自动控制原理第2章习题解

2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。

图2-77习题2-1图

证明：首先看题2-1图中(a)

URsURsUCs

IRs11URsCsURsCsURs RR1UCsR2CsIs

211UCsRCs12CsRURsUCs 211111RCs1UsRCs2C121URs C2sR1C2sR1R2C2s11R1C1sR2C2s11R1C1sUs

1UsRCsCR1C2sR122-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。

图2-78 习题2-2图

解： (a)Cdut1durt111urtuot (b)urtCouot dtRR2R1dtR2(c)

dut1urtR2Ccuct R1dt2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。

解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：

1）

dfdxx1.240408035.56

0.751.52.252）

df40020 dxx020df3520156

dxx2.530.52.53）

2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。

解：根据系统传动机构图可列动态如下：

RitLditKeurt (1) dtTemKTi (2)

TemTLKTiTLJ将方程(3)整理后得：

d (3) dti1JdTL (4) KTKTdt将方程(4)代入方程(1)后得：

RRJdLdTLLJd2TLKeurt (5) KTKTdtKTdtKTdt2将方程(5)整理后得：

LJd2RJdRLdTL (6) KutTerLKTdt2KTdtKTKTdt2-5 系统的微分方程组如下

式中，r，K-，K2，K。，Kn，Kj，T均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。

解：首先画系统结构图，根据动态方程有：

X1(s) X2(s) τs+K1 X2(s) K2 X3(s) X4(s) K3/s X5(s) K4/(Ts+1) C(s) K5

然后，根据梅逊公式得：

K2K3K4sK1K3K4sK1K2CssTs1sTs1Rs1sKKK3K4K3K3K4K5sTs1K2K3K4sK1K3Ts1K3K4K512sTs1ssTs1sTs1sTs1sTs1sTs1CsK2K3K4sK1 2RsTs1K2K3K4K3TsK1K2K3K4K3K3K4K5 2 6 图2-8l是一个模拟调节器的电路示意图。

① 写出输入ui，与输出uo之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数Uo(s)／Ur(s)。

解：根据电路分析需要，引入中间变量vo1(t)，vo2(t)，然后，由电路图可知：

1UisUos （1） Cs1Uo1sR1R1R2Uo1sC2sUo2s （2） R3UosR5Uo2s （3） R4采用代入法，将上述3个方程联立求解得：

UosR51R21R2R5UisUosUisUos R4R3C2sR2C1s1R1R1R3R4C2sR2C1s1R2R5Uis

R1R3R4C2sR2C1s1R2R5C1sUosUosR2R5R51 2UisR1R3R4C2R2C1sR1R3R4C2sR2R5C1sR1R3R4C2C1R1R3R4C2R2R5C1ssRRRCRC1342212-7某机械系统如图2-82所示。质量为m、半径为R的均质

圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，

N 求出其运动方程。

-Kx1

mgsinα 解：首先，对圆辊进行受

-Bdx1/dt

力分析；根据分析结果可

mgcosα 知：

mg dx1d2x1mgsinKx1Bm2

dtdtd2x1dxm2B1Kx1mgsin dtdt2 8 图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M由弹簧K支撑。当地基上下震

动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。

①写出以指针位移y为输出量的微分方程； ②核对方程的量纲。

解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：

dyd2ymgKyBm2

dtdtd2x1dxm2B1Kx1mg

dtdt2 9 试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。

图2-84习题2-9图

解：(a)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数Pk：P1G1sG2s；P2G3sG2s

回路通道传递函数Li：L1G1sG2sH2s；L2G2sH1s

特征方程△：1Li1G1sG2sH2sG2sH1s

由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：121 系统传递函数为：

s(b)，根据梅逊公式得：

G1sG2sG2sG3sCs Rs1G1sG2sH2sG2sH1s前向通道传递函数Pk：P1G1sG2s；

回路通道传递函数Li：L1G1sH1s；L2H1sH2s 特征方程△：1Li1G1sH1sH1sH2s

由于回路传递函数L2与前向通路相“不接触”，所以。余子式：11H1sH2s 系统传递函数为：

s(c)，根据梅逊公式得：

G1s1H1sH2sCsG2s

Rs1G1sH1sH1sH2s前向通道传递函数Pk：P1G1sG2sG3sG4s； 回路通道传递函数Li：L1G1sG2sG3sG4sH1s；

L2G1sG2sG3sH2s L3G2sG3sH3s L4G3sG4sH4s

特征方程△：

1Li1G1sG2sG3sG4sH1sG1sG2sG3sH2sG2sG3sH3sG3sG4sH4s，所以。余子式： 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”系统传递函数为：

11

sG1sG2sG3sG4sCsRs1G1sG2sG3sG4sH1sG1sG2sG3sH2sG2sG3sH3sG3sG4sH4s2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)／R(s)。 2-11 系统的结构如图2-85所示。

