一类半线性椭圆方程正稳定解的唯一性

第２４卷　哈尔滨师范大学自然科学学报　Ｖｏ１．２４．Ｎｏ．４　２００８　第４期　ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＡＲＢＩＮ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　一类半线性椭圆方程正稳定解的唯一性木　丁　慧　史峻平　王玉文　（曾远荣泛函分析研究中心，哈尔滨师范大学）　【摘要】讨论一类具Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值的半线性椭圆方程正解的唯一性，主要给出　区域力Ｃ　Ｒ　其中ｎ＝２，３时，这类方程的正稳定解的唯一性．　关键词：正解；稳定解；最大值原理；特征值比较原理　Ｐ　，）的充分必要条件，Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ在参考文献［５］　Ｏ　引言　证明了如果方程有一正解（Ａ，ｕ　）且ｍａｘ／／，　∈　我们主要讨论半线性椭圆方程　（Ｐ　，Ｐ　），那么也存在第二个正解（Ａ，　）且也有　ｆ一△Ｈ＝Ａ（Ｈｐ—Ｈ　），１＜Ｐ＜ｑ，　戈∈　，　ｍａｘｕ２∈（ｐｌ，Ｐ２）．　１ｕ：０，　∈ａ力显然，方程（１）是方程（２）的一个特例，也就　，　（１）　是方程（２）中令Ｊｒ（ｕ）＝ｕ　一ｕ　及Ｐ　＝０，Ｐ　＝ｌ，　这里Ａ＞０，／－／是Ｒ　中有界光滑区域．　ｕ）＝ｕ　一ｕ　满足与（　）（ｉ＝１，２，３）相对应的　如果（Ａ，ｕ）∈Ｒ　Ｘ　Ｃ　（／－／）在区域力内满足　条件（，　）（ｉ＝１，２，３）．　（１）且ｕ＞０，那么我们称（Ａ，ｕ）是方程（１）的正　０）＋　１）＝０，当ｕ∈（０，１）时　ｕ）　解．　＞０；　许多参考文献已经研究了下面抽象非线性物　．　一　２）ｆ　ｓ）ｄｓ＞０；　征值问题　０　（，　），　（０）＝０　∈Ｃ　其中　∈（０，１），对　｛【　Ｕ一　０　“＝　．　　　ｘ一￣ａ／　２（２）　于６＞０时　（ｕ）≤０，ｕ∈（１—６，１）．　其中Ａ＞０，１１＂是有界区域且边界０１＂１∈Ｃ　ｕ）　由上面方程（２）具有的结论可知，方程有两　满足　个正解ｕ１和ｕ２且ｍａｘ／．／，１∈（Ｐｌ，Ｐ２），ｍａｘｕ２∈（Ｐ１，　（　）存在两个数Ｐ　和Ｐ２使得Ｐ　＜Ｐ２，Ｐ２＞０，　Ｐ　），Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ主要通过变分的方法并应用山路　ｆ（ｐ　）＝ｆ（ｐ２）＝０且当Ｐ∈（Ｐ　，Ｐ２）时　ｐ）＞０；　引理证明这两个正解的存在性．　注：（ｉ）许多人研究方程（２）时　（０）＞０，　）当Ｐ∈［０，Ｐ２），ｆ　ｓ）ｄｓ＞０；　而笔者的这个特例ｆ　（０）＝０．（ｉｉ）区域力是一般　）ｆ∈Ｃ　其中　∈（０，１），对于６＞０，ｕ∈　区域，对于区域是Ｒ　中单位球时，方程（２）解的　（Ｐ２—８，ｐ２）时　（ｕ）≤０　情况已得到完满的解决．　Ｃｌｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｓｗｅｅｒｓ在参考文献［２］中已经　证明　）是方程（１）有一正解ｕ且ｍａｘｔｔ∈（Ｐ　，　１　方程（１）正解的一些性质　收稿日期：２００８一Ｏ１—０８　・国家自然科学基金资助项目（１Ｏ６７１ｏ４９）　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　一类半线性椭圆方程正稳定解的唯一性　５　在这部分笔者将主要考虑方程（１）正解的存　在性及其解的一些重要性质和结论．　）＝　一　在Ｒ　中是Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ连续的且　０）＝０，那么　（１）有平凡解曲线｛（Ａ，０）Ｉ　Ａ∈Ｒ　｝．　引理ｌ　假设（Ａ。