定点定值问题

解析几何中的几类定值问题

浙江省诸暨中学 邵跃才 311800

求定值是解析几何中颇有难度的一类问题，由于它在解题之前不知道定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

1定值

例1已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a(3,1)共线。 （1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(,R)，证明为定值。

22x2y2解 设椭圆方程为221 （a>b>0），A(x1,y1)，B(x2,y2) ，AB的中点为N(x0,y0)，

abx12y121y2y1b2a2b222，两式相减及1得到y02x0，所以直线ON的方向向量为

xyax2x1221a2b2b21b26ON(1,2)，∵ ON//a，2，即a23b2，从而得e

3a3a （2）探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则OMOA，此时

1,0，221

22222证明 ∵ a3b，椭圆方程为x3y3b，又直线方程为yxc

1

 

yxc4x26cx3c23b20 222x3y3b3x1x2c,23c23b232x1x2c

48得又设M（x，y），则由OMOAOBxx1x2，代入椭圆方程

yyy12222整理得2(x13y12)2(x23y2)2(x1x23y2y2)3b2

222又∵ x13y123b2，x23y23b2，

x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c23292cc3c20 22

221

2 定点

例2 已知A、B是抛物线y=2px (p>0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=坐标。

2y12y2解 设A（，B（，则 ,y1）,y2）

2p2p2

时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的4B y A x O tan2p,y1tan2p)1 ，代入tan(y22得2p(y1y2)y1y24p （1） 又设直线AB的方程为ykxb，则

ykxbky22py2pb0 2y2px∴y1y2

2pb,ky1y22p，代入（1）式得b2p2pk k2

∴直线AB的方程为y2pk(x2p) ∴直线AB过定点（-2p,2p)

说明 本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。

EX：设A，B是抛物线y2=2px上两点，且满足角AOB=90°，求证：直线AB过定点。 过定点A（1，2）作△ABC，使∠BAC=90°且BC在抛物线y2=4X上，问BC是否必过定点。

3定曲线

x2y2例3 己知椭圆221 （a>b>0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、

abQ1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。

y 探索定圆 取椭圆长轴和短轴为两直径，则A2B2的方程为 P2 A1 Q2 O B1 P1 A2 x B2 Q1 xy1，原点O到直线A2B2的距离为rab22abab22，

a2b2则与菱形A1B1A2B2内切的圆方程为xy2。 2ab证明 设直径P1P2的方程为ykx, 则Q1Q2的方程为y1x k2a2b2ykxx222(k21)a2b2222bakxy1 解得 OP2 222222kabbaky2a2b2b2a2k2(k21)a2b2 同理OQ2=，作OH⊥P2Q2 则OH222abk2

OP2OQ2OP2OQ22222abab22

a2b2 又四边形P1Q1P2Q2是菱形，菱形P1Q1P2Q2必外切于圆xy2. 2ab4 定方向

3

例4 已知P(x0,y0)是双曲线xya2(a0)上的一个定点，过点P作两条互相 垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。

a2探索定值 取P(x0,)，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线

x0a2a2与曲线的另一个交点P )，其斜率kPP1(x0,21x0x0y P2 kPP2把yxx02 PP2的方程为yy002(xx0)

aaxaax代入解得P2(3,02) kP1P202（定值） xax0a1， k222P O P1 x 432 证明 设PP1的斜率为k，则PP2的斜率为 －

∴PP1的方程为yy0k(xx0) PP2的方程为yy012(xx0)，与抛物xya k2y0a2ka2a2x0联立解得P,)、 P2(ky0,)，从而kP1P222（定值） 1(ky0ky0y0aEX：

过抛物线y=2px（P>0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。 推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。

2

（2008石家庄二模）21.已知双曲线C的方程为x-y=4，椭圆E以双曲线C的顶点为焦点，且其右顶点A到双曲线C的渐近线距离为3。（1）求椭圆E的方程；（2）若直线y=x与椭圆E交于M、N两点（M在第一象限），P、Q是椭圆上不同于M的相

22

4

MPMQ异两点，点O为坐标原点，并且满足()(NONA)0，试示直线PQ

|MP||MQ|的斜率。

（2008唐山三模）椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，三角形ABM的2三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。

122

分析：（1）x+2y=3 （2）

2（2008年西城一模）已知定点C(1，0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交

于A，B两点.（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是1，求直线AB的方程； 2（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 分析：M（

已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m>0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，若其中Q点坐标为（-4，0），原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l‘，使得l‘被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l’的方程。 分析：设点AB的坐标 （2）l：x=3.

5

74，0） 39

x2y2（2009年保定统测）已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的

ab两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。 （1） 求椭圆的方程。

（2） 若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD,连结CM交椭圆于点P，

证明：OMOP为值。

（3） 在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直

线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。

x2y21 分析：（1）42ypymOP=4 （2）由O、M、P三点共线，得，所以OM4xp2（3）设Q点（a，0），由QMDP0，得a=0.

x2y2（2009年邯郸第一次模拟）设P为双曲线221(a,b0)上任意一点，F1，F2是双曲

ab23线的左右焦点，若PF的最小值是-1，双曲线的离心率是。 PF123（1） 求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。

7x2y21 （2）先猜再证：分析：（1）（，0）

43２

y1x174y2换掉x1代入韦达定理得14证。方法二：设AB：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ－３）ｙ＋４ｍｙ＋１＝０

6

２

4myy21m23故

1yy12m23AC：y1y1y2yy3(yy)2my1y2y23又2my1y2=-（y1+y2）(x)y2=12x1231222my11x1my122然后代入韦达定理得。

21．在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B(－2,0)，C（2，0），且AD为BC边上的高。

(I)求AD中点G的轨迹方程； (II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、

Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PE·QE恒为定值λ？若存在，求出点E的坐

标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。

x2y21(y0) 分析：（1）4（2） m=

（2009年衡水三模）已知直线l过椭圆E：x2y2的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。

221733 定值为 不容易先猜出，只能是化简求出。 81（1） 设OR(OPOQ)，求点R的轨迹方程。

2（2） 若直线l的倾斜角为60，求

11的值。（当l的倾斜角不定时，可证|PF||QF|11是定值。） |PF||QF| 7

分析：x22y2x0 （2）可先猜再证:22

8