峰峰矿区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 设函数f（x）=

的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a＞﹣

2． 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

3． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250

4． 已知抛物线C：y4x的焦点为F，定点A(0,2)，若射线FA与抛物线C交于点M，与抛 物线C的准线交于点N，则|MN|:|FN|的值是（ ）

A．(52):5 B．2:5 C．1:25 D．5:(15) 5． 设偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ） A．（，1）

B．（﹣∞，）∪（1，+∞） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

26． 在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x= C．x=﹣1

7． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）

D．x=﹣

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A． B．8 D．

8． 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

A．最多可以购买4份一等奖奖品 B．最多可以购买16份二等奖奖品 C．购买奖品至少要花费100元 D．共有20种不同的购买奖品方案 9． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y=|x|（x∈R） B．y=（x≠0） C．y=x（x∈R） D．y=﹣x3（x∈R） 10．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为

，则C的方程为（ ） +y2=1

C．

+

=1

+

=1

，过F2的直线l交C于A、B

，且获得一等奖

C．

两点，若△AF1B的周长为4A．

+

=1

2

2

B．D．

11．已知圆C：x+y﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ） A．一定相离 B．一定相切

C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心 12．下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）

A．总工程师和专家办公室 B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部 D．总工程师、专家办公室和所有七个部

二、填空题

13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．

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14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．

15．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm） ．

16．已知正整数m的3次幂有如下分解规律：

131；2335；337911；4313151719；…

3若m(mN)的分解中最小的数为91，则m的值为 . 【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.

2

17．M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，已知点F是抛物线y=4x的焦点，则△MNF

的重心到准线距离为 ．

18．某工厂的某种型号的机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程费用约为 万元．

=0.7x+

，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修

三、解答题

19．（本小题满分12分）

某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：

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频率组距a0.0250.020.0150.005O5060708090100销售量/千克

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a的值，并估计每天销售量的中位数；

（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．

20．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

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21．已知函数f（x）=a﹣（1）若a=1，求f（0）的值；

，

（2）探究f（x）的单调性，并证明你的结论；

（3）若函数f（x）为奇函数，判断|f（ax）|与f（2）的大小．

22．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．

进行分组，假设同一组中的每个数据可用

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率； （Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中

．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明） （注：

，其中为数据

的平均数）

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23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （ 2）求证：AC1∥平面CDB1．

24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2PD，Q为PD的中点． （Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

，PA⊥

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峰峰矿区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】C

x

【解析】解：当x≥时，f（x）=4﹣3≥2﹣3=﹣1，

当x=时，取得最小值﹣1；

22

当x＜时，f（x）=x﹣2x+a=（x﹣1）+a﹣1，

即有f（x）在（﹣∞，）递减， 则f（x）＞f（）=a﹣， 由题意可得a﹣≥﹣1， 解得a≥﹣． 故选：C．

【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．

2． 【答案】A

【解析】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，

2

函数的导数f′（x）=3ax+2bx+c，

则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

∴b＜0，c＞0，

2

方法2：f′（x）=3ax+2bx+c，

由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣∴b＜0，c＞0， 故选：A

3． 【答案】A

＞0且x1x2=

＞0，（a＞0），

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【解析】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×故选：A．

4． 【答案】D 【解析】

=100．

=，

考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.

【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 5． 【答案】A

【解析】解：因为f（x）为偶函数，

所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）

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又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，

22

即（2x﹣1）＜x，解得＜x＜1，

所以x的取值范围是（，1）， 故选：A．

6． 【答案】C

【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C．

【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．

7． 【答案】C

【解析】

【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为：另一个侧面的面积为：四个面中面积的最大值为4故选C． 8． 【答案】D

；

=4

，

=4

，

【解析】【知识点】线性规划

【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，

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则根据题意有：，作可行域为：

A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。 其中，x最大为4，y最大为16．

最少要购买2份一等奖奖品，6份二等奖奖品，所以最少要花费100元。 所以A、B、C正确，D错误。 故答案为：D 9． 【答案】D

【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，

y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件， y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件， y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件， 故选：D

