线圈导线横截面的电量； （3）拉力做功。

【思路点拨】分别写出感应电动势、感应电流、安培力、电量、拉力的功在速度为v时的表达式，再分析速率为2v时的感应电流、电量、拉力做的功。 【答案】（1）2I；（2）q；（3）2W. 【解析】（1）感应电动势EBLv，感应电流IEBLv RRB2L2v安培力FBIL，电量qIt，拉力做功WPtFvt

R当速率为2v时，I2I；

1t，qItq 211（3）F2F，tt，v2v，WPt2F2vt2W。

22（2）时间为t【总结升华】熟练应用基本公式，写出变化后的量与变化前的倍数关系，代入公式计算。

举一反三

【变式】水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计。均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如图（b）所示（取重力加速度g=10m/s2）

2

（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

（2）若m=0.5Kg，L=0.5m，R=0.5Ω；则磁感应强度B为多大？ （3）由v—F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？

【答案】（1）变加速运动（加速度减小的加速运动）或变速运动 （2）B1T（3）0.4

【解析】（1）变加速运动（加速度减小的加速运动）或变速运动 （2）当杆匀速运动时，FfFA0，FABIL，IEBLv RRB2L2vB2L2vFA0 ，则有FfRR所以vR(Ff)…① 由（b）可知f2N代入① B2L20.542(42)，所以B1T 2B0.5（3）由截距求得f，并能求得μ。f2N，解得0.4。

例3、如图，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置，导轨间距离为L，电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为P、电阻均为R的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为g。求： （1）磁感应强度的大小：

（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。

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【思路点拨】“两灯泡保持正常发光”的意思是金属棒做匀速运动，安培力等于重力，感应电流可以根据额定值写出，即可求出磁感应强度；由于电阻不计，感应电动势等于灯泡两端的电压，电压可以根据额定值写出，即可求导体棒的运动速率。 【答案】（1）BmgPRPR2P（2）v 2PLBLmgP额定电压为：UPR R【解析】每个灯上的额定电流为I（1）最后MN匀速运动，安培力等于重力，B2ILmg 求得BmgPR。

2PL（2）UBLv 得：vPR2P。 BLmg【总结升华】通过金属棒的电流是干路电流，由于金属棒的电阻不计，金属棒两端的电压等

于感应电动势，如果金属棒电阻不能忽略，灯泡的电压就是路端电压。

对竖直导轨，导体的重力是有用的，伴随着能量的变化。 举一反三

【变式1】图中回路竖直放在匀强磁场中，磁场的方向垂直于回路平面向内。导线AC可以贴着光滑竖直长导轨下滑。设回路的总电阻恒定为R，当导线AC从静止开始下落后，下面有关回路能量转化的叙述中正确的是（ ）

A.导线下落过程中机械能守恒；

B.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为回路产生的热量；

C.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为导线增加的动能；

D.导线加速下落过程中，导线减少的重力势能转化为导线增加的动能和回路增加的内能

【答案】D

【变式2】如图所示，竖直放置的U形导轨宽为L，上端串有电阻R(其余导体部分的电阻都忽略不计)。磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦。从静止释放后ab保持水平而下滑。试求ab下滑的最大速度vm。

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【答案】vmmgR B2L2

类型三、“杆”+倾斜导轨问题

例4、如图所示，两根金属导轨平行放置在倾角为30°的斜面上，导轨左端接有电阻R8，导轨自身电阻不计．匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B0.5T．质量为

m0.1kg，电阻为r2的金属棒ab由静止释放，沿导轨下滑，如图所示．设导轨足够

长，导轨宽度L2m，金属棒ab下滑过程中始终与导轨接触良好，当金属棒下滑的高度为h3m时，恰好达到最大速度

vm2m/s，求此过程中

（1）金属棒受到的摩擦阻力； （2）电阻R中产生的热量 （3）通过电阻R的电量.

