第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数第一节函数及其表示 的定义域和值域；了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 突破点一 函数的定义域
[基本知识]
1．函数与映射的概念
两集合A，B 函数 设A，B是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系f，使对应关系f：A→B 对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 记法 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )
(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，x∈A 映射 设A，B是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B
答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题
1．函数f(x)＝2x－1＋
1
的定义域为__________________________________． x－2
2x－1≥0，
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
x－2≠0，
答案：[0,2)∪(2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为____________． 解析：∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7}
3．下列f(x)与g(x)表示同一函数的是________． (1)f(x)＝x2－1与g(x)＝x－1·x＋1； x3＋x
(2)f(x)＝x与g(x)＝2；
x＋1(3)y＝x与y＝(x)2； 3(4)f(x)＝x2与g(x)＝x3. 答案：(2)
[全析考法]
考法一 求函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． π
(7)y＝tan x的定义域为x| x≠kπ＋2，k∈Z.
[例1] (1)(2019·合肥八中期中)函数f(x)＝A．(－3,0) C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
lnx＋3
的定义域是( ) 1－2xB．(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,0)
1x＋＋(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2
1
x－的定义域是( ) f21A.2，1 13C.2，2
1
，2 B.231， D.2x＋3>0，lnx＋3
[解析] (1)∵f(x)＝解得－3 即函数的定义域为(－3,0)．故选A. (2)由题意得10≤x－≤2，2 13 ∴≤x≤.故选C. 22[答案] (1)A (2)C [方法技巧] 1 0≤x＋≤2， 2 ∴15≤x≤22，13－≤x≤，22 1．根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．求抽象函数的定义域的策略 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； (2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 考法二 已知函数的定义域求参数 [例2] (2019·安阳模拟)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是( ) A．[0,4) C．[4，＋∞) B．(0,4) D．[0,4] [解析] 由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时， m>0， 则2解得0 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题． (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． [集训冲关] 1.[考法一]函数f(x)＝－x2＋9x＋10－A．[1,10] C．(1,10] 2 的定义域为( ) lnx－1 B．[1,2)∪(2,10] D．(1,2)∪(2,10] 2 －x＋9x＋10≥0， 解析：选D 要使原函数有意义，则x－1>0， x－1≠1， 2解得1 以函数f(x)＝－x2＋9x＋10－的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D. lnx－1 2.[考法一]若函数f(x＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f(log1x)的定义域为________． 1 解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1,1]，∴f(x)的定义域是[0,2]．令0≤log1x≤2，解得 4 21 ≤x≤1，∴函数f(log1x)的定义域为4，1. 21 答案：4，1 3.[考法二]已知函数y＝ 1 的定义域为R，则实数k的取值范围是________． kx＋2kx＋3 21 解析：当k＝0时，y＝，满足条件； 3 k>0， 当k≠0时，由2得0 答案：[0,3) 突破点二 函数的表示法 [基本知识] 1．函数的表示方法 函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的 方法表示． 2．应用三种方法表示函数的注意事项 方法 解析法 列表法 图象法 注意事项 一般情况下，必须注明函数的定义域 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征 注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点 [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) 11 (1)若f(x)满足f＝x－1，则f(x)＝xx－1.( ) (2)若f(x)＝2x＋1，x∈[1,3]，则f(x－1)＝2x－1，x∈[2,4]．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题 1．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，依题设得3ax＋3a＋3b＝6x＋4， 3a＝6，∴∴23a＋3b＝4，b＝－， a＝2， 3 2 则f(x)＝2x－. 3 2 答案：2x－ 3 11 x－x＝x2＋2，则f(x)＝________. 2．已知x≠0，函数f(x)满足fx111 x－＝x2＋2＝x－2＋2， 解析：fxxx所以f(x)＝x2＋2. 答案：x2＋2 3．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________. 3131317 解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(x)＝x＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝. 22222237 答案： 3 [典例感悟] 1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________． 解析：由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝ 2a＝4，a＝－2，a＝2，4x＋3，∴解得或故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)ab＋b＝3，b＝1.b＝－3 ＝2x＋1. 