10．【答案】A

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2，16），（3，9），

【解析】解：∵△AF1B的周长为4∴4a=4∴a=

， ，

，

， + =1．

，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

∴椭圆C的方程为故选：A．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

22

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l的距离d=

＜

=r，且圆心（1，0）不在直线l上，

∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C

12．【答案】C

【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 故选C．

读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．

【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．

二、填空题

13．【答案】 （﹣4，

） ．

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2

【解析】解：∵抛物线方程为y=﹣8x，可得2p=8， =2．

∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离， 即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，

2

∴n=8m=32，可得n=±4

）．

， ）．

因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．

14．【答案】 0.9

【解析】解：由题意，故答案为：0.9

15．【答案】

cm3 ．

【解析】解：如图所示， 由三视图可知：

=0.9，

该几何体为三棱锥P﹣ABC．

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该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，

2

由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm，

由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=故答案为：

cm3

cm3，

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．

16．【答案】10

【解析】m的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，2为连续两项和，3为接下来三项和，故m的首个数为mm1.

3∵m(mN)的分解中最小的数为91，∴mm191，解得m10.

23233317．【答案】 ．

2

【解析】解：∵F是抛物线y=4x的焦点， ∴F（1，0），准线方程x=﹣1， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6， 解得x1+x2=4，

∴△MNF的重心的横坐标为， ∴△MNF的重心到准线距离为． 故答案为：．

【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

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18．【答案】 7.5

【解析】解：∵由表格可知=9， =4， ∴这组数据的样本中心点是（9，4）， 根据样本中心点在线性回归直线∴4=0.7×9+∴

，

=0.7x+

上，

=﹣2.3，

=0.7x﹣2.3，

∴这组数据对应的线性回归方程是∵x=14， ∴

=7.5，

故答案为：7.5

【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．

三、解答题

19．【答案】（本小题满分12分）

解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025a)101得a0.035 （3分）

0.151074.3千克 （6分） 0.35（Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180元；

每天销售量的中位数为70 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270元. （12分） 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，

*

存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N都成立，

由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1， 当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1， 两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2， ∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列， ∴

．

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（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意， 当a≠1时，若

，即

， ，

化简，得a=0，与题设矛盾，

故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

21．【答案】

【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣

=；

（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2 则f（x1）﹣f（x2）=a﹣

﹣a+

=

．

x

∵y=2在R是单调递增且x1＜x2 x1x2x1x2

∴0＜2＜2，∴2﹣2＜0，

2x1+1＞0，2x2+1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）在R上单调递增．

（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）， 即a﹣解得：a=1． ∴f（ax）=f（x）

=﹣a+

，

又∵f（x）在R上单调递增

∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2）， x=±2时：|f（x）|=f（2）， ﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．

【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．

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22．【答案】

【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型

【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有

人，

所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有

人． （

Ⅱ）设 “至少有1人体育成绩在”为事， 记体育成绩在

的数据为

，

，体育成绩在

的数据为

，

，，

则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：

，，

，

，

，

，

，

，

，

． 而事件

的结果有7种，它们是：

，

，

，

，

，

，

，因此事件的概率．

（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，． 23．【答案】

【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴CC1⊥AC…

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2

，∴AC⊥CB …

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1…

（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，

∴E为C1B的中点…

又D为AB中点，∴AC1∥DE… DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1…

【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．

24．【答案】

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件

【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN． ∵Q，N是PD，PA的中点， ∴QN∥AD，且QN=AD． ∵PA=2，PD=2∴AD=4，

∴BC=AD．又BC∥AD， ∴QN∥BC，且QN=BC， ∴四边形BCQN为平行四边形，

∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB， ∴CQ∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM为等边三角形， ∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，∴

=（

，3，0），

=（0，3，﹣

），

），C（=（0，，

，2，0），Q（0，，）．

）．

，PA⊥PD，

设平面AQC的法向量为=（x，y，z）， ∴∴cos＜

，令y=﹣，＞=

得=（3，﹣=﹣

．

． ，5）．

∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为

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