【思路点拨】求“杆”+倾斜导轨问题的能量问题的基本方法，仍然是受力分析、运动分析，关键是安培力的大小和方向，安培力做的功转化为内能，再应用能量守恒定律。 【答案】（1）f0.3N（2）QR0.8J（3）q0.6C 【解析】（1）感应电流的方向从b到a，做受力图。 当金属棒速度恰好达到最大速度时，加速度为零, 则mgsinBILf

根据法拉笫电磁感应定律：EBLvm 根据闭合电路欧姆定律：IE, RrB2L2vm0.3N. 联立以上各式解得fmgsinRr（2）下滑过程，根据能量守恒定律，重力势能的减少量等于摩擦力做的功、安培力做的功（转化为热量）以及动能之和

mghfh12 Qmvmsin2R8Q1J0.8J Rr82代入数据解得电路中产生的总电热为：Q=1J 此过程中电阻R中产生的热量：QR（3）设通过电阻R的电量为q， 由EEBLh0.6C ，I 得qIt(Rr)(Rr)sinRrt 5

【总结升华】对“杆”+倾斜导轨问题，正确进行受力分析是首要问题，安培力方向与磁场方向垂直沿斜面向上（如果磁场方向竖直向上，安培力方向就水平向右了，还要分解）。能量守恒定律的应用至关重要，也可以这样分析：初态的的能量：重力势能；末态的能量：有动能、克服摩擦力做功消耗的能量、克服安培力做功消耗的能量，能量守恒定律就是总量不变，即初态的能量等于末态的能量。

举一反三

【变式】如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，R1＝R2＝2R，匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一导体棒ab质量为m，棒的电阻为2R，棒与导轨之间的动摩擦因数为μ。导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，定值电阻R2消耗的电功率为P，下列说法正确的是（ ）

A．整个装置因摩擦而产生的热功率为mgvcos B．整个装置消耗的机械功率为4Pmgvcos

6P v4P D．导体棒受到的安培力的大小为

v C．导体棒受到的安培力的大小为

【答案】AC

【解析】棒ab上滑速度为v时，切割磁感线产生感应电动势EBlv，棒电阻为2R，

R1＝R2＝2R，回路的总电阻R总=3R，

通过电阻R1的电流与通过电阻R2的电流相等，

通过棒ab的电流等于通过电阻R2的电流的2倍，导体棒ab功率是电阻R2的4倍， 即Pab4P，总功率为6P，则有6PFv，所以导体棒受到的安培力的大小FC对D错；杆与导轨的摩擦力fmgcos， 故摩擦消耗的热功率为Pffvmgvcos，A对；

整个装置消耗的机械功率为摩擦消耗的热功率与三部分导体的热功率之和，

6P， vP总=P热+Pf6Pmgvcos，B错。故正确选项为AC。

类型四、“杆”+导轨+弹簧的问题

例5、两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L ，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R 外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则（ ）

A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B．金属棒向下运动时，流过电阻R 的电流方向为a→b

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B2L2vC．金属棒的速度为v时．所受的安培力大小为F

RD．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少

【思路点拨】本题ABC选项都比较简单，能量守恒的关系是：重力势能转化为动能与弹性势能之和。 【答案】AC

【解析】从弹簧原长位置由静止释放．加速度等于重力加速度，A对；根据右手定则，感应

B2L2v电流方向向右，为b→a，B错；利用公式快速推导安培力大小为F，C对；根据

R能量守恒定律，金属棒的重力势能转化为动能、弹性势能、克服安培力做的功（热量）三部分，D错。（如果金属棒有电阻，它还有热量）故选AC。 【总结升华】本题是基本题，但很容易错。A、不少人认为弹簧有拉力，加速度小于重力加速度，不分析过程造成错误；B、判断出电流方向向右，就认为a→b，应该动笔标出就不会