，０）是方程（１）的解，当所　有Ａ＞０是足够小时，　＝０是方程的唯一非负　解．　（１）至少有两个正的古典解．　此定理Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ在参考文献［６］中用山路　引理及变分方法证得．　２　方程（１）正稳定解唯一性　下面笔者给出方程（１）的稳定解的定义．考　虑方程（２）的线性化方程：　定义ｌ　证明　令Ｆ（Ａ，　）＝Ａｕ＋　），那么　Ｆ　（Ａ０，０）［∞］＝△∞＋Ａ　（Ｏ）∞．　）＝　一　∈Ｃ　（Ｒ　），且（Ａ。，０）是方程（１）的解，使得线性　化方程　ｆ一△∞＝Ａ　（０）∞，　∈．　，　，　、　Ｉ　∞：ｏ，　∈　，　只有平凡解∞＝０，这是因为厂　（０）＝０．因此，　Ｊ７ｖ（Ｆ　（Ａ０，Ｏ））＝　所以Ｆ　（Ａ０，Ｏ）是双射，那么　算子△＋Ａ　（Ｏ）是可逆的，再由巴拿赫逆算子定　理知存在有界逆．最后由隐函数定理，我们得到存　在　＞０，使得Ａ∈（Ａ０一　，Ａ０＋　），（１）有唯一　解（Ａ，　（Ａ）），且　（Ａ）＝０一（Ａ—Ａ。）［Ｆ　（Ａ。，　０）］　ＦＡ（Ａ。，０）．因为［Ｆ　（Ａ。，０）］一＝　，　（Ａ。，Ｏ）＝０，所以　（Ａ）；０．　引理２　如果方程（１）有一正解（Ａ，　），那么　ｍａｘ　∈（０，１）．　证明　因为　）＝　一　，当０＜　＜１，　厂满足（厂：）使得在Ｒ　里　）≠０，假如（Ａ，　）是　（１）的一解，且　≠０．令Ａ＝｛　∈力Ｉ　＞１｝．那　么在Ａ内一△　≤０且　＝１在ａＡ通过最大值原　理Ａ＝　和０＜　＜１在力内．如果ｍａｘｕ隹（０，　１），那么　ｍａｘ　）＜０，至此通过参考文献［１］中　的一强最大值原理的结果，即如果一正解存在，那　么　ｍａｘｕ）是正的，所以有　不是方程（１）的解，　我们得到一矛盾．　注２（１）该引理阐述了如果方程（１）有解，　那么这个解的最大值属于区间（Ｏ，１）．　（２）在参考文献［２］中定理１证明了：如果厂　∈Ｃ　满足　），这个方程（１）有一正解（Ａ，　）且　ｍａｘｕ∈（Ｐ。，Ｐ：）当且仅当　）成立．进而对于我　们这个具体方程有正解且ｍａｘｕ∈（０，１）．　定理１　令　）＝　一　满足　）厂是局部ｌｉｓｐｃｈｉｔｚ连续且ｆ∈Ｃ　（Ｒ），　当ｔ＝０时　￡）＝Ｄ（Ｉ　ｔ　Ｉ）．　）　当　∈（０，１）时　）＞０以及　１）　＝０．　那么存在一个Ａ＞０使得对于所有Ａ＞Ａ，　ｒ△∞一Ａ厂　（ｕ）ｔｏ　，　∈力　ｆ４）　【∞＝０．　∈　、　如果主特征值　。（　）≥０，那么（Ａ，　）是弱稳定　的；如果　。（　）＞Ｏ，那么我们称（Ａ，　）是稳定解；　如果　。（　）＜０，那么　是不稳定的．如果（Ａ，　）　是不稳定的，那么方程（４）的正特值值个数是　（Ａ，　）的Ｍｏｒｓｅ指标．　在参考文献［２］中有一关于稳定解的结论．　Ｃｌｅｍｅｎｔ和Ｓｗｅｅｒｓ证明了：如果厂满足　），（　），　（　），那么存在足够大的Ａ。，当Ａ＞Ａ。，　∈［　，　Ｐ　］（这里　是方程（２）的一下解且　＜Ｐ　），那　么能得到　。（Ａ，　）＞０．但他们在证明中用到了　厂　（Ｏ）＞０，此证明不适合笔者的问　（Ｏ）＝０，　笔者主要应用下面参考文献［３］中的定理５．　引理３　令　Ｏ）≥０，凡＝２　ｏｒ凡＝３且　）　满足　）　ｕ）≥０，Ｈ∈［０，Ｋ］及　）≠０，　（　）厂只是孤立的零点，不存在厂的两个零　点ｎ，ｂ使得Ｉ　ｓ）ｃｌｓ＝０，　Ｊ　ｄ　）　Ｃ）＝ｆ　（Ｃ）＝０暗含着Ｃ＝０及对　于小的正　满足　（　）＜　）．　那么方程（１）的正的非平凡稳定解　满足　ＩＩ　ＩＩ　≤　及其个数满足下式：　Ｚ＝｛Ｃ∈（０，ｋ）　Ｃ）＝０　（Ｃ）≤０　ｔｔ　ｒｃ　ｆ厂（Ｏ　ｓ）ｄｓ＜ｆ厂（ｓ）ｄｓ０　　０≤ｔ＜ｃ　下面给出本文重要定理．　定理２　当Ａ足够大，ｎ＝２，３时，方程有唯　一稳定正解　且该正解满足　∈ｃ２（力），ｍａｘｕ　∈（１—　，１）．　证明　因为当Ａ足够小时，由引理ｌ知，方程　（１）只有平凡解，所以Ａ足够大时，才有非平凡　解．