答案：f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1 2．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________． 解析：法一：设t＝x＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1， ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 答案：f(x)＝x2－1(x≥1) 3．已知f(0)＝1，对任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)的解析式为________________． 解析：令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y， ∴f(y)＝y2＋y＋1， 即f(x)＝x2＋x＋1. 答案：f(x)＝x2＋x＋1 [方法技巧] 求函数解析式的3种方法 待定系数法 换元法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 [针对训练] 1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x 解方程组法 解析：选C 选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；选项C，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；选项D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．故选C. 2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f(1－cos x)＝sin2x，则f(x2)的解析式为________________________． 解析：因为f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令1－cos x＝t，t∈[0,2]，则cos x＝1－t， 所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．则f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2]． 答案：f(x2)＝－x4＋2x2，x∈[－2，2] 1 3．已知函数f(x)满足f(x)＝2fx＋x，则f(x)的解析式为________________． 11＝2f(x)＋1， 解析：由f(x)＝2f＋x，得fxxx fx＝2fx＋x， 联立得 1＝2fx＋1， ②fxx 2 ①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋， x21 则f(x)＝－－x. 3x321 答案：f(x)＝－－x 3x3 1 ① 突破点三 分段函数 [基本知识] 1．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)分段函数是两个或多个函数．( ) x，x≥0，(2)若f(x)＝f(a)＋f(－1)＝2，则a＝1.( ) －x，x<0， 答案：(1)× (2)× 二、填空题 2x，x>0， 1．若f(x)＝则f(－5)＝________. fx＋2，x≤0， 解析：f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2. 答案：2 log2x，x>0，1的值是________． 2．(2019·西安质检)已知函数f(x)＝x则ff43＋1，x≤0， 11 解析：由题意可得f＝log＝－2， 2 44 1＝f(－2)＝3－2＋1＝10. ∴ff49 答案： 10 9 2 x＋2，x≤2， 3．函数f(x)＝4若f(x0)＝8，则x0＝________. x，x>2.5 2 解析：当x0≤2时，f(x0)＝x20＋2＝8，即x0＝6，∴x0＝－6或x0＝6(舍去)；当x0>2 4 时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－6或x0＝10. 5 答案：－6或10 [全析考法] 考法一 分段函数求值问题 log3x，x>0， [例1] (2019·石家庄模拟)已知f(x)＝x(0 则f(f(－3))＝( ) A．－2 C．3 － B．2 D．－3 [解析] 由题意得，f(－2)＝a2＋b＝5，① f(－1)＝a1＋b＝3，② － logx，x>0，31 联立①②，结合0 2＋1，x≤0， －3 1 则f(－3)＝ 2 ＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B. [答案] B [方法技巧] 分段函数求值的解题思路 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解 析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 考法二 分段函数与方程、不等式问题 x2，x>0， [例2] (1)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的 x＋1，x≤0. 值等于( ) A．－3 C．1 B．－1 D．3 1 2x－1，x≥0， (2)函数f(x)＝1 x，x<0， 若f(a)≤a，则实数a的取值范围是________． [解析] (1)当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A. 11 (2)当a≥0时，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，即a≥0；当a<0时，由f(a)＝a≤a， 2解得－1≤a≤1，即－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] (1)A (2)[－1，＋∞) [方法技巧] 解分段函数与方程或不等式问题的策略 求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围． [集训冲关] x1 2，x≤0， 1.[考法一]已知函数f(x)＝则f(f(3))＝( ) 1－log2x，x>0， ＋ 4 A. 34C．－ 3 2B. 3D．－3 24log2+1log2224 log2＝23＝23＝，解析：选A 因为f(3)＝1－log23＝log2<0，所以f(f(3))＝f333 故选A. 2 x－2，x≥2， 2.[考法二]设函数f(x)＝若f(m)＝7，则实数m的值为( ) log2x，x<2， A．0 C．－3 B．1 D．3 解析：选D ①当m≥2时，由f(m)＝7得m2－2＝7，解得m＝3或m＝－3(舍去)，则 m＝3；②当m<2时，由f(m)＝7得log2m＝7，解得m＝27>2，舍去．综上可得，实数m的值是3.故选D. 2x＋x，x≥0， 3.[考法二]已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围 －3x，x<0， 为( ) A．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选D 当a≥0时，不等式可化为a(a2＋a－3a)>0， 即a2＋a－3a>0，即a2－2a>0，解得a>2或a<0(舍去)； 当a<0时，不等式可化为a(－3a－a2＋a)>0， 即－3a－a2＋a<0，即a2＋2a>0， 解得a<－2或a>0(舍去)． 综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． [课时跟踪检测] [A级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·重庆五校联考)下列函数中，与y＝x相同的函数是( ) A．y＝x2 x2 C．y＝x B．y＝lg 10x D．