2018年初二经典一次函数卷带答案

绝密★启用前

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题号 一

二

三

总分

得分

一．解答题（共6小题）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为：y=kx+x﹣k+1，若将直线l绕A点旋转．如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k=2且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k=﹣且l2与y轴交于点D （1）求点A的坐标；

（2）直接写出B、C、D三点的坐标，连接CD计算△ADC的面积； （3）已知坐标平面内一点E，其坐标满足条件E（a，a），当点E与点A距离最小时，直接写出a的值．

2．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，如图是甲、乙两车和B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象． （1）直接写出a，m，n的值；

（2）求出甲车与B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（3）当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？

试卷第1页，总6页

3．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地

销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

土特产品种 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 8 6 5 每吨土特产获利（百元）

12

16

10

（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．

（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．

4．如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+

的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，

0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形． （1）写出B2，Bn两点的坐标；

（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；

试卷第2页，总6页

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（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处； （1）求证：B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

试卷第3页，总6页

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC （2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC

？若存

在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．

第Ⅱ卷（非选择题）

二．选择题（共2小题）

7．如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为（ ）

A．（2，﹣2） B．（4，﹣4） C．（，﹣） D．（5，﹣5）

试卷第4页，总6页

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8．某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出．那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

三．填空题（共2小题）

9．如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为 ．

10．若m=，n=，则m10+n10= ．

试卷第5页，总6页

试卷第6页，总6页 ……………………○○……………………线线……………………○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………

。

参与试题解析

一．解答题（共6小题）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为：y=kx+x﹣k+1，若将直线l绕A点旋转．如图所示，当直线l旋转到l1位置时，k=2且l1与y轴交于点B，与x轴交于点C；当直线l旋转到l2位置时，k=﹣且l2与y轴交于点D （1）求点A的坐标；

（2）直接写出B、C、D三点的坐标，连接CD计算△ADC的面积； （3）已知坐标平面内一点E，其坐标满足条件E（a，a），当点E与点A距离最小时，直接写出a的值．

【分析】（1）将k=和k=﹣代入直线的解析式，得到关于x、y的方程组，然后解方程组可求得点A的坐标；

（2）连接DC．先求得点B、C、D的坐标，然后依据S△ADC=S△ADB﹣S△BDC求解即可；

（3）过点A作直线y=x的垂线垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．先求得AF的值，然后由△AEF为等腰直角三角形，从而可求得点E的坐标，故此可得到a的值． 【解答】解：（1）当k=2时，y=3x﹣1， 当k=﹣时，y=x+． 解方程组，

得：

，

∴A点的坐标为（1，2）． （2）连接DC．

1

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将x=0代入y=3x﹣1得：y=﹣1， ∴B（0，﹣1）．

将y=0代入y=3x﹣1得：3x﹣1=0，解得：x=． ∴C（，0）．

将x=0代入y=x+得：y=， ∴D（0，）． ∴BD=

，OC=．

×1﹣

×=．

∴S△ADC=S△ADB﹣S△BDC=×（3）∵E（a，a）， ∴点E在直线y=x上．

如图所示：过点A作直线y=x的垂线垂足为E，过点A作AF∥y轴，过点E作EG⊥AF，垂足为G．

将x=1代入y=x得：y=1， ∴AF=2﹣1=1． ∵点E在直线y=x上， ∴∠AFE=45°，

∴△AEF为等腰直角三角形． ∵EG⊥AF，

2

。

∴AG=FG=，

∴E的纵坐标=1+=． ∴a=．

【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了方程与函数的关系，等腰直角三角形的性质，得到当点AE取得最小值的条件是解题的关键．

2．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，如图是甲、乙两车和B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象． （1）直接写出a，m，n的值；

（2）求出甲车与B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

（3）当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？

【分析】（1）根据甲车休息1小时列式求出m，再根据乙车2小时距离B地120千米求出速度，然后求出a，根据甲的速度列式求出到达B地行驶的时间再加上休息的1小时即可得到n的值；

（2）分休息前，休息时，休息后三个阶段，利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（3）求出甲车的速度，然后分①相遇前两人的路程之和加上相距的120千米等于总路程列出方程求解即可；②相遇后，两人行驶的路程之和等于总路程加120千米，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）∵甲车途经C地时休息一小时，

3

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∴2.5﹣m=1， ∴m=1.5， 乙车的速度==即

=60，

，

解得a=90， 甲车的速度为：解得n=3.5；

所以，a=90，m=1.5，n=3.5；

=，

（2）设甲车的y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

①休息前，0≤x＜1.5，函数图象经过点（0，300）和（1.5，120）， 所以，解得

，

，

所以，y=﹣120x+300，

②休息时，1.5≤x＜2.5，y=120，

③休息后，2.5≤x≤3.5，函数图象经过（2.5，120）和（3.5，0）， 所以，解得

，

，

所以，y=﹣120x+420．

综上，y与x的关系式为y=；

（3）设两车相距120千米时，乙车行驶了x小时， 甲车的速度为：（300﹣120）÷1.5=120千米/时， ①若相遇前，则120x+60x=300﹣120， 解得x=1，

②若相遇后，则120（x﹣1）+60x=300+120， 解得x=3，

所以，两车相距120千米时，乙车行驶了1小时或3小时．

4

。

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，根据休息1小时求出m的值是本题的突破口，（3）要注意分两种情况讨论．

3．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

土特产品种 每辆汽车运载量（吨） 每吨土特产获利（百元）

甲 8 12

乙 6 16

丙 5 10

（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．

（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．

（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．

【分析】（1）因为公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售，设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙特产的车辆数为（20﹣x﹣y），且8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，整理即得y与x之间的函数关系式．