① 求传递函数C1(s)/RI(s)，C1(s)/R2(s)，C2(s)/RI(s)，C2(s) R2(s)，

② 求传递函数阵G(s)C(s)= G(s)R(s)，其中

GsRsGs1，Rs1。

G2sR2s解：C1(s)/RI(s)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数Pk：

P1G1sG2sG3sP2G1sG7sG5sG8sG3s；

；

图2-85 习题2-11图

回路通道传递函数∑Li：L1G3sG3s；

L2G7sG5sG8s L3G5sH2s

相互“不接触”回路∑LiLj：

L1L2G3sG3sG7sG5sG8s L1L3G3sG3sG5sH2s

特征方程△：

1LiLiLj

1G3sG3sG7sG5sG8sG5sH2sG3sG3sG7sG5sG8sG3sG3sG5sH2s

由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：11 系统传递函数为：

C1s1

2-12 试求图2-86所示结构图的传递函数C(s)／R(s)。 解：C1(s)/RI(s)，根据梅逊公式得： 前向通道传递函数Pk：

P3G1sG2s； 2G2s ；P1G1s；PP4G1sG2s；

图2-86 习题2 12图

回路通道传递函数∑Li：L1G1s；L2G2s；L3G1sG2s；L4G1sG2s；L5G1sG2s

特征方程△：

1LiLiLj

1G1sG2s3G1sG2s

特征方程余子式△k：12341 系统的传递函数为：

sCsGsG2s2G1sG2s 1Rs1G1sG2s3G1sG2s2-13 已知系统结构如图2-87所示，试将其转换成信号流图，并求出c(s)／R(s)。

解：(a) 根据梅逊公式得：

s(b) 根据梅逊公式得：

CsG1sG2s Rs1G1sH1sG2sH2sG1sH1sG2sH2ssCsG1sG2s Rs1G1sH1sG2sH2s2-14 系统的信号流图如图2-88所示，试求C(s)／R(s)。

图 2-88 习题 2-14图

解：(a) 根据梅逊公式得：

图2- 习题2-15图

0.5KCs0.5K0.5Ks2s1 s2232Rs10.5K12.5ss10.5Ks2.5ss3.5ss0.5Ks2s1ss1s1(b) 根据梅逊公式得：

sCsG1sG2s Rs1G1sH1sG2sH2s2-15 某系统的信号流图如图2-所示，试计算传递函数C2(s)/R1(s)。若进一步希望实现C2(s)与R1(s)解耦，即希望C2(s)/R1(s)=0。试根据其他的Gi(s)选择合适的G5(s)。 解：

G1sG2sG6sG3sG4sG1sG5sG4sC2sR1s1G1sG2sH1sG3sG4sH2sG1sG2sH1sG3sG4sH2s

若希望C2(s)/R1(s)=0，则有

G1sG2sG6sG3sG4sG1sG5sG4s0

G5sG2sG6sG3s

2-16 已知系统结构图如图2-90所示。 ①求传递函数C(s)/R(s)和C(s) /N(s)。

②若要消除干扰对输出的影响(即C(s) /N(s)=0，问G0(s)=?

解：①由结构图可知C(s)/R(s)

K1K2K3K1K2K3CssTs1 Rs1K1K2K3sTs1K1K2K3sTs1② 由结构图可知C(s)/N(s)

CsNs若使C(s)/N(s)=0，则意味着

G0sK1K2K3K4K3sTs1Ts1K1K2K3G0sK4K3s

K1K2K3sTs1K1K2K31sTs1K1K2K3G0sK4K3s0

最终求得G0(s)：

G0sK4s K1K22-17考虑两个多项式p(s)=s2+2s+1，q(s)=s+1。用Matlab完成下列计算

① p(s)q(s)

② G(沪悉×鬟×南； ③扩m

略

2-18考虑图2-9l描述的反馈系统。

①利用函数series与cloop，计算闭环传递函数，并用printsys函数显示结果；

②用step函数求取闭环系统的单位阶跃响应，并验证输出终值为2/5。 解：略

2-19卫星单轴姿态控制系统的模型如图2-92所示，其中k=10．8E+08，a=1和b=8是控制器参数，J=10。8E+08是卫星的转动惯量。

图2-92 习题2-19图 图2-93 习题2-20图 ①编制MatIab文本文件，计算其闭环传递函数口θ(s)/θd(s)； ②当输人为θd(s)=10º的阶跃信号时，计算并做图显示阶跃响应； ③转动惯量-，的精确值通常是不可知的，而且会随时间缓慢改变。当‘，减小到给定值的80％和50％时，分别计算并比较卫星的阶跃响应。 2-20考虑图2 93所示的方框图。

①用Matlab化简方框图，并计算系统的闭环传递函数； ②利用pzmap函数绘制闭环传递函数的零极点图；

③用roots函数计算闭环传递函数的零点和极点，并与②的结果比较。

（2）如图所示机械位移系统，求G(s)= Y(s)/ F(s)。

解：首先对质量为m的物体进行受力分析，得所受的合力为

d2ytFtF1tF2tm 2dt其中，F1tkyt；F2tf于是有

dyt dtdytd2ytFtkytfm 2dtdt整理得

d2ytdytmfkytFt dtdt2解答完毕。