在引理３中令　）＝　一　，Ｋ∈［０，ｌ一　］　这里　＞０，很容易检验出　）满足引理条件　（　）　）．对于　）成立，只需　＝（　｛）者＜　维普资讯 http://www.cqvip.com ６　哈尔滨师范大学自然科学学报　２００８年　１即可．那么我们由引理３，方程的正稳定解个数　）（厂　），那么　＞０，使得所有Ａ＞０，至多只有　为集　一个“　∈ｃ２（　）其满足（ｉ）（Ａ，，“　）是方程（１）　Ｚ＝｛Ｃ∈（０，ｋ）　Ｃ）＝０　（Ｃ）≤０　的解，（ｉｉ）ｍａｘｕ　∈（１—　，１）．于是我们得到了方程　ｔ　ｃ　在区间（１—　，１）存在唯一稳定正解．　Ｊ　０　ｆ厂＜ｆ厂０≤ｔ＜Ｃ｝０　　显然，对于方程（１）正稳定解“∈（０，１—　）的个　参考文献　［１］Ａｍｂｒｏｓｅｆｔｉ，Ａ．，Ｈｅｓｓ，Ｐ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ　数为　是空集．也就是说在区间（０，１—　）上没有　ｌｉｎｅａｒ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｊ．Ｍａｔｈ．Ａｎａ１．Ａｐｐ１．，　稳定正解．　１９８０，７３（２）：４１１￣４２２．　对于厂（“）＝（“　一“　），只有“＝０和“＝１　［２］　Ｃ１６ｍｅｎｔ，Ｐｈ．Ｓｗｅｅｔｓ，Ｇｕｉｄｏ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｕｌｉｔｐｌｉｃｉｔｙ　ｒｅ．　时厂（“）＝０；及厂　（Ｏ）＝０　（１）＜０，　ｓｕｉｔｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ａｎｎ．Ｓｃｕｏｈ　Ｎｏｒｍ．Ｓｕｐ．Ｐｉｓａ　Ｃ１．Ｓｃｉ．，１９８７，１４（４）：９７—１２１．　厂　（“）＜ｏ§“＝（卫二旱）南＜１　［３］Ｄａｎｃｅｒ，Ｅ．Ｎ．Ｓｔａｂｌｅ　ａｎｄ　ｉｆｎｉｔｅ　Ｍ０ｍ　ｉｎｄｅｘ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｒｎ　ｑ一　ｏｒ　ｏｎ　ｂｏｕｎｄｏｄ　ｄｏｍａｉｎｓ　ｗｉｔｈ　ｓｍａｌｌ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ．Ｔｒａｎｓ．Ａｌｌｌｅｒ．　对于线性化方程　Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，２００５，３５７（３）：１２２５—１２４３．　一△币一　（“　）币＝　币　［４］Ｏｕｙａａｎｇ　Ｔｉａｎｅｈｅｎｇ　ａｎｄ　Ｓｈｉ　Ｊｕｎｐｉｎｇ．Ｅｘａｃｔ　ｍｕｌｉｔｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆｐｏｓｉ—　因为厂　（Ｏ）＝０，　ｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｓｏｕｒ．Ｄｉｆ．　－△币＝　１（０）币　１（０）＞０　Ｅｑｕａ．，１９９８，１４６，（１）：１２１—１５６．　厂　（１）＜０，一△币一　（１）币＝　（１）币　［５］Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ，Ｐａｕｌ　Ｈ．Ｐａｉｒｓ　ｏｆｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｏｓｌｕｉｔｏｎｓ　０ｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄ・　ｌｉｐｔｉｃ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａ—ｔｉｎｏｓ．ＩｎｄｉａｎａＵｎｉｖ．Ｍａｔｈ．