B2L2v错了；C、安培力大小F做几个题就知道了，但R是总电阻；D、能量守恒定律的

R应用一定要熟练。 举一反三

【变式】两根足够长的金属导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示。除电阻R外其余电阻不计。现将金属棒从弹簧原长（弹性系数为k）位置由静止释放，则（ ） A．金属棒将振动，动能、弹性势能与重力势能的总和保持不变 B．金属棒的速度为v时，金属棒两端的电压U=BLv

C．金属棒最后将静止，静止时弹簧伸长量为

mg kmg kD．金属棒最后将静止，电阻R上产生的总热量为mg【答案】BC

类型五、矩形线圈穿越磁场问题

例6、如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单线闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料，不同粗细的导线绕制(Ⅰ为细导线)．两

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线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2．不计空气阻力，则（ ） A．v1v2，Q1Q2 B．v1v2，Q1Q2

C．v1v2，Q1Q2 D．v1v2，Q1Q2

【思路点拨】要比较速度的大小和在磁场中运动时产生的热量的多少，应该要分析安培力、总电阻，比较它们在磁场中的加速度，加速度大的落地速度就大。 【答案】D

【解析】由于从同一高度下落，到达磁场边界时具有相同的速度v，切割磁感线产生感应电

B2L2v4l流同时受到磁场的安培力FA，又R（ρ为材料的电阻率，l为线圈的边长），

RSB2L2vS所以安培力FA，

4F此时加速度agA，且m0S4l(0为材料的密度)，

mFAB2v所以加速度ag是定值，线圈Ⅰ和Ⅱ同步运动， gm16012则落地速度相等v1v2。由能量守恒可得：Qmg(hH)mv，

2(H是磁场区域的高度)，Ⅰ为细导线m小，产生的热量小，所以Q1Q2。正确选项D。

【总结升华】对矩形线圈竖直穿越磁场问题，如果匀速运动则重力等于安培力；如果是加速（减速）则根据牛顿第二定律求加速度；抓住能量守恒定律，这类问题往往从静止下落，重力势能转化为动能、用于克服安培力做功两部分。此外要注意条件中线圈的位置（下降的高度）。 举一反三

【高清课堂：电磁感应综合应用一 例 2 】

【变式1】如图甲所示。空间有一宽为2L的匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直纸 面向外。abcd是由均匀电阻丝做成的边长为L的正方形线框，总电阻值为R。线框以垂直 磁场边界的速度v匀速通过磁场区域。在运动过程中，线框ab、cd两边始终与磁场边界平 行。设线框刚进入磁场的位置x=0，x轴沿水平方向向右。求：在下面的乙图中，画出ab 两端电势差Uab随距离变化的图象。其中U0= BLv。

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【答案】如图。

【变式2】如图所示，质量为m，高度为h的矩形导体线框在竖直面内由静止开始自由下落.它的上下两边始终保持水平，途中恰好匀速通过一个有理想边界的宽度也为h的匀强磁场区域，则线框在此过程中产生的热量为（ ）

A．mgh B．2mgh

C．大于mgh，小于2mgh D．大于2mgh 【答案】B

【变式3】如图所示，在竖直平面内有一个“日”字形线框，线框总质量为 m ，每条短边长度均为l。线框横边的电阻为r ，竖直边的电阻不计。在线框的下部有一个垂直竖直平面、方向远离读者、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的高度也为l。让线框自空中一定高处自由落下，当线框下边刚进入磁场时立即作匀速运动。重力加速度为g。求： （1）“日”字形线框作匀速运动的速度v的大小

（2）“日”字形线框从开始下落起，至线框上边离开磁场的下边界为止的过程中所经历的时间t .

