第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A． sinA
B． cosA
C． tanA
D．
2．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC是（） A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 等腰或直角三角形
3．在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（） A． 1：2：3 B． 3：2：1 C． 1：：2 D．2：：1
4．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（） A． 90° B． 60° C． 135° D．150°
5．在△ABC中，若 A．
6．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6=9，则lo3a1+lo3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 1+log35 D．2+log35
7．如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是（） A． 13 B． 12 C． 11 D．10
8．数列{an}的通项公式an= A． 98
B． 99
，则该数列的前（）项之和等于9．
C． 96
D．97
B．
，则最大角的余弦是（） C．
D．
9．若 {an}是等比数列，a4a7=﹣512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10=（）
A． 256 B． ﹣256 C． 512 D．﹣512
10．若{an}是等比数列，前n项和Sn=2﹣1，则a1+a2+a3+…+an=（） A． （2﹣1）
n
2
n
2
2
2
2
B． C． 4﹣1
n
D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且
a=2csin A，角C=．
12．若数列{an}满足
，且a1=0，则a7=．
13．2，x，y，z，18成等比数列，则y=．
14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．
15．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32﹕27，则公差d=．
三、解答题（共6小题）
16．在等差数列{an}中，a5=0.3，a12=3.1，求a18+a19+a20+a21+a22的值．
17．在△ABC中，已知，c=1，B=45°，求a，A，C．
18．在△ABC中，若a
19．已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q． （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）设cn=3bn﹣λ•
20．已知函数分别为
（1）求函数解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求
21．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N，有2Sn=2pan+pan﹣p（p∈R） （1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的通项公式； （3）记bn=
，求数列{bn}的前n项和T．
*
2
+=，求证：a，b，c成等差数列．
，（λ∈R），若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
的图象两相邻最高点的坐标
．
的取值范围．
重庆市江津田家炳中学2016-2017学年高一下学期
第一次月考数学试卷答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（） A． sinA
B． cosA
C． tanA
D．
考点： 三角函数值的符号．
分析： 三角形内角的范围（0，π），依题意可以推出答案． 解答： 解：A为△ABC的内角，则A∈（0，π），显然sinA＞0 故选A．
点评： 本题考查三角函数值的符号，是基础题．
2．在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC是（） A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 等腰或直角三角形
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 根据正弦定理进行化简即可． 解答： 解：∵acosB=bcosA，
∴由正弦定理得sinAcosB=sinBcosA， 即sinAcosB﹣sinBcosA=0， 即sin（A﹣B）=0， 则A=B，
即△ABC是等腰三角形， 故选：B
点评： 本题主要考查三角形形状的判断，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
3．在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（） A． 1：2：3 B． 3：2：1 C． 1：：2 D．2：：1
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果． 解答： 解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π
所以∠A=，∠B=，∠C=．
：sin
：sin
=1：
：2．
由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin故选：C．
点评： 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．
4．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则A=（） A． 90° B． 60° C． 135° D．150°
考点： 余弦定理． 专题： 计算题．
分析： 把已知条件的左边利用平方差公式化简后，与右边合并即可得到b+c﹣a=bc，然后利用余弦定理
222
表示出cosA的式子，把化简得到的b+c﹣a=bc代入即可求出cosA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
22222
解答： 解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=（b+c）﹣a=b+2bc+c﹣a=3bc，
222
化简得：b+c﹣a=bc， 则根据余弦定理得：cosA=
=
=，
222
又A∈（0，180°），所以A=60°． 故选B
点评： 此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，是一道综合题．
5．在△ABC中，若 A．
B．
，则最大角的余弦是（） C．
D．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 计算题；解三角形．
222
分析： 利用余弦定理c=a+b﹣2abcosC的式子，结合题意算出c=3，从而得到b为最大边，算出cosB的值即可得到最大角的余弦之值．
解答： 解：∵在△ABC中，∴c=a+b﹣2abcosC=49+64﹣2×7×8×
2
2
2
，
=9，得c=3
∵b＞a＞c，∴最大边为b，可得B为最大角 因此，cosB=
=
，即最大角的余弦值为
故选：C
点评： 本题给出三角形的两边和夹角，求最大角的余弦．着重考查了三角形中大边对大角、利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
6．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6=9，则lo3a1+lo3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 1+log35 D．2+log35