Ｊ．　通过特征值比较原理　，１９７３／７４，２３：１７３—１８６．　１（一△一　（１））＞　１（０）＞０　［６］Ｒａｂｉｎｏｗｉｔｚ，Ｐａｕｌ　Ｈ．Ｍｉｎｉｍａｘ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　ｃｉｒｉｔｃａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ　其中　是主特征值，那么１是稳定的．因为厂（“）　ｗｉｈｔ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＣＢＭＳ　Ｒ晒ｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ＳｅｒｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，６５．ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｎｍｔｉｅａｌ　满足（厂；）即当１≥“≥（号）舞　（“）＜０，再通　Ｓｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，１９８６．　过简单的特征值比较原理可知，只要方程解“在　［７］Ｓｗｅｅ￣，Ｇｕｉｄｏ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｘｈｕｕｌｕ　ｏｆ　ｏｓｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　区间（１—　，１）上，那么该解就是稳定的．　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｐｒｏｃ．Ｒｏｙａ／Ｓｏｃ．Ｅｄｉｎ．Ａ，１９８８（１０８），　３５７—３７０．　再由参考文献［７］定理１．６：对于方程（１）　是有界的且ａ　是ｃ　“）＝“　一“　满足（厂ｉ）　ＡＢｏＵＴ　ＰｏＳＩＴⅣＥ　ＳｏＬＵＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＭＵＬＴⅡ】ＩＬＹ　Ｔｏ　Ａ　ＳＥＭⅡ　ＩＮＥＡＲ　ＥＬＬⅡ，ＴＩＣ　ＥＱＵＡＴＩｏＮ　Ｄｉｎｇ　Ｈｕｉ　Ｓｈｉ　Ｊｕｎｐｉｎｇ　Ｗａｎｇ　Ｙｕｗｅｎ　（Ｙｕａｎｙｕｎｇ　Ｔｓｅｎｇ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｔ）　ＡＢＳＴＲＡＣＴ　Ｗｅ　ｍａｉｎｌｙ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｌｅ　ｐｏｓｉｉｔｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ａ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｈｔ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅ　ａｂｏｕｔ　ｓｔａｂｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ａ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｈｅｎ　∈Ｒ　（凡＝２，３）．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔａｂｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｍａｘｉｍｕｍ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　（责任编辑：李双臻）