【答案】（1）v3gmr3mr2B2l3 （2）tt1t22B2l2mgr2B2l2【解析】（1）线框下边进入磁场区域前做自由下落运动，设下落的时间为t1， 进入磁场时的速度为v，匀速运动安培力等于重力BIlmg，EBlv，I进入磁场的横边相当于电源，电阻为内阻，磁场外的两条横边并联 E， R总32Blvr，电流I，又vgt1 23r3mr3mgrv解得：t1， 22222Bl2Bl总电阻R总=（2）从线框下边进入磁场到下边离开磁场下边界做匀速运动，设此过程的下落时间为t2，

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2B2l2v3lmg 据题意有：t2，安培力等于重力3rv23B2l33mr2Bl。 解得：t2，所以全过程所用时间tt1t2mgrmgr2B2l2类型六、“双杆”+滑轨及电磁感应与动量能量的综合应用

例7、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少． （2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的 加速度是多少？

【思路点拨】ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

B2L2v012

【答案】（1）mv0（2）a

4mR4

【解析】（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒， 根据动量守恒定律有 mv02mv

根据能量守恒，整个过程中产生的总热量等于机械能的减少量（损失的机械能）

Q12112mv0(2m)v2mv0 224（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1， 则由动量守恒可知：mv0m3v0mv1。 4341BLv0， 2此时回路中的感应电动势 E(v0v1)BL 10

感应电流IEBLv0。 2R4RB2L2v0此时cd棒所受的安培力：FIBL，

4RB2L2v0F所以cd棒的加速度为a，a。

4mRm【总结升华】本题是“双杆”同向运动，一杆加速另一杆减速的问题，最后两棒以相同的速度v作匀速运动．共同速度怎么求？显然两杆组成的系统动量守恒，就是前面求的共同速度。根据能量守恒定律，整个过程中产生的总热量等于机械能的减少量即损失的机械能，就是初动能减去末动能。

举一反三

【高清课堂：电磁感应综合应用一 例 7 】

【变式1】如图所示，光滑水平导轨间距为L，电阻不计，处在竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度为B，质量均为m，电阻均为R的导体棒ab和cd静止于导轨上，若给ab棒一个水平向右的瞬时冲量I0，求两导体棒最终的运动速度。

【答案】

I0 2m【变式2】如图所示，两根相互平行、间距为L的金属轨道MN和PQ固定在水平面内。轨道所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B。在该轨道上垂直轨道方向放置两根金属杆ab和cd，它们的电阻分别为R1和R2，质量分别为m1和m2。开始时两金属杆静止在轨道上，某一时刻ab杆受到瞬间水平向右的冲量作用，开始以初速度v0沿轨道滑动，该瞬间cd杆的速度仍可视为零。已知金属杆ab和cd在轨道上滑动时所受到的摩擦力可忽略不计，金属轨道足够长且电阻不计，金属杆与轨道接触良好。以下说法正确的是（ ） A．当ab杆以水平初速度v0开始在轨道上滑动瞬间，cd杆两端电势差为BLv0

B．当ab杆以水平初速度v0开始在轨道上滑动瞬间，cd杆所受到磁场力方向与初速度 v0方向相同，大小为B2L2v0/R2

C．在两杆都滑动的过程中，金属杆ab和cd总动量守恒，但总机械能减小 D．在两杆都滑动的过程中，金属杆ab动能的减小等于cd动能的增加

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【答案】C

【解析】当ab杆滑动瞬间，产生的感应电动势为EBLv0，金属杆ab和cd都有电阻，所以cd杆两端电势差肯定不为BLv0，计算：IBLv0，

R1R2cd杆两端电势差：UcdIR2BLv0R2，A错；

R1R2应用右手定则判断ab杆的电流方向为从a到b，用左手定则判断cd杆受到磁场力方向与初

B2L2v0速度 v0方向相同，安培力大小为FBIL（除以总电阻），B错；

R1R2取两杆为系统，安培力是内力，所以动量守恒，由于安培力做功转化为内能，则机械能减少，C对；在两杆都滑动的过程中，金属杆ab动能的减少量等于cd动能的增加量与克服安培力做功（内能、热量）之和，D错。故选C。

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