考点： 等比数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 根据等比数列的性质可知a1a10=a2a9=…a5a6，再利用对数的性质即可得到答案．
解答： 解：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+…log3（a5a6）=5log3（a5a6）=10 故选：B．
*
点评： 本题主要考查了等比数列的性质．即若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq．
7．如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是（） A． 13 B． 12 C． 11 D．10
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 设此等差数列共有n项．利用已知a1+a2+a3=34，an﹣2+an﹣1+an=146，和等差数列的性质a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2，即可得出a1+an．再利用其前n项和公式即可得出． 解答： 解：设此等差数列共有n项． ∵a1+a2+a3=34，an﹣2+an﹣1+an=146， a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2， ∴
=60．
∴
解得n=13． 故选A．
，即，
点评： 本题考查了等差数列的性质a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2、其前n项和公式，属于基础题．
8．数列{an}的通项公式an=
，则该数列的前（）项之和等于9．
D．97
A． 98 B． 99 C． 96
考点： 数列的求和．
分析： 先将分母有理化，再利用叠加法可求和，进而可得结论
解答： 解：∵an=∴an=∴
，
，
∴， ∴n=99 故选B．
点评： 本题的考点是数列求和，解题的关键是对通项的化简，进而利用叠加法．
9．若 {an}是等比数列，a4a7=﹣512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10=（） A． 256 B． ﹣256 C． 512 D．﹣512
考点： 等比数列的通项公式．
专题： 计算题．
分析： 由题设条件知a3和a8是方程x﹣124x﹣512=0的两个实数根，解方程x﹣124x﹣512=0，得x1=128，x2=﹣4，由公比q为整数，知a3=﹣4，a8=128，由此能够求出a10． 解答： 解：{an}是等比数列， ∵a4a7=﹣512，a3+a8=124， ∴a3a8=﹣512，a3+a8=124，
2
∴a3和a8是方程x﹣124x﹣512=0的两个实数根，
2
解方程x﹣124x﹣512=0， 得x1=128，x2=﹣4， ∵公比q为整数， ∴a3=﹣4，a8=128，
5
﹣4q=128，解得q=﹣2，
2
∴a10=a8•（﹣2）=128×4=512． 故选C．
点评： 本题考查等比数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
10．若{an}是等比数列，前n项和Sn=2﹣1，则a1+a2+a3+…+an=（） A． （2﹣1）
n
2
n
2
2
2
2
2
2
B． C． 4﹣1
n
D．
考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得到an；得到数列{比数列的前n项和公式即可得出．
解答： 解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1．
nn﹣1n﹣1
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2﹣1﹣（2﹣1）=2． 当n=1时也成立． ∴
．
}是等比数列，利用等
∴当n≥2时，==4．
∴数列{}是等比数列，首项为=1，公比为4．
∴==．
故选：D．
点评： 本题考查了等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，属于基础题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csin A，角C=．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinC的值，即可确定出C的度数． 解答： 解：已知等式利用正弦定理化简得：sinA=2sinCsinA， ∵sinA≠0，
∴sinC=则C=
， ．
故答案为：
点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
12．若数列{an}满足
，且a1=0，则a7=4．
考点： 数列递推式．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 由递推公式可判断该数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得a7．
解答： 解：
=an+，所以数列{an}为公差是的等差数列，
又a1=0，所以a7=0+6×=4，
故答案为：4．
点评： 本题考查等差数列的定义、通项公式，考查学生对数列递推式的理解应用．
13．2，x，y，z，18成等比数列，则y=6．
考点： 等比数列的通项公式；等比数列． 专题： 等差数列与等比数列．
2
分析： 设出等比数列的公比q，由首项是2，第5项是18，可以求出q，则y的值可求． 解答： 解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18=2q，解得q=3，
2
∴y=2q=2×3=6． 故答案为6．
点评： 本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=
，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于
．
42
考点： 解三角形．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD． 解答： 解：由A向BC作垂线，垂足为E， ∵AB=AC
∴BE=BC=∵AB=2 ∴cosB=
=
∴B=30°
∴AE=BE•tan30°=1 ∵∠ADC=45° ∴AD=
=
故答案为：
点评： 本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
15．一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32﹕27，则公差d=5．
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=354 可得 k 的值，根据 公差d=求得结果．
解答： 解：设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=59k=354 可得 k=6， 故公差d=故答案为：5．
点评： 本题考查等差数列的定义和性质，得到k=6，公差d=
三、解答题（共6小题）
，是解题的关键．
=
=5，
16．在等差数列{an}中，a5=0.3，a12=3.1，求a18+a19+a20+a21+a22的值．
考点： 等差数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 解法1，由条件建立方程组可得数列的首项为a1，公差为d，由数列项与公差的关系代入可得答案； 解法2，由题意可得公差，进而可得a20，而a18+a19+a20+a21+a22等于5a1+95d，代入可得答案． 解答： 解：设数列的首项为a1，公差为d
则，解得
∴a18+a19+a20+a21+a22=5a1+17d+18d+19d+20d+21d=5a1+95d=31.5 法2：设数列的公差为d，则
，
∴a20=a12+8d=3.1+8×0.4=6.3，
a由等差数列的性质可得：18+a19+a20+a21+a22=5a20=5×6.3=31.5 点评： 本题考查等差数列的性质和基本运算，属基础题
17．在△ABC中，已知，c=1，B=45°，求a，A，C．