（2）因为装运每种土特产的车辆都不少于3辆，所以x≥3，y≥3，20﹣x﹣y≥3，结合（1）的答案，就可得到关于x的不等式组，又因x是正整数，从而可求x的取值，进而确定方案．

（3）可设此次销售利润为W百元，由表格可得W=8x•12+6（20﹣3x）•16+5[20﹣x﹣（20﹣3x）]•10=﹣92x+1920，根据y随x的变化规律，结合（2）中所求，就可确定使利润最大的方案． 【解答】解：（1）∵8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120， ∴y=20﹣3x．

∴y与x之间的函数关系式为y=20﹣3x． （3分）

（2）由x≥3，y=20﹣3x≥3，即20﹣3x≥3可得3≤x≤5，

5

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又∵x为正整数，

∴x=3，4，5． （5分） 故车辆的安排有三种方案，即：

方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆； 方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆； 方

案

三

：

甲

种

5

辆

乙

种

5

辆

丙

种

10

辆． （7分）

（3）设此次销售利润为W百元，

W=8x•12+6（20﹣3x）•16+5[20﹣x﹣（20﹣3x）]•10=﹣92x+1920． ∵W随x的增大而减小，又x=3，4，5

∴当x=3时，W最大=14（百元）=16.44万元．

答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．（10分）

【点评】本题需仔细分析题意，利用不等式组求出自变量的取值，从而确定方案．

4．如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+

的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，

0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形． （1）写出B2，Bn两点的坐标；

（2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；

（3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．

6

。

【分析】（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=x+求出相应的y值即可；

（2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2﹣1=1﹣x1，x3﹣2=2﹣x2，其中x1=a，所以x2=2﹣a，x3=4﹣x2=2+a， 分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2﹣2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；

（3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知： 当n为奇数时，有2﹣2a=2（

，化简得到用a表示n的式子，结合a的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，

的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（

，同样化简得到用a表示n的式子，结合a

的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值． 【解答】解：（1）

；

（2）x2=2﹣a，x3=2+a，

结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2﹣2a， 结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a， 结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

（3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知： 当n为奇数时，有2﹣2a=2（∴

∴a=或，

当n为偶数时，有2a=2∴

，∴n=2

7

，化简得：，

，∴n=1或3

，得：，

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∴a=，

．

综上所述，存在直角三角形，且a=或或

【点评】本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．

5．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处； （1）求证：B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

【分析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；

（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答． 【解答】（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE， 在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠B′EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B'EF， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF；

（2）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2． 证明：由（1）知B′E=BF=c，A'E=AE=a， ∵B′E=BF=c，

∴在△A'B'E中，∠A=90°， ∴A'E2+A'B'2=B'E2， ∴a2+b2=c2．

【点评】此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．

第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生

8

。

逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；

第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；

第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．

6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC （2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）

的值是否发生变化，并说明理由．

四边形ABDC

？若存

【分析】（1）先由非负数性质求出a=2，b=4，再根据平移规律，得出点C，D的坐标，然后根据四边形ABDC的面积=AB×OA即可求解； （2）存在．设M坐标为（0，m），根据S△PAB=S的值，即可确定M点坐标；

（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值为1． 【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0， ∴a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，2）．

∵将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，

9

四边形ABDC

，列出方程求出m

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B的对应点C，D， ∴C（﹣1，0），D（3，0）． ∴S四边形ABDC=AB×OA=4×2=8；

（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD=S四边形ABCD．设M坐标为（0，m）． ∵S△MCD=S四边形ABDC， ∴×4|m|=8， ∴2|m|=8， 解得m=±4．

∴M（0，4）或（0，﹣4）；

（3）当点P在BD上移动时，过点P作PE∥AB交OA于E． ∵CD由AB平移得到，则CD∥AB， ∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE， ∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO， ∴

=1．

=1不变，理由如下：

【点评】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．

二．选择题（共2小题） 7．

【解答】解：作A关于直线y=﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连

10

。

接BC，可得直线BC的方程为y=﹣x﹣；

求BC与直线y=﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）；

此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，其他B C P不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC； 故选：B．

【点评】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．

8．某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法使瓶里的水从瓶中匀速流出．那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律即可求出答案．

【解答】解：啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以表现在图象上为直线．

11

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故选：A．

【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

三．填空题（共2小题） 9

【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n=1，n=2…总结出规律．

【解答】解：根据题意不难得出第一个正方体的边长=1， 那么：n=1时，第1个正方形的边长为：1=20 n=2时，第2个正方形的边长为：2=21 n=3时，第3个正方形的边长为：4=22 …

第n个正方形的边长为：2n﹣1 故答案为：2n﹣1

【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 10．若m=

，n=

，则m10+n10= 123 ．

【分析】先代入，再根据完全平方公式进行变形，即可求出答案． 【解答】解：∵m=∴m+n=1，mn=﹣1，

∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=3，∴m4+n4=（m2+n2）﹣2（mn）2=9﹣2=7， ∴m8+n8=（m4+m4）2﹣2（mn）4=49﹣2=47， 而（m+n）3=m3+n3+3mn（m+n），

，n=

，

12

。

∴m3+n3=（m+n）3﹣3mn（m+n）=1+3=4， ∴m6+n6=（m3+n3）2﹣2（mn）3=16+2=18

而（m8+n8）（m2+n2）=m10+n10+m8n2+m2n8=m10+n10+（mn）2（m6+n6） ∴m10+n10=（m8+n8）（m2+n2）﹣（mn）2（m6+n6）=47×3﹣1×18=123 故答案为：123．

【点评】本题考查了乘法公式和二次根式的化简求值，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键．

13