y＝(x－1)2＋1 解析：选B 选项A，y＝x2＝|x|与y＝x的对应法则和值域不同，不是相同函数；选x2 项B，y＝lg 10＝x，是相同函数；选项C，y＝＝x(x≠0)与y＝x的定义域不同；选项D， x x 函数的定义域不相同，不是相同函数．故选B. x1e，x≤1， 2．(2019·山西名校联考)若函数f(x)＝则f(f(2))＝( ) 2 5－x，x>1， － A．1 C．0 B．4 D．5－e2 解析：选A 由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1. 1，x为有理数， 3．(2019·马鞍山质量检测)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋… 0，x为无理数， ＋f(2 020)＝( ) A．44 C．1 009 B．45 D．2 018 解析：选A 由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…，2 020中的有理数共有 44个，其余均为无理数，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝44. lg1－x2 4．(2019·邯郸调研)函数y＝2的定义域为( ) 2x－3x－2A．(－∞，1] B．[－1,1] 11 －1，－∪－，1 C.22 11 －1，－∪－，1 D.22 21－x>0，解析：选C 要使函数有意义，需2即1 2x－3x－2≠0，x≠2且x≠－， －1 所以函数y lg1－x211 ＝2的定义域为x|－1 5．(2019·衡阳县联考)若函数f(x)＝x－2a＋ln(b－x)的定义域为[2,4)，则a＋b＝( ) A．4 C．6 B．5 D．7 x－2a≥0，x≥2a， 解析：选B 要使函数有意义，则解不等式组得∵函数f(x)＝ b－x>0，x b＝4，b＝4， x1e，x<2， 6．(2019·乌鲁木齐一诊)函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为 －log3x－1，x≥2， － ( ) A．(1,2) 4 1， C.3 4 －∞， B.3 D．[2，＋∞) － 解析：选A 当x<2时，不等式f(x)>1即ex1>1，∴x－1>0，∴x>1，则1 [B级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·玉溪模拟)与函数y＝10lg(xA．y＝x－1 －1) 的图象相同的函数是( ) B．y＝|x－1| x2－1D．y＝ x＋1 x－12 C．y＝ x－1 解析：选C 函数y＝10lg(x －1) 的定义域为{x|x>1}．y＝x－1与y＝|x－1|的定义域都为R， x2－1x－12 故排除A，B；y＝的定义域为{x|x≠－1}，故排除D；y＝的定义域为{x|x>1}， x＋1x－1解析式可化简为y＝x－1，因此正确，故选C. x 3a，x≤1， 2．(2019·全国名校联考)设函数f(x)＝且f(1)＝6，则f(2)＝( ) loga2x＋4，x>1， A．1 C．3 B．2 D．6 解析：选C 由题意，得f(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f(2)＝log2(2×2＋4)＝log28＝3，故选C. 3．(2019·山西名校联考)若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝9x＋8 B．f(x)＝3x＋2 C．f(x)＝－3x－4 D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4 t－2t－2 解析：选B 令t＝3x＋2，则x＝，所以f(t)＝9×＋8＝3t＋2.所以f(x)＝3x＋2， 33故选B. 1－x21 4．(2019·郑州外国语学校月考)若函数f(1－2x)＝2(x≠0)，则f2＝( ) xA．1 C．15 2 B．3 D．30 1 1－161－x111 解析：选C 由于f(1－2x)＝2(x≠0)，则当1－2x＝时，x＝，所以f＝＝2x241 1615.故选C. log2x＋a，x>0， 5．(2019·福州检测)已知函数f(x)＝x－2若f(a)＝3，则f(a－2)＝( ) 4－1，x≤0， A．－C．－ 15 1663 或3 64 B．3 D．－ 15或3 16 － 解析：选A 若a>0，则f(a)＝log2a＋a＝3，解得a＝2，则f(a－2)＝f(0)＝42－1＝－1515－ ；若a≤0，则4a2－1＝3，解得a＝3，不合题意．综上f(a－2)＝－.故选A. 1616 x 6．(2019·邵阳检测)设函数f(x)＝log2(x－1)＋2－x，则函数f2的定义域为( ) A．[1,2] C．[1,2) B．(2,4] D．[2,4) x－1>0， 解析：选B ∵函数f(x)＝log2(x－1)＋2－x有意义，∴解得1 xx 函数的f(x)定义域为(1,2]，∴1<≤2，解得x∈(2,4]，则函数f2的定义域为(2,4]．故选B. 2 2 －x＋4x，x≤4， 7．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a log2x，x>4. 的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．[4，＋∞) B．[1,4] D．(－∞，1]∪[4，＋∞) 解析：选D 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D. 8．(2019·山东省实验中学段考)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝ 的定义域是________． －x2－3x＋4fx＋1 解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数y＝ fx＋12 有意义，则－x－3x＋4>0，∴－4 域为(－1,1)． 答案：(－1,1) 9.若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________． 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)1＝－x， 2 x＋1，－1≤x<0， 所以f(x)＝1 －x，0≤x≤2.2 x＋1，－1≤x<0， 答案：f(x)＝1 －x，0≤x≤22 x2＋2ax，x≥2， 10．已知函数f(x)＝x若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________． 2＋1，x<2， 解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2， 即a2－2a－3<0，解得－1 ax＋b，x<0， 11．设函数f(x)＝x且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． 2，x≥0， (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象． f－2＝3，－2a＋b＝3， 解：(1)由得 f－1＝f1，－a＋b＝2，a＝－1，－x＋1，x<0， 解得所以f(x)＝x b＝1，2，x≥0. (2)f(x)的图象如图： 2x＋2，－1 1x－1，x≥1， 求a的取值范围． 解：法一：(数形结合) x＋12，x≤－1， 已知f(a)>1， 画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)>1的a的取值范围1 －，1. 为(－∞，－2)∪2 法二：(分类讨论) ①当a≤－1时，由(a＋1)2>1，得a＋1>1或a＋1<－1，得a>0或a<－2， 又a≤－1，∴a<－2； 1 ②当－1 21 又∵－1 11 ③当a≥1时，由a－1>1，得0 1 －，1. 综上可知，a的取值范围为(－∞，－2)∪2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容