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 利用正弦定理求出sinC的值，然后求出C，然后通过正弦定理求出a即可．
解答： 解：由所以sinC=…
所以，所以C=30°… 当C=30°时，A=105°… 由
得
…
点评： 本题考查正弦定理的应用，注意三角形中的边角关系，考查分析问题解决问题的能力．
18．在△ABC中，若a
+
=
，求证：a，b，c成等差数列．
考点： 正弦定理；等差关系的确定． 专题： 计算题；解三角形．
分析： 由二倍角的余弦公式，化简整理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=sinB，再将左边展开并利用和的正弦公式合并，结合sin（A+C）=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB，最后由正弦定理化简即可得a+c=2b，得到a，b，c成等差数列． 解答： 解：∵∴由a
+
==
，得
，
=
…
由正弦定理，得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…
整理，得sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB（*）… ∵在△ABC中A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB…
因此，在（*）式两边消去一个sinB，得sinA+sinC=2sinB， 再由正弦定理，得a+c=2b，所以a，b，c成等差数列…
点评： 本题给出三角形ABC的边角关系的等式，求证三边成等差数列，着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
19．已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q． （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）设cn=3bn﹣λ•
，（λ∈R），若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．
考点： 等差数列的性质；数列的函数特性． 专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由题目给出的已知条件b2+S2=12，S2=b2q，列关于等差数列的第二项及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的第二项及等比数列的公比，则an与bn可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an与bn代入cn=3bn﹣λ•（λ∈R），整理后把cn+1＞cn转化为含有λ和n的表达
式，分离参数后利用函数的单调性求函数的最小值，从而求出λ的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）由S2=a1+a2=3+a2，b2=b1q=q，且b2+S2=12，S2=b2q．
2
∴q+3+a2=12，3+a2=q，
2
消去a2得：q+q﹣12=0，解得q=3或q=﹣4（舍），
2
∴a2=q﹣3=6，则d=a2﹣a1=6﹣3=3，
n﹣1
从而an=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n，bn=3； （Ⅱ）∵an=3n，bn=3
n﹣1
，∴cn=3bn﹣λ•
*
n+1
=3﹣λ•2．
n+1
nn
∵cn+1＞cn对任意的n∈N恒成立，即：3﹣λ•2
nn*
整理得：λ•2＜2•3对任意的n∈N恒成立， 即：λ＜2•∵y=2•
对任意的n∈N恒成立． 在区间[1，+∞）上单调递增，
*
＞3﹣λ•2恒成立，
nn
∴ymin=3， ∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（﹣∞，3）．
点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了利用分离变量法求参数的范围问题，借助于函数单调性求函数的最小值是解答此题的关键，此题是中档题．
20．已知函数分别为
（1）求函数解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求
的取值范围．
．
的图象两相邻最高点的坐标
考点： 两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理． 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形．
分析： （1）函数f（x）解析式利用诱导公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，根据题意得出函数的周长，利用周期公式求出ω的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）由f（A）=2，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，所求式子利用正弦定理化简，整理后得到最简结果，根据B的范围求出cosB的值域，即可确定出所求式子的范围． 解答： 解：（1）f（x）=∵周期T=
﹣
=π=
sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣，∴w=2， ）；
）=2，∴sin（2A﹣＜
，
）=1，
），
则f（x）=2sin（2x﹣
（2）∵f（A）=2sin（2A﹣∵0＜A＜π，∴﹣∴2A﹣
=
＜2A﹣
， =
，即A=
由正弦定理得：∵0＜B＜则﹣2＜
=[sinB﹣2sin（﹣B）]=﹣2cosB，
，∴﹣＜cosB＜1， ＜1．
点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
21．各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N，有2Sn=2pan+pan﹣p（p∈R） （1）求常数p的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）记bn=
，求数列{bn}的前n项和T．
*
2
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 计算题；压轴题．
2
分析： （1）根据a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan+pan﹣p，令n=1，解方程即可求得结果；
22
（2）由2Sn=2an+an﹣1，知2Sn﹣1=2an﹣1+an﹣1﹣1，（n≥2），所以（an﹣an﹣1﹣1）（an+an﹣1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）根据
求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法即可求得结果．
2
解答： 解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2Sn=2pan+pan﹣p
2
∴2a1=2pa1+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；
2
（2）2Sn=2an+an﹣1，①
2
2Sn﹣1=2an﹣1+an﹣1﹣1，（n≥2），② ①﹣②即得（an﹣an﹣1﹣）（an+an﹣1）=0， 因为an+an﹣1≠0，所以an﹣an﹣1﹣=0，
∴
（3）2Sn=2an+an﹣1=2×∴Sn=∴
1
2
2
，
， =n•2
nn
Tn=1×2+2×2+…+n•2③
23nn+1
又2Tn=1×2+2×2+…+（n﹣1）•2+n2④
123nn+1n+1
④﹣③Tn=﹣1×2﹣（2+2+…+2）+n2=（n﹣1）2+2
n+1
∴Tn=（n﹣1）2+2
点评： 本题考查数列的性质和应用，数列前n项和与数列通项公式的关系，以及错位相减法求数